2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例教學(xué)案 文（含解析）北師大版

第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例考綱傳真1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.5.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題1兩個向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a和b，作a，b，則AOB叫作向量a與b的夾角(2)范圍：0°AOB180°.(3)向量垂直：AOB90°時，a與b垂直，記作ab.規(guī)定：零向量可與任一向量垂直2平面向量的數(shù)量積(1)射影的定義設(shè)是a與b的夾角，則|b|cos 叫作向量b在a方向上的射影，|a|cos 叫作向量a在b方向上的射影(2)平面向量數(shù)量積的定義已知兩個向量a和b，它們的夾角為，把|a|b|cos 叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b.(3)數(shù)量積的幾何意義a與b的數(shù)量積等于a的長度|a|與b在a方向上的射影|b|·cos 的乘積，或b的長度|b|與a在b方向上射影|a|cos 的乘積3平面向量數(shù)量積的運算律(1)交換律：a·bb·a；(2)數(shù)乘結(jié)合律：(a)·b(a·b)a·(b)；(3)分配律：a·(bc)a·ba·c.4平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示設(shè)非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b結(jié)論幾何表示坐標表示模|a|a|數(shù)量積a·b|a|b|cos a·bx1x2y1y2夾角cos cos aba·b0x1x2y1y20|a·b|與|a|b|的關(guān)系|a·b|a|b|x1x2y1y2|·1兩個向量a，b的夾角為銳角a·b0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角a·b0且a，b不共線2平面向量數(shù)量積運算的常用公式(1)(ab)·(ab)a2b2.(2)(ab)2a22a·bb2.(3)(ab)2a22a·bb2.3當a與b同向時，a·b|a|b|；當a與b反向時，a·b|a|b|.基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)在ABC中，向量與的夾角為B()(2)向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量()(3)若a·b0，則a和b的夾角為銳角；若a·b0，則a和b的夾角為鈍角()(4)a·ba·c(a0)，則bc()答案(1)×(2)(3)×(4)×2(教材改編)設(shè)a(5，7)，b(6，t)，若a·b2，則t的值為()A4 B4CDAa·b5×(6)7t2，解得t4，故選A3(教材改編)已知|a|2，|b|6，a·b6，則a與b的夾角為()A B C DDcos ，又0，則，故選D4已知向量a(2,3)，b(3，m)，且ab，則m_.2由ab得a·b0，即63m0，解得m2.5(教材改編)已知|a|5，|b|4，a與b的夾角120°，則向量b在向量a方向上的投影為_2由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的投影為|b|cos 4×cos 120°2.平面向量數(shù)量積的運算1(2018·全國卷)已知向量a，b滿足|a|1，a·b1，則a·(2ab)()A4 B3C2D0B因為|a|1，a·b1，所以a·(2ab)2|a|2a·b2×12(1)3，故選B2已知(2,1)，點C(1,0)，D(4,5)，則向量在方向上的投影為 ()AB3CD3C因為點C(1,0)，D(4,5)，所以CD(5,5)，又(2,1)，所以向量在方向上的投影為|cos，故選C3已知ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE2EF，則·的值為()A B C DB如圖所示，.又D，E分別為AB，BC的中點，且DE2EF，所以，所以.又，則··()·22·22·.又|1，BAC60°，故·×1×1×.故選B規(guī)律方法平面向量數(shù)量積的三種運算方法(1)當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即a·b|a|b|cos a，b(2)當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a·bx1x2y1y2.(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解平面向量數(shù)量積的應(yīng)用考法1求向量的模【例1】(1)已知平面向量a，b的夾角為，且|a|，|b|2，在ABC中，2a2b，2a6b，D為BC中點，則|等于()A2 B4 C6 D8(2)(2019·廣州模擬)已知向量a，b的夾角為60°，|a|2，|a2b|2，則|b|等于()A4 B2 C D1(1)A(2)D(1)因為()(2a2b2a6b)2a2b，所以|24(ab)24(a22b·ab2)4×4，則|2.