2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教學(xué)案 文（含解析）北師大版

第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系考綱傳真1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想1直線與圓的位置關(guān)系(1)三種位置關(guān)系：相交、相切、相離(2)兩種研究方法：2圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(xa1)2(yb1)2r(r1>0)，圓O2：(xa2)2(yb2)2r(r2>0)位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況相離d>r1r2無解外切dr1r2一組實(shí)數(shù)解相交|r1r2|<d<r1r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d|r1r2|(r1r2)一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0d<|r1r2|(r1r2)無解1. 圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2y2r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0xy0yr2.(2)過圓(xa)2(yb)2r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)過圓x2y2r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0xy0yr2.2圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：內(nèi)含：0條；內(nèi)切：1條；相交：2條；外切：3條；外離：4條(2)當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓方程(x2，y2項(xiàng)系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)“k1”是“直線xyk0與圓x2y21相交”的必要不充分條件()(2)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切()(3)如果兩圓的圓心距小于兩半徑之和，則兩圓相交()(4)若兩圓相交，則兩圓方程相減消去二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是公共弦所在直線的方程()(5)過圓O：x2y2r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程是x0xy0yr2()答案(1)×(2)×(3)×(4)(5)2直線xy10與圓(x1)2y21的位置關(guān)系是()A相切B直線過圓心C直線不過圓心，但與圓相交D相離B依題意知圓心為(1,0)，到直線xy10的距離d0，所以直線過圓心3(教材改編)圓(x2)2y24與圓(x2)2(y1)29的位置關(guān)系為()A內(nèi)切B相交C外切D相離B兩圓圓心分別為(2,0)，(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d. 32<d<32，兩圓相交4已知直線l：yk(x)和圓C：x2(y1)21，若直線l與圓C相切，則k()A0 B. C或0 D或0D因?yàn)橹本€l與圓C相切，所以圓心C到直線l的距離d1，解得k0或k，故選D5直線x2y0被圓C：x2y26x2y150所截得的弦長等于_4由已知圓心C(3,1)，半徑r5.又圓心C到直線l的距離d，則弦長24.直線與圓的位置關(guān)系1. 若直線xmy2m與圓x2y22x2y10相交，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A(，)B(，0)C(0，)D(，0)(0，)D圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y1)21，圓心C(1,1)，半徑r1.因?yàn)橹本€與圓相交，所以d<r1.解得m>0或m<0.故選D2圓x2y22x4y0與直線2txy22t0(tR)的位置關(guān)系為()A相離B相切C相交D以上都有可能C直線2txy22t0恒過點(diǎn)(1，2)，12(2)22×14×(2)5<0，點(diǎn)(1，2)在圓x2y22x4y0內(nèi)，直線2txy22t0與圓x2y22x4y0相交，故選C3圓(x3)2(y3)29上到直線3x4y110的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A1B2 C3D4C如圖所示，因?yàn)閳A心到直線的距離為2，又因?yàn)閳A的半徑為3，所以直線與圓相交，故圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有3個(gè)規(guī)律方法判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用判斷(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題圓與圓的位置關(guān)系【例1】已知圓C1：(xa)2(y2)24與圓C2：(xb)2(y2)21相外切，則ab的最大值為()A.B. CD2C由圓C1與圓C2相外切，可得213，即(ab)29，根據(jù)基本(均值)不等式可知ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號成立故選C拓展探究把本例中的“外切”變?yōu)椤皟?nèi)切”，求ab的最大值解由C1與C2內(nèi)切得1.即(ab)21，又ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號成立，故ab的最大值為.規(guī)律方法判斷圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般用幾何法，其步驟是(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長；(2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d和r1r2，|r1r2|的值；(3)比較d，r1r2，|r1r2|的大小，寫出結(jié)論 已知兩圓C1：x2y22x6y10和C2：x2y210x12y450.(1)求證：圓C1和圓C2相交；(2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長解(1)證明：圓C1的圓心為C1(1,3)，半徑r1，圓C2的圓心為C2(5,6)，半徑r24，兩圓圓心距d|C1C2|5，r1r24，|r1r2|4，|r1r2|dr1r2，圓C1和C2相交(2)圓C1和圓C2的方程左、右兩邊分別相減，得4x3y230，兩圓的公共弦所在直線的方程為4x3y230.圓心C2(5,6)到直線4x3y230的距離3，故公共弦長為22.直線與圓的綜合問題考法1圓的切線問題【例2】(1)已知圓的方程為x2y21，則在y軸上截距為的切線方程為()AyxByxCyx或yxDx1或yx(2)(2019·惠州第一次調(diào)研)過點(diǎn)A(3,4)作圓C：(x2)2(y3)22的切線l，則切線l的方程為_(1)C(2)xy70(1)在y軸上截距為且斜率不存在的直線顯然不是切線，故設(shè)切線方程為ykx，則1，所以k±1，故所求切線方程為yx或yx.