2020版高考數(shù)學一輪復習 第8章 平面解析幾何 第7節(jié) 雙曲線教學案 理（含解析）北師大版

第七節(jié)　雙曲線 [考綱傳真]　1.了解雙曲線的實際背景，了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道其簡單的幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線).3.理解數(shù)形結合思想.4.了解雙曲線的簡單應用． 1．雙曲線的定義 (1)平面內到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點的集合叫作雙曲線．這兩個定點F1，F(xiàn)2叫作雙曲線的焦點，兩焦點之間的距離叫作雙曲線的焦距． (2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c， 其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0. ①當2a<|F1F2|時，M點的軌跡是雙曲線； ②當2a＝|F1F2|時，M點的軌跡是兩條射線； ③當2a>|F1F2|時，M點不存在． 2．雙曲線的標準方程和幾何性質 標準方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 圖形 性 質 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 對稱性 對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點 頂點 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 漸近線 y＝±x y＝±x 離心率 e＝，e∈(1，＋∞) 實、虛軸 線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長 a，b，c的關系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 1．雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)中，過焦點垂直于實軸所在直線的弦長為. 2．雙曲線的焦點到漸近線的距離等于其虛半軸長． 3．已知雙曲線－＝λ(a＞0，b＞0，λ≠0)，求其漸近線的方程，只需把λ改寫為0整理即可． [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面內到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線． (　　) (2)方程－＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線． (　　) (3)雙曲線－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是－＝0，即±＝0. (　　) (4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于. (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．雙曲線3x2－y2＝1的漸近線方程是(　　) A．y＝±3x　　　　　　　 B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x C　[由3x2－y2＝0得y＝±x.故選C.] 3．(教材改編)若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為(　　) A. B．5 C. D．2 A　[由題意可知b＝2a， ∴e＝＝＝，故選A.] 4．若雙曲線E：－＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于(　　) A．11 B．9 C．5 D．3 B　[由題意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由雙曲線的定義||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.] 5．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，則雙曲線的方程為________． －y2＝1　[由題意可得解得a＝2， b＝1，所以雙曲線的方程為－y＝1.] 雙曲線的定義及其應用 【例1】　(1)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為________． (2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝________. (1)x2－＝1(x≤－1)　(2)　[(1)如圖所示，設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和B． 根據兩圓外切的條件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|. 因為|MA|＝|MB|， 所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|， 即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2， 所以點M到兩定點C1，C2的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|. 根據雙曲線的定義，得動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M與C2的距離大，與C1的距離小)，其中a＝1，c＝3，則b2＝8. 故點M的軌跡方程為x2－＝1(x≤－1)． (2)因為由雙曲線的定義有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2， 所以|PF1|＝2|PF2|＝4， 所以cos∠F1PF2 ＝ ＝＝.] [母題探究]　(1)將本例(2)中的條件“|PF1|＝2|PF2|”改為“∠F1PF2＝60°”，則△F1PF2的面積是多少？ (2)將本例(2)中的條件“|PF1|＝2|PF2|”改為“·＝0”，則△F1PF2的面積是多少？ [解]　(1)不妨設點P在雙曲線的右支上， 則|PF1|－|PF2|＝2a＝2， 在△F1PF2中，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝＝， ∴|PF1|·|PF2|＝8， ∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2. (2)不妨設點P在雙曲線的右支上， 則|PF1|－|PF2|＝2a＝2， ∵·＝0，∴⊥， ∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即|PF1|2＋|PF2|2＝16， ∴|PF1|·|PF2|＝4， ∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝2. [規(guī)律方法]　(1)利用雙曲線的定義判定平面內動點的軌跡是否為雙曲線，進而根據要求可求出曲線方程； (2)在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經常結合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系． (1)方程－＝12的化簡結果為(　　) A.－＝1　　　　　　 B．－＝1 C.－＝1(x＞0) D．－＝1(x＞0) (2)設P是雙曲線－＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個焦點，若|PF1|＝9，則|PF2|等于________． (1)C　(2)17　[(1)設F1(－10,0)，F(xiàn)2(10,0)，動點P(x，y)，則由題意可知 |PF1|－|PF2|＝12，又|F1F2|＝20， ∴動點P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線的右支． 又2a＝12,2c＝20，∴a＝6，c＝10，b＝8. 即所求方程為－＝1(x＞0)． (2)由題意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P點在雙曲線的右支，則有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.] 雙曲線的標準方程 【例2】　(1)(2018·天津高考)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點．設A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 (2)已知雙曲線過點(2,3)，漸近線方程為y＝±x，則該雙曲線的標準方程是(　　) A.－＝1 B．－＝1 C．x2－＝1 D．－＝1 (1)C　(2)C　[(1)由d1＋d2＝6，得雙曲線的右焦點到漸近線的距離為3，所以b＝3.因為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以雙曲線的方程為－＝1，故選C. (2)因為雙曲線的漸近線方程為y＝±x, 即＝±x.所以可設雙曲線的方程是x2－＝λ(λ≠0)，將點(2,3)代入，得λ＝1，所以該雙曲線的標準方程為x2－＝1，故選C.] [規(guī)律方法]　求雙曲線標準方程的主要方法 (1)定義法：由條件判定動點的軌跡是雙曲線，求出a2，b2，得雙曲線方程． (2)待定系數(shù)法：即“先定位，后定量”，如果不能確定焦點的位置，應注意分類討論或恰當設置簡化討論． (1)(2017·全國卷Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點，則C的方程為(　　) A.－＝1　　　　　　 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 (2)已知點A(－1,0)，B(1,0)為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右頂點，點M在雙曲線上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則該雙曲線的標準方程為(　　) A．x2－＝1 B．x2－＝1 C．x2－＝1 D．x2－y2＝1 (1)B　(2)D　[(1)由y＝x可得＝.① 由橢圓＋＝1的焦點為(3,0)，(－3,0)， 可得a2＋b2＝9.② 由①②可得a2＝4，b2＝5. 所以C的方程為－＝1. 故選B． (2)由題意知a＝1.不妨設點M在第一象限，則由題意有|AB|＝|BM|＝2，∠ABM＝120°.過點M作MN⊥x軸于點N，則|BN|＝1，|MN|＝，所以M(2，)，代入雙曲線方程得4－＝1，解得b＝1，所以雙曲線的方程為x2－y2＝1，故選D．] 雙曲線的幾何性質 ?考法1　雙曲線的離心率問題 【例3】　(2018·廣州一模)如圖，在梯形ABCD中，已知|AB|＝2|CD|，＝，雙曲線過C，D，E三點，且以A，B為焦點，則雙曲線的離心率為(　　) A. B．2 C．3 D． A　[如圖，以AB所在直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，則由梯形的性質與雙曲線的對稱性知C，D關于y軸對稱．設A(－c,0)，則B(c,0)，C(其中h為梯形的高)，因為＝，所以xE＝－c，yE＝h.設雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，因為點C，E在雙曲線上，則解得＝7，所以雙曲線的離心率e＝＝，故選A.] ?考法2　雙曲線的漸近線問題 【例4】　(2019·福州模擬)過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別作雙曲線的兩條漸近線的平行線，若這4條直線所圍成的四邊形的周長為8b，則該雙曲線的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x A　[由雙曲線的對稱性得該四邊形為菱形，因為該四邊形的周長為8b，所以菱形的邊長為2b，由勾股定理得4條直線與y軸的交點到x軸的距離為＝，又4條直線分別與兩條漸近線平行，所以＝，解得a＝b，所以該雙曲線的漸近線的斜率為±1，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x，故選A.] ?考法3　雙曲線幾何性質的綜合應用 【例5】　(1)(2019·福州模擬)已知雙曲線－＝1與直線y＝2x有交點，則雙曲線離心率的取值范圍為(　　) A．(1，) B．(1，] C．(，＋∞) D．