2020版高考數學一輪復習 第2章 函數、導數及其應用 第4節(jié) 二次函數與冪函數教學案 理（含解析）北師大版

第四節(jié)二次函數與冪函數考綱傳真1.理解二次函數的圖像和性質，能用二次函數、方程、不等式之間的關系解決簡單問題.2.(1)了解冪函數的概念；(2)結合函數yx，yx2，yx3，yx，y的圖像，了解它們的變化情況1二次函數(1)二次函數解析式的三種形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；頂點式：f(x)a(xh)2k(a0)，頂點坐標為(h，k)；零點式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2為f(x)的零點(2)二次函數的圖像與性質函數yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)圖像定義域R值域單調性在上減，在上增在上增，在上減對稱性函數的圖像關于直線x對稱2.冪函數(1)定義：如果一個函數，底數是自變量x，指數是常量，即yx，這樣的函數稱為冪函數(2)五種常見冪函數的圖像與性質常用結論1冪函數yx在第一象限的兩個重要結論(1)恒過點(1,1)；(2)當x(0,1)時，越大，函數值越?。划攛(1，)時，越大，函數值越大2研究二次函數yax2bxc(a0)在區(qū)間m，n(mn)上的單調性與值域時，分類討論與m或n的大小3二次函數圖像對稱軸的判斷方法(1)對于二次函數yf(x)對定義域內所有x，都有f(x1)f(x2)，那么函數yf(x)的圖像關于x對稱(2)對于二次函數yf(x)對定義域內所有x，都有f(ax)f(ax)成立的充要條件是函數yf(x)的圖像關于直線xa對稱(a為常數)基礎自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)二次函數yax2bxc，xR不可能是偶函數()(2)二次函數yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(3)冪函數的圖像一定經過點(1,1)和點(0,0)()(4)當0時，冪函數yx在(0，)上是增函數()答案(1)×(2)×(3)×(4)2(教材改編)已知冪函數f(x)k·x的圖像過點，則k等于()A.B1C. D2Cf(x)k·x是冪函數，k1，又f，k1.3.如圖是yxa；yxb；yxc在第一象限的圖像，則a，b，c的大小關系為()Aabc BabcCbca DacbD結合冪函數的圖像可知bca.4(教材改編)已知函數yx2ax6在內是增函數，則a的取值范圍為()Aa5 Ba5Ca5 Da5C由題意可得，即a5.5(教材改編)函數g(x)x22x(x0,3)的值域是_1,3g(x)x22x(x1)21，x0,3，當x1時，g(x)ming(1)1，又g(0)0，g(3)963，g(x)max3，即g(x)的值域為1,3冪函數的圖像及性質1冪函數yf(x)的圖像經過點(3，)，則f(x)是()A偶函數，且在(0，)上是增函數B偶函數，且在(0，)上是減函數C奇函數，且在(0，)上是減函數D非奇非偶函數，且在(0，)上是增函數D設冪函數f(x)x，則f(3)3，解得，則f(x)x，是非奇非偶函數，且在(0，)上是增函數2.冪函數yxm24m(mZ)的圖像如圖所示，則m的值為()A0B1C2 D3C由圖像可知yxm24m是偶函數，且m24m0，0m4，又mZ，m1,2,3，經檢驗m2符合題意3若(a1)(32a)，則實數a的取值范圍是_易知函數yx的定義域為0，)，在定義域內為增函數，所以解之得1a.規(guī)律方法(1)求解與冪函數圖像有關的問題，應根據冪函數在第一象限內的函數圖像特征，結合其奇偶性、單調性等性質研究.(2)利用冪函數的單調性比較冪值大小的技巧：結合冪值的特點利用指數冪的運算性質化成同指數冪，選擇適當的冪函數，借助其單調性進行比較.求二次函數的解析式【例1】(1)已知二次函數f(x)x2bxc滿足f(0)3，對任意xR，都有f(1x)f(1x)成立，則f(x)的解析式為_(2)若函數f(x)(xa)(bx2a)(a，bR)是偶函數，且它的值域為(，4，則該函數的解析式f(x)_.(1)f(x)x22x3(2)2x24(1)f(0)3，c3.又f(1x)f(1x)，f(x)的圖像關于直線x1對稱，1，b2.f(x)x22x3.(2)f(x)(xa)(bx2a)bx2(2aab)x2a2，又f(x)為偶函數，且值域為(，4，f(x)2x24.規(guī)律方法求二次函數解析式的方法 已知二次函數f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定該二次函數的解析式解法一(利用一般式)：設f(x)ax2bxc(a0)由題意得解得所求二次函數為f(x)4x24x7.法二(利用頂點式)：設f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，函數圖像的對稱軸為x.m.又根據題意函數有最大值8，n8.yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.法三(利用零點式)：由已知f(x)10的兩根為x12，x21，故可設f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函數的最大值是8，即8，解得a4，所求函數的解析式為f(x)4x24x7.二次函數的圖像與性質考法1二次函數的單調性【例2】函數f(x)ax2(a3)x1在區(qū)間1，)上是遞減的，則實數a的取值范圍是()A3,0) B(，3C2,0 D3,0D當a0時，f(x)3x1在1，)上遞減，滿足題意當a0時，f(x)的對稱軸為x，由f(x)在1，)上遞減知解得3a0.綜上，a的取值范圍為3,0母題探究若函數f(x)ax2(a3)x1的減區(qū)間是1，)，則a_.3由題意知f(x)必為二次函數且a0，又1，a3.考法2二次函數的最值【例3】求函數f(x)x22ax1在區(qū)間1,2上的最大值解f(x)(xa)21a2，f(x)的圖像是開口向上的拋物線，對稱軸為xa.(1)當a，即a時，f(x)maxf(2)4a5；(2)當a，即a時，f(x)maxf(1)22a.綜上，f(x)max考法3二次函數中的恒成立問題【例4】(1)已知函數f(x)ax22x2，若對一切x，f(x)0都成立，則實數a的取值范圍為()A. B.C4，) D(4，)(2)已知函數f(x)x2mx1，若對于任意xm，m1，都有f(x)0成立，則實數m的取值范圍是_(1)B(2)(1)因為對一切x，f(x)0都成立，所以當x時，a22，又22，則實數a的取值范圍為.(2)因為函數f(x)x2mx1的圖像是開口向上的拋物線，要使對于任意xm，m1，都有f(x)0，則有即解得m0.所以實數m的取值范圍是.規(guī)律方法1.二次函數最值問題的解法：抓住“三點一軸”數形結合，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合配方法，根據函數的單調性及分類討論的思想即可完成.2.由不等式恒成立求參數取值范圍的思路及關鍵(1)一般有兩個解題思路：一是分離參數；二是不分離參數.(2)兩種思路都是將問題歸結為求函數的最值，至于用哪種方法，關鍵是看參數是否已分離.這兩個思路的依據是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min. 已知二次函數f(x)ax2bx1(a，bR)，xR.(1)若函數f(x)的最小值為f(1)0，求f(x)的解析式，并寫出單調區(qū)間；(2)在(1)的條件下，f(x)xk在區(qū)間3，1上恒成立，試求k的取值范圍解(1)由題意知解得所以f(x)x22x1，函數f(x)的遞增區(qū)間為1，)，遞減區(qū)間為(，1(2)由題意知，x22x1xk在區(qū)間3，1上恒成立，即kx2x1在區(qū)間3，1上恒成立，令g(x)x2x1，x3，1g(x)在區(qū)間3，1上是減函數，則g(x)ming(1)1，所以k1，故k的取值范圍是(，1)- 8 -