(2)由|a2b|2，得(a2b)2|a|24a·b4|b|24，即|a|24|a|b|cos 60°4|b|24，即|b|2|b|0，解得|b|0(舍去)或|b|1，故選D考法2求向量的夾角【例2】(1)已知向量a，b滿足(a2b)·(5a4b)0，且|a|b|1，則a與b的夾角為()ABCD(2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是_(1)C(2)(1)(a2b)·(5a4b)0，5a26a·b8b20.又|a|b|1，a·b，cos .又0，故選C(2)因為2a3b與c的夾角為鈍角，所以(2a3b)·c0，即(2k3，6)·(2,1)0，所以4k660，所以k3.又若(2a3b)c，則2k312，即k.當k時，2a3b(12，6)6c，即2a3b與c反向綜上，k的取值范圍為.考法3平面向量的垂直問題【例3】(1)已知向量a(1，1)，b(6，4)若a(tab)，則實數(shù)t的值為_(2)已知向量與的夾角為120°，且|3，|2.若，且，則實數(shù)的值為_(1)5(2)(1)a(1，1)，b(6，4)，tab(t6，t4)又a(tab)，則a·(tab)0，即t6t40，解得t5.(2)由得·0，即()·()0，(1)·220，即3(1)940.解得.規(guī)律方法平面向量數(shù)量積求解問題的策略(1)求兩向量的夾角：cos ，要注意0，(2)兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：aba·b0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有：a2a·a|a|2或|a|.|a±b|.若a(x，y)，則|a|. (1)(2017·全國卷)已知向量a，b的夾角為60°，|a|2，|b|1，則|a2b|_.(2)(2017·山東高考)已知e1，e2是互相垂直的單位向量若e1e2與e1e2的夾角為60°，則實數(shù)的值是_(1)2(2)(1)法一：|a2b|2.法二：(數(shù)形結(jié)合法)由|a|2b|2，知以a與2b為鄰邊可作出邊長為2的菱形OACB，如圖，則|a2b|.又AOB60°，所以|a2b|2.(2)由題意知|e1|e2|1，e1·e20，|e1e2|2.同理|e1e2|.所以cos 60°，解得.平面向量與三角函數(shù)的綜合【例4】(2017·江蘇高考)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)記f(x)a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值解(1)因為a(cos x，sin x)，b(3，)，ab，所以cos x3sin x.若cos x0，則sin x0，與sin2 xcos2 x1矛盾，故cos x0.于是tan x.又x0，所以x.(2)f(x)a·b(cos x，sin x)·(3，)3cos xsin x2cos.因為x0，所以x，從而1cos.于是，當x，即x0時，f(x)取到最大值3；當x，即x時，f(x)取到最小值2.規(guī)律方法平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標中含有三角函數(shù)的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_形式，解題思路是經(jīng)過向量的運算，利用三角函數(shù)的定義域內(nèi)的有界性，求得值域等 在平面直角坐標系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m與n的夾角為，求x的值解(1)因為m，n(sin x，cos x)，mn.所以m·n0，即sin xcos x0，所以sin xcos x，所以tan x1.(2)因為|m|n|1，所以m·ncos，即sin xcos x，所以sin，因為0x，所以x，所以x，即x.1(2016·全國卷)已知向量，則ABC()A30° B45°C60°D120°A因為，所以·.又因為·|cosABC1×1×cosABC，所以cosABC.又0°ABC180°，所以ABC30°.故選A2(2015·全國卷)向量a(1，1)，b(1,2)，則(2ab)·a()A1 B0 C1 D2C法一：a(1，1)，b(1,2)，a22，a·b3，從而(2ab)·a2a2a·b431.法二：a(1，1)，b(1,2)，2ab(2，2)(1,2)(1,0)，從而(2ab)·a(1,0)·(1，1)1，故選C3(2014·全國卷)設(shè)向量a，b滿足|ab|，|ab|，則a·b()A1 B2 C3 D5A|ab|2(ab)2a22a·bb210，|ab|2(ab)2a22a·bb26，將上面兩式左右兩邊分別相減，得4a·b4，a·b1.4(2017·全國卷)已知向量a(1,2)，b(m,1)若向量ab與a垂直，則m_.7a(1,2)，b(m,1)，ab(1m,21)(m1,3)又ab與a垂直，(ab)·a0，即(m1)×(1)3×20，解得m7.- 10 -