2020版高考數學一輪復習 第4章 平面向量、數系的擴充與復數的引入 第4節(jié) 數系的擴充與復數的引入教學案 文（含解析）北師大版

第四節(jié)數系的擴充與復數的引入考綱傳真1.理解復數的概念，理解復數相等的充要條件.2.了解復數的代數表示法及其幾何意義.3.能進行復數代數形式的四則運算，了解兩個具體復數相加、減的幾何意義1復數的有關概念(1)復數的概念：形如abi(a，bR)的數叫復數，其中a叫做復數z的實部，b叫做復數z的虛部(i為虛數單位)(2)分類：滿足條件(a，b為實數)復數的分類abi為實數b0abi為虛數b0abi為純虛數a0且b0abi為非純虛數a0且b0(3)復數相等：abicdiac，bd(a，b，c，dR)(4)共軛復數：abi與cdi共軛ac，bd(a，b，c，dR)(5)復數的模：向量的模叫做復數zabi的?；蚪^對值，記作|z|或|abi|，即|z|abi|(a，bR)2復數的幾何意義復數zabi復平面內的點Z(a，b)平面向量(a，b)3復數的運算設z1abi，z2cdi，a，b，c，dR.1(1±i)2±2i，i，i.2baii(abi)3i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)；i4ni4n1i4n2i4n30(nN*)4z·|z|2|2，|z1·z2|z1|·|z2|，|zn|z|n.基礎自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)復數zabi(a，bR)中，虛部為bi()(2)復數中有相等復數的概念，因此復數可以比較大小()(3)實軸上的點表示實數，虛軸上的點都表示純虛數()(4)復數的模實質上就是復平面內復數對應的點到原點的距離，也就是復數對應的向量的模. ()答案(1)×(2)×(3)× (4)2.(教材改編)如圖所示，在復平面內，點A表示復數z，則圖中表示z的共軛復數的點是()AABBCCDDB共軛復數對應的點關于實軸對稱3(教材改編)設mR，復數zm21(m1)i表示純虛數，則m的值為()A1B1C±1D0A由題意得，解得m1，故選A4復數()AiB1iCiD1iAi.5(教材改編)設x，yR，若(xy)(y1)i(2x3y)(2y1)i，則復數zxyi在復平面上對應的點位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限D由題意知解得則復數z42i在復平面上對應的點位于第四象限，故選D復數的有關概念1(2018·全國卷)設z2i，則|z|()A0BC1DCz2i2ii，所以|z|1.2(2018·浙江高考)復數(i為虛數單位)的共軛復數是()A1iB1iC1iD1iB1i，所以復數的共軛復數為1i，故選B3(2017·天津高考)已知aR，i為虛數單位，若為實數，則a的值為_2aR，i為實數，0，a2.規(guī)律方法解決復數概念問題的策略(1)復數的分類、復數的相等、復數的模，共軛復數的概念都與復數的實部與虛部有關，所以解答與復數相關概念有關的問題時，需把所給復數化為代數形式，即abi(a，bR)的形式，再根據題意列出實部、虛部滿足的方程(組)即可(2)求復數模的常規(guī)思路是利用復數的有關運算先求出復數z，然后利用復數模的定義求解復數的運算考法1復數的乘法運算【例1】(1)(2018·全國卷)(1i)(2i)()A3iB3iC3iD3i(2)(2016·全國卷)設(12i)(ai)的實部與虛部相等，其中a為實數，則a()A3 B2 C2 D3(3)若a為實數，且(2ai)(a2i)4i，則a()A1 B0 C1 D2(1)D(2)A(3)B(1)(1i)(2i)2i2ii23i.故選D(2)(12i)(ai)a2(12a)i，由題意知a212a，解得a3，故選A(3)因為(2ai)(a2i)4i，所以4a(a24)i4i.所以解得a0.故選B考法2復數的除法運算【例2】(1)(2018·天津高考)i是虛數單位，復數_.(2)(2018·江蘇高考)若復數z滿足i·z12i，其中i是虛數單位，則z的實部為_(1)4i(2)2(1)4i.