2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第7節(jié) 雙曲線教學(xué)案 理（含解析）北師大版

第七節(jié)雙曲線考綱傳真1.了解雙曲線的實(shí)際背景，了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解雙曲線的簡單應(yīng)用1雙曲線的定義(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點(diǎn)的集合叫作雙曲線這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離叫作雙曲線的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是雙曲線；當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是兩條射線；當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)不存在2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa，yRya或ya，xR對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸，對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線y±xy±x離心率e，e(1，)實(shí)、虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長|A1A2|2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a，b，c的關(guān)系c2a2b2(c>a>0，c>b>0)1雙曲線1(a0，b0)中，過焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸所在直線的弦長為.2雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于其虛半軸長3已知雙曲線(a0，b0，0)，求其漸近線的方程，只需把改寫為0整理即可基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，4)距離之差的絕對值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線()(2)方程1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線()(3)雙曲線(m>0，n>0，0)的漸近線方程是0，即±0.()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.()答案(1)×(2)×(3)(4)2雙曲線3x2y21的漸近線方程是()Ay±3xBy±xCy±x Dy±xC由3x2y20得y±x.故選C.3(教材改編)若雙曲線1(a0，b0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長，則該雙曲線的離心率為()A. B5C. D2A由題意可知b2a，e，故選A.4若雙曲線E：1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|3，則|PF2|等于()A11 B9C5 D3B由題意知a3，b4，c5.由雙曲線的定義|PF1|PF2|3|PF2|2a6，|PF2|9.5已知雙曲線1(a0，b0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直，則雙曲線的方程為_y21由題意可得解得a2，b1，所以雙曲線的方程為y1.雙曲線的定義及其應(yīng)用【例1】(1)已知圓C1：(x3)2y21和圓C2：(x3)2y29，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為_(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y22的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|2|PF2|，則cosF1PF2_.(1)x21(x1)(2)(1)如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A和B根據(jù)兩圓外切的條件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.因?yàn)閨MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C1，C2的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|.根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與C1的距離小)，其中a1，c3，則b28.故點(diǎn)M的軌跡方程為x21(x1)(2)因?yàn)橛呻p曲線的定義有|PF1|PF2|PF2|2a2，所以|PF1|2|PF2|4，所以cosF1PF2.母題探究(1)將本例(2)中的條件“|PF1|2|PF2|”改為“F1PF260°”，則F1PF2的面積是多少？(2)將本例(2)中的條件“|PF1|2|PF2|”改為“·0”，則F1PF2的面積是多少？解(1)不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則|PF1|PF2|2a2，在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF2，|PF1|·|PF2|8，SF1PF2|PF1|·|PF2|·sin 60°2.(2)不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則|PF1|PF2|2a2，·0，在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|216，|PF1|·|PF2|4，SF1PF2|PF1|·|PF2|2.規(guī)律方法(1)利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出曲線方程；(2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合|PF1|PF2|2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系 (1)方程12的化簡結(jié)果為()A.1B1C.1(x0) D1(x0)(2)設(shè)P是雙曲線1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|9，則|PF2|等于_(1)C(2)17(1)設(shè)F1(10,0)，F(xiàn)2(10,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，則由題意可知|PF1|PF2|12，又|F1F2|20，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支又2a12,2c20，a6，c10，b8.即所求方程為1(x0)(2)由題意知|PF1|9ac10，所以P點(diǎn)在雙曲線的右支，則有|PF2|PF1|2a8，故|PF2|PF1|817.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】(1)(2018·天津高考)已知雙曲線1(a0，b0)的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1d26，則雙曲線的方程為()A.1 B1C.1 D1(2)已知雙曲線過點(diǎn)(2,3)，漸近線方程為y±x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.1 B1Cx21 D1(1)C(2)C(1)由d1d26，得雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為3，所以b3.因?yàn)殡p曲線1(a0，b0)的離心率為2，所以2，所以4，所以4，解得a23，所以雙曲線的方程為1，故選C.(2)因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y±x, 即±x.所以可設(shè)雙曲線的方程是x2(0)，將點(diǎn)(2,3)代入，得1，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21，故選C.