2019屆高考數(shù)學二輪復習 考前沖刺四 溯源回扣二 函數(shù)與導數(shù)學案 理

溯源回扣二　函數(shù)與導數(shù) 1.求函數(shù)的定義域，關鍵是依據(jù)含自變量x的代數(shù)式有意義來列出相應的不等式(組)求解，如開偶次方根，被開方數(shù)一定是非負數(shù)；分式中分母不為0；對數(shù)式中的真數(shù)是正數(shù)；列不等式時，應列出所有的不等式，不應遺漏. [回扣問題1]　函數(shù)f(x)＝＋lg(3x＋1)的定義域是(　　) A. B. C. D. 解析　由題意可知即所以－<x<1. 答案　A 2.求解與函數(shù)、不等式有關的問題(如求值域、單調區(qū)間、判斷奇偶性、解不等式等)，要注意定義域優(yōu)先的原則. [回扣問題2]　(2017·全國Ⅱ卷改編)函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調增區(qū)間是________. 解析　要使函數(shù)有意義，則x2－2x－8>0，解得x<－2或x>4，結合二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性和復合函數(shù)同增異減的原則得函數(shù)的單調增區(qū)間為(4，＋∞). 答案　(4，＋∞) 3.定義域必須關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件，為此確定函數(shù)的奇偶性時，務必先判定函數(shù)定義域是否關于原點對稱.函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，但不一定有f(0)＝0成立. [回扣問題3]　函數(shù)f(x)＝的奇偶性是________. 解析　由1－x2>0且|x－2|－2≠0，知f(x)的定義域為(－1，0)∪(0，1)，關于原點對稱，則f(x)＝， 又f(－x)＝＝－f(x)， ∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù). 答案　奇函數(shù) 4.理清函數(shù)奇偶性的性質. (1)f(x)是偶函數(shù)f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； (2)f(x)是奇函數(shù)f(－x)＝－f(x)； (3)定義域含0的奇函數(shù)滿足f(0)＝0. [回扣問題4]　已知函數(shù)f(x)＝ln(|x|＋1)＋，則使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范圍是(　　) A. B.∪(1，＋∞) C.(1，＋∞) D. 解析　易知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝ln(x＋1)＋是[0，＋∞)上的增函數(shù)，∴使得f(x)>f(2x－1)成立的x滿足|2x－1|<|x|，得<x<1. 答案　A 5.記準函數(shù)周期性的幾個結論： 由周期函數(shù)的定義“函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(a＋x)(a>0)，則f(x)是周期為a的周期函數(shù)”得： (1)函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝－f(x)，則f(x)是周期T＝2a的周期函數(shù)； (2)若f(x＋a)＝(a≠0)成立，則T＝2a； (3)若f(x＋a)＝－(a≠0)恒成立，則T＝2a； (4)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)成立，則T＝2a. [回扣問題5]　對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意的x，都有f(x＋2)＝－，若當2<x≤3時，f(x)＝x，則f(2 017)＝________. 解析　易知y＝f(x)的最小正周期T＝4， ∴f(2 017)＝f(1)＝－＝－. 答案　－ 6.求函數(shù)單調區(qū)間時，多個單調區(qū)間之間不能用符號“∪”和“或”連接，可用“和”連接，或用“，”隔開.單調區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替. [回扣問題6]　函數(shù)f(x)＝x3－3x的單調增區(qū)間是________. 解析　由f′(x)＝3x2－3>0，得x>1或x<－1. 答案　(－∞，－1)和(1，＋∞) 7.圖象變換的幾個注意點. (1)混淆平移變換的方向與單位長度. (2)區(qū)別翻折變換：f(x)→|f(x)|與f(x)→f(|x|). (3)兩個函數(shù)圖象的對稱. [回扣問題7]　函數(shù)g(x)＝4sin xcos x的圖象向左平移個單位，再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)f(x)的圖象，則f ＝________. 解析　函數(shù)g(x)＝4sin xcos x＝2sin 2x的圖象向左平移個單位得到函數(shù)y＝2sin2＝2sin的圖象，該函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)所得圖象對應的函數(shù)為f(x)＝2sin＝2sin，所以f ＝2sin＝2sin＝. 答案　 8.不能準確理解基本初等函數(shù)的定義和性質.如函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的單調性忽視字母a的取值討論，忽視ax>0；對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)忽視真數(shù)與底數(shù)的限制條件. [回扣問題8]　(2018·濰坊模擬)若函數(shù)f(x)＝ax(a>0且a≠1)在R上為減函數(shù)，則函數(shù)y＝loga(|x|－1)的圖象可以是(　　) 解析　由于f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上為減函數(shù)，則0<a<1.又|x|－1>0，得x>1或x<－1.當x>1時，y＝loga(x－1)是減函數(shù)，易知D正確. 答案　D 9.分段函數(shù)的圖象，一定要準確看清楚分界點的函數(shù)值. [回扣問題9]　已知函數(shù)f(x)＝是R上的增函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是________. 解析　由題意知 即 所以≤k<1. 答案　 10.易混淆函數(shù)的零點和函數(shù)圖象與x軸的交點，不能把函數(shù)零點、方程的解、不等式解集的端點值進行準確互化. [回扣問題10]　函數(shù)f(x)＝|x－2|－ln x在定義域內(nèi)的零點個數(shù)為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　由|x－2|－ln x＝0，得ln x＝|x－2|.在同一坐標系內(nèi)作y＝ln x與y＝|x－2|的圖象(圖略)，有兩個交點.∴f(x)＝|x－2|－ln x在定義域內(nèi)有兩個零點. 答案　B 11.混淆y＝f(x)的圖象在某點(x0，y0)處的切線與y＝f(x)過某點(x0，y0)的切線，導致求解失誤. [回扣問題11]　(2017·天津卷)已知a∈R，設函數(shù)f(x)＝ax－ln x的圖象在點(1，f(1))處的切線為l，則l在y軸上的截距為________. 解析　f(1)＝a，切點為(1，a).f′(x)＝a－，則切線的斜率為f′(1)＝a－1，切線方程為：y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0得出y＝1，故l在y軸上的截距為1. 答案　1 12.利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性：設函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果f′(x)>0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；如果f′(x)<0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為常函數(shù). 注意　如果已知f(x)為減函數(shù)求參數(shù)取值范圍，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要驗證f′(x)是否恒等于0，增函數(shù)亦如此. [回扣問題12]　已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－ln x，若f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為________. 解析　由題意知f′(x)＝x＋2a－≥0在上恒成立，即2a≥－x＋在上恒成立， ∵當x∈時，＝，∴2a≥，即a≥. 答案　 13.對于可導函數(shù)y＝f(x)，錯以為f′(x0)＝0是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處有極值的充分條件. [回扣問題13]　若函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極小值10，則a＋b＝________. 解析　由題意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 解得或經(jīng)驗證，當a＝4，b＝－11時，滿足題意；當a＝－3，b＝3時，f′(x)＝3(x－1)2≥0恒成立，不滿足題意，舍去. 答案　－7 14.運用微積分基本定理求定積分f(x)dx的值的關鍵是逆用求導公式求出f(x)的原函數(shù)，常記錯基本初等函數(shù)的求導公式，忽視系數(shù)致誤. [回扣問題14]　(1)定積分(2x＋ex)dx的值為______. (2)直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為________. 解析　(1) (2x＋ex)dx＝(x2＋ex)＝e. (2)聯(lián)立得x＝0或x＝2. ∴直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為(4x－x3)dx＝＝4. 答案　(1)e　(2)4 5