(2)z2i故z的實部為2.考法3復數的綜合運算【例3】(1)(2019·太原模擬)設復數z滿足i，則z的共軛復數為()Ai Bi C2i D2i(2)(2016·全國卷)若z43i，則()A1B1CiDi(3)若復數z滿足 2z32i，其中i為虛數單位，則z等于()A12iB12iC12iD12i(1)A(2)D(3)B(1)由i得1zizi.即(1i)z1i，則zi，因此i，故選A(2)z43i，43i，|z|5，i.(3)設zabi(a，bR)，則abi，所以2(abi)(abi)32i，整理得3abi32i，所以解得所以z12i，故選B規(guī)律方法復數代數形式運算問題的常見類型及解題策略(1)復數的乘法復數的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可(2)復數的除法除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數，解題時要注意把i的冪寫成最簡形式(3)復數的運算與復數概念的綜合題先利用復數的運算法則化簡，一般化為abi(a，bR)的形式，再結合相關定義解答 (1)(2019·合肥模擬)已知i為虛數單位，則()A5B5iCiDi(2)(2019·惠州模擬)已知復數z的共軛復數為，若(1i)2i(i為虛數單位)，則z()Ai Bi1 Ci1 Di(3)(2019·南昌模擬)設z的共軛復數是，若z2，z22i，則z()AiBiC1iD1i(1)A(2)C(3)D(1)法一：5，故選A法二：5，故選A(2)由已知可得1i，則z1i，故選C(3)對四個選項逐一驗證可知，當z1i時，符合題意，故選D復數的幾何意義【例4】(1)(2018·北京高考)在復平面內，復數的共軛復數對應的點位于()A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限(2)(2019·鄭州模擬)若復數(1i)(ai)在復平面內對應的點在第二象限，則實數a的取值范圍是()A(，1)B(，1)C(1，)D(1，)(1)D(2)B(1)i，所以的共軛復數為i，在復平面內對應的點為，位于第四象限，故選D(2)復數(1i)(ai)a1(1a)i，其在復平面內對應的點(a1,1a)在第二象限，故解得a1，故選B規(guī)律方法與復數幾何意義相關的問題的一般解法第一步，進行簡單的復數運算，將復數化為標準的代數形式；第二步，把復數問題轉化為復平面的點之間的關系，依據是復數abi與復平面上的點(a，b)一一對應 (1)(2019·廣州模擬)設z1i(i是虛數單位)，則復數z2在復平面內對應的點位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2)在復平面內與復數z所對應的點關于虛軸對稱的點為A，則A對應的復數為()A12iB12iC2iD2i(1)A(2)C(1)因為z1i，所以z2(1i)212ii22i1i，所以該復數在復平面內對應的點的坐標為(1,1)，位于第一象限，故選A(2)依題意得，復數zi(12i)2i，其對應的點的坐標是(2,1)，因此點A(2,1)對應的復數為2i.1(2017·全國卷)下列各式的運算結果為純虛數的是()Ai(1i)2Bi2(1i)C(1i)2Di(1i)CA項，i(1i)2i(12ii2)i×2i2，不是純虛數B項，i2(1i)(1i)1i，不是純虛數C項，(1i)212ii22i，是純虛數D項，i(1i)ii21i，不是純虛數故選C2(2017·全國卷)復平面內表示復數zi(2i)的點位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限Czi(2i)12i，復數z12i所對應的復平面內的點為Z(1，2)，位于第三象限故選C3(2016·全國卷)設(1i)x1yi，其中x，y是實數，則|xyi|()A1B CD2B(1i)x1yi，xxi1yi.又x，yR，x1，yx1.|xyi|1i|，故選B4(2015·全國卷)已知復數z滿足(z1)i1i，則z()A2iB2iC2iD2iC(z1)ii1，z11i，z2i，故選C- 8 -