規(guī)律方法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的主要方法(1)定義法：由條件判定動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，求出a2，b2，得雙曲線方程(2)待定系數(shù)法：即“先定位，后定量”，如果不能確定焦點(diǎn)的位置，應(yīng)注意分類討論或恰當(dāng)設(shè)置簡化討論 (1)(2017·全國卷)已知雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線方程為yx，且與橢圓1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為()A.1B1C.1 D1(2)已知點(diǎn)A(1,0)，B(1,0)為雙曲線1(a0，b0)的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線上，ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()Ax21 Bx21Cx21 Dx2y21(1)B(2)D(1)由yx可得.由橢圓1的焦點(diǎn)為(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以C的方程為1.故選B(2)由題意知a1.不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限，則由題意有|AB|BM|2，ABM120°.過點(diǎn)M作MNx軸于點(diǎn)N，則|BN|1，|MN|，所以M(2，)，代入雙曲線方程得41，解得b1，所以雙曲線的方程為x2y21，故選D雙曲線的幾何性質(zhì)考法1雙曲線的離心率問題【例3】(2018·廣州一模)如圖，在梯形ABCD中，已知|AB|2|CD|，雙曲線過C，D，E三點(diǎn)，且以A，B為焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為()A. B2C3 DA如圖，以AB所在直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則由梯形的性質(zhì)與雙曲線的對稱性知C，D關(guān)于y軸對稱設(shè)A(c,0)，則B(c,0)，C(其中h為梯形的高)，因?yàn)椋詘Ec，yEh.設(shè)雙曲線的方程為1(a0，b0)，因?yàn)辄c(diǎn)C，E在雙曲線上，則解得7，所以雙曲線的離心率e，故選A.考法2雙曲線的漸近線問題【例4】(2019·福州模擬)過雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別作雙曲線的兩條漸近線的平行線，若這4條直線所圍成的四邊形的周長為8b，則該雙曲線的漸近線方程為()Ay±x By±xCy±x Dy±2xA由雙曲線的對稱性得該四邊形為菱形，因?yàn)樵撍倪呅蔚闹荛L為8b，所以菱形的邊長為2b，由勾股定理得4條直線與y軸的交點(diǎn)到x軸的距離為，又4條直線分別與兩條漸近線平行，所以，解得ab，所以該雙曲線的漸近線的斜率為±1，所以該雙曲線的漸近線方程為y±x，故選A.考法3雙曲線幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例5】(1)(2019·福州模擬)已知雙曲線1與直線y2x有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為()A(1，) B(1，C(，) D，)(2)已知雙曲線C1：y21，雙曲線C2：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M在雙曲線C2的一條漸近線上，且OMMF2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，若SOMF216，且雙曲線C1，C2的離心率相同，則雙曲線C2的實(shí)軸長為()A32 B16C8 D4(1)C(2)B(1)雙曲線的一條漸近線方程為yx，則由題意，得2，e，即雙曲線離心率的取值范圍為(，)(2)雙曲線C1：y21的離心率為，設(shè)F2(c,0)，雙曲線C2的一條漸近線方程為yx，可得|MF2|b，|OM|a.由SOMF216，可得ab16，即ab32.又a2b2c2，且，得a8，b4，c4，所以雙曲線C2的實(shí)軸長為16.規(guī)律方法與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問題的解題策略(1)求雙曲線的離心率(或范圍)依據(jù)題設(shè)條件，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得(2)求雙曲線的漸近線方程依據(jù)題設(shè)條件，求雙曲線中a，b的值或a與b的比值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程 (1)(2019·?？谀M)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線與圓(x2)2(y1)21相切，則C的離心率為()A. BC. D(2)若實(shí)數(shù)k滿足0k9，則曲線1與曲線1的()A焦距相等 B實(shí)半軸長相等C虛半軸長相等 D離心率相等(3)已知雙曲線C1，C2的焦點(diǎn)分別在x軸、y軸上，漸近線方程為y±x(a0)，離心率分別為e1，e2，則e1e2的最小值為_(1)B(2)A(3)2(1)雙曲線C的漸近線方程為by±ax0，與圓相切的只能是直線byax0，則1，化簡得3a4b，所以9a216b216(c2a2)，e2，故e，故選B(2)0k9，9k0,25k0.1與1均表示雙曲線，又25(9k)34k(25k)9，它們的焦距相等，故選A.(3)e1e2·×2，當(dāng)且僅當(dāng)a1時(shí)取等號，故e1e2的最小值是2.1(2018·全國卷)雙曲線1(a0，b0)的離心率為，則其漸近線方程為()Ay±xBy±xCy±x Dy±xA法一：由題意知，e，所以ca，所以ba，所以，所以該雙曲線的漸近線方程為y±x±x，故選A.法二：由e，得，所以該雙曲線的漸近線方程為y±x±x，故選A.2.(2018·全國卷)已知雙曲線C：y21，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N.若OMN為直角三角形，則|MN|()A. B3C2 D4B因?yàn)殡p曲線y21的漸近線方程為y±x，所以MON60°.不妨設(shè)過點(diǎn)F的直線與直線yx交于點(diǎn)M，由OMN為直角三角形，不妨設(shè)OMN90°，則MFO60°，又直線MN過點(diǎn)F(2,0)，所以直線MN的方程為y(x2)，由得所以M，所以|OM|，所以|MN|OM|3，故選B3(2016·全國卷)已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是()A(1,3) B(1，)C(0,3) D(0，)A若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則又(m2n)(3m2n)4，m21，1<n<3.若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，即即n>3m2且n<m2，此時(shí)n不存在故選A.4.(2017·全國卷)已知雙曲線C：1(a0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)若MAN60°，則C的離心率為_如圖，由題意知點(diǎn)A(a,0)，雙曲線的一條漸近線l的方程為yx，即bxay0，點(diǎn)A到l的距離d.又MAN60°，MANAb，MAN為等邊三角形，dMAb，即b，a23b2，e.5(2015·全國卷)已知F是雙曲線C：x21的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，A(0,6)當(dāng)APF周長最小時(shí)，該三角形的面積為_12由雙曲線方程x21可知，a1，c3，故F(3,0)，F(xiàn)1(3,0)當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由雙曲線定義知|PF|PF1|2，所以|PF|PF1|2，從而APF的周長|AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|.因?yàn)閨AF|15為定值，所以當(dāng)(|AP|PF1|)最小時(shí)，APF的周長最小，由圖像可知，此時(shí)點(diǎn)P在線段AF1與雙曲線的交點(diǎn)處(如圖所示)由題意可知直線AF1的方程為y2x6，由得y26y960，解得y2或y8(舍去)，所以SAPFSAF1FSPF1F×6×6×6×212.- 11 -