(2)設(shè)切線l的方程為ykxb，點(diǎn)A(3,4)在切線l上，故43kb.圓C：(x2)2(y3)22的圓心(2,3)到切線l的距離d，可得，解得k1，故b7，切線l的方程為xy70.考法2直線與圓相交的弦長問題【例3】(1)直線xy20與圓x2y24相交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長為_(2)設(shè)圓x2y22x2y20的圓心為C，直線l過(0,3)與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|2，則直線l的方程為()A3x4y120或4x3y90B3x4y120或x0C4x3y90或x0D3x4y120或4x3y90(1)2(2)B(1)圓x2y24的圓心為點(diǎn)(0,0)，半徑r2，圓心到直線xy20的距離d1，弦長|AB|22.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x0時(shí)，弦長為2，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為ykx3，由弦長為2，半徑為2可知，圓心到該直線的距離為1，從而有1，解得k，綜上，直線l的方程為x0或3x4y120，選B.考法3直線、圓與相關(guān)知識的交匯【例4】(2015·全國卷)已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21交于M，N兩點(diǎn)(1)求k的取值范圍；(2)若·12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.解(1)由題設(shè)可知直線l的方程為ykx1.因?yàn)橹本€l與圓C交于兩點(diǎn)，所以<1，解得<k<.所以k的取值范圍為.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)將ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.·x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由題設(shè)可得812，解得k1，所以直線l的方程為yx1.故圓心C在直線l上，所以|MN|2.規(guī)律方法1.圓的切線方程的兩種求法(1)代數(shù)法：設(shè)切線方程為yy0k(xx0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式0進(jìn)而求得k.(2)幾何法：設(shè)切線方程為yy0k(xx0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令dr，進(jìn)而求出k.2弦長的兩種求法(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程在判別式0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長公式求弦長(2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l2. (1)過點(diǎn)(3,1)作圓(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的長為_(2)若直線l：xym與曲線C：y有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是_(1)2(2)1，)(1)設(shè)P(3,1)，圓心C(2,2)，則|PC|，半徑r2，由題意知最短的弦過P(3,1)且與PC垂直，所以最短弦長為22.(2)畫出圖像如圖，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)A，B時(shí)，m1，此時(shí)直線l與曲線y有兩個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線l與曲線相切時(shí)，m，因此當(dāng)1m<時(shí)，直線l：xym與曲線y有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)1(2018·全國卷)直線xy20分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x2)2y22上，則ABP面積的取值范圍是()A2,6B4,8C，3D2，3A由題意知圓心的坐標(biāo)為(2,0)，半徑r，圓心到直線xy20的距離d2，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是dr3，最小距離是dr.易知A(2,0)，B(0，2)，所以|AB|2，所以2SABP6.故選A.2(2018·全國卷)直線yx1與圓x2y22y30交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|_.2由題意知圓的方程為x2(y1)24，所以圓心坐標(biāo)為(0，1)，半徑為2，則圓心到直線yx1的距離d，所以|AB|22.3(2016·全國卷)設(shè)直線yx2a與圓C：x2y22ay20相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|2，則圓C的面積為_4圓C：x2y22ay20化為標(biāo)準(zhǔn)方程是C：x2(ya)2a22，所以圓心C(0，a)，半徑r.|AB|2，點(diǎn)C到直線yx2a即xy2a0的距離d，由勾股定理得2a22，解得a22，所以r2，所以圓C的面積為×224.4(2017·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線yx2mx2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1)當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問題：(1)能否出現(xiàn)ACBC的情況？說明理由；(2)證明過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值解(1)不能出現(xiàn)ACBC的情況理由如下：設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，則x1，x2滿足x2mx20，所以x1x22.又點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1)，故AC的斜率與BC的斜率之積為·，所以不能出現(xiàn)ACBC的情況(2)證明：BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，可得BC的中垂線方程為yx2.由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂線方程為x.聯(lián)立又xmx220，可得所以過A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑r.故圓在y軸上截得的弦長為23，即過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值- 9 -