[，＋∞) (2)已知雙曲線C1：－y2＝1，雙曲線C2：－＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M在雙曲線C2的一條漸近線上，且OM⊥MF2(O為坐標原點)，若S△OMF2＝16，且雙曲線C1，C2的離心率相同，則雙曲線C2的實軸長為(　　) A．32 B．16 C．8 D．4 (1)C　(2)B　[(1)∵雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，則由題意，得＞2，∴e＝＝＞＝，即雙曲線離心率的取值范圍為(，＋∞)． (2)雙曲線C1：－y2＝1的離心率為，設F2(c,0)，雙曲線C2的一條漸近線方程為y＝x，可得|MF2|＝＝b，|OM|＝＝a.由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32.又a2＋b2＝c2，且＝，得a＝8，b＝4，c＝4，所以雙曲線C2的實軸長為16.] [規(guī)律方法]　與雙曲線幾何性質有關問題的解題策略 (1)求雙曲線的離心率(或范圍)．依據題設條件，將問題轉化為關于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得． (2)求雙曲線的漸近線方程．依據題設條件，求雙曲線中a，b的值或a與b的比值，進而得出雙曲線的漸近線方程． (1)(2019·海口模擬)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線與圓(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，則C的離心率為(　　) A. B． C. D． (2)若實數(shù)k滿足0＜k＜9，則曲線－＝1與曲線－＝1的(　　) A．焦距相等 B．實半軸長相等 C．虛半軸長相等 D．離心率相等 (3)已知雙曲線C1，C2的焦點分別在x軸、y軸上，漸近線方程為y＝±x(a＞0)，離心率分別為e1，e2，則e1＋e2的最小值為________． (1)B　(2)A　(3)2　[(1)雙曲線C的漸近線方程為by±ax＝0，與圓相切的只能是直線by－ax＝0，則＝1，化簡得3a＝4b，所以9a2＝16b2＝16(c2－a2)，e2＝，故e＝，故選 B． (2)∵0＜k＜9，∴9－k＞0,25－k＞0. ∴－＝1與－＝1均表示雙曲線， 又25＋(9－k)＝34－k＝(25－k)＋9， ∴它們的焦距相等，故選A. (3)e1＋e2＝＋＝·≥×＝2，當且僅當a＝1時取等號，故e1＋e2的最小值是2.] 1．(2018·全國卷Ⅱ)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　) A．y＝±x　　　　　　　 B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x A　[法一：由題意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，所以＝，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，故選A. 法二：由e＝＝＝，得＝，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，故選A.] 2.(2018·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－y2＝1，O為坐標原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝(　　) A. B．3 C．2 D．4 B　[因為雙曲線－y2＝1的漸近線方程為y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨設過點F的直線與直線y＝x交于點M，由△OMN為直角三角形，不妨設∠OMN＝90°，則∠MFO＝60°，又直線MN過點F(2,0)，所以直線MN的方程為y＝－(x－2)， 由得所以M，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3，故選B．] 3．(2016·全國卷Ⅰ)已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是(　　) A．(－1,3) B．(－1，) C．(0,3) D．(0，) A　[若雙曲線的焦點在x軸上，則 又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1，∴ ∴－1<n<3. 若雙曲線的焦點在y軸上，則雙曲線的標準方程為 －＝1，即 即n>3m2且n<－m2，此時n不存在．故選A.] 4.(2017·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b>0)的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點．若∠MAN＝60°，則C的離心率為________． 　[如圖，由題意知點A(a,0)，雙曲線的一條漸近線l的方程為y＝x，即bx－ay＝0， ∴點A到l的距離d＝. 又∠MAN＝60°，MA＝NA＝b，∴△MAN為等邊三角形， ∴d＝MA＝b，即＝b，∴a2＝3b2，∴e＝＝＝.] 5．(2015·全國卷Ⅰ)已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點，P是C的左支上一點，A(0,6)．當△APF周長最小時，該三角形的面積為________． 12　[由雙曲線方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3,0)，F(xiàn)1(－3,0)． 當點P在雙曲線左支上運動時，由雙曲線定義知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，從而△APF的周長＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|. 因為|AF|＝＝15為定值， 所以當(|AP|＋|PF1|)最小時，△APF的周長最小，由圖像可知，此時點P在線段AF1與雙曲線的交點處(如圖所示)． 由題意可知直線AF1的方程為y＝2x＋6， 由 得y2＋6y－96＝0， 解得y＝2或y＝－8(舍去)， 所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F ＝×6×6－×6×2＝12.] - 11 -