2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第2節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式教學(xué)案 文（含解析）北師大版

第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式考綱傳真1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2cos21，tan .2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出±，±的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2cos21；(2)商數(shù)關(guān)系：tan .2誘導(dǎo)公式組序一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin sin sin cos cos_余弦cos cos cos cos_sin sin 正切tan tan tan tan_cot cot 口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變符號(hào)看象限同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的幾種變形(1)(sin ±cos )21±2sin cos .(2)sin21cos2(1cos )(1cos )(3)cos21sin2(1sin )(1sin )(4)sin tan cos .基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若，為銳角，則sin2cos21.()(2)若R，則tan 恒成立()(3)sin()sin 成立的條件是為銳角()(4)若sin(k)(kZ)，則sin .()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2(教材改編)已知是第二象限角，sin ，則cos 等于()A BCDBsin ，是第二象限角，cos .3sin 750°_.sin 750°sin(2×360°30°)sin 30°.4已知sin，則sin()_.因?yàn)閟incos ，所以sin ，所以sin()sin .5(教材改編)已知tan 2，則的值為_.同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用1若是三角形的內(nèi)角，且tan ，則sin cos 的值為()ABCDC由tan ，得sin cos ，將其代入sin2cos21，得cos21，cos2，易知cos 0，cos ，sin ，故sin cos .2(2019·合肥模擬)已知tan ，則sin (sin cos )()ABCDAsin (sin cos )sin2sin cos ，將tan 代入，得原式，故選A3已知sin cos ，且，則cos sin 的值為()AB CDB，cos 0，sin 0且cos sin ，cos sin 0.又(cos sin )212sin cos 12×，cos sin ，故選B4已知sin cos ，則sin cos 的值為()A B C DB因?yàn)?sin cos )2sin2cos22sin ·cos 12sin cos ，所以2sin cos ，則(sin cos )2sin2cos22sin ·cos 12sin cos .又因?yàn)?，所以sin cos ，即sin cos 0，所以sin cos ，故選B規(guī)律方法同角三角函數(shù)關(guān)系式及變形公式的應(yīng)用方法(1)利用sin2cos21可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化(2)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sin cos ，sin cos ，sin cos 這三個(gè)式子，利用(sin ±cos )21±2sin cos ，可以知一求二(3)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用【例1】(1)sin(1 200°)cos 1 290°_.(2)已知cosa，則cossin_.(3)已知A(kZ)，則A的值構(gòu)成的集合是_(1)(2)0(3)2，2(1)原式sin 1 200°cos 1290°sin(3×360°120°)cos(3×360°210°)sin 120°cos 210°sin(180°60°)cos(180°30°)sin 60°cos 30°×.(2)coscoscosa，sinsincosacossinaa0.(3)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，A2；k為奇數(shù)時(shí)，A2，因此A的值構(gòu)成的集合為2，2 .規(guī)律方法1.誘導(dǎo)公式用法的一般思路(1)化負(fù)為正，化大為小，化到銳角為止(2)角中含有加減的整數(shù)倍時(shí)，用公式去掉的整數(shù)倍2常見的互余和互補(bǔ)的角(1)常見的互余的角：與；與；與等(2)常見的互補(bǔ)的角：與；與等3三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的方向(1)切化弦，統(tǒng)一名(2)用誘導(dǎo)公式，統(tǒng)一角(3)用因式分解將式子變形，化為最簡(jiǎn) (1)已知，且cos ，則()ABCD(2)已知sin，則cos_.(1)C(2)(1)，又，cos ，則sin ，從而，故選C(2)因?yàn)?所以coscossin.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用【例2】(1)(2016·全國卷)已知是第四象限角，且sin，則tan_.(2)已知cos2sin，則的值為_(1)(2)(1)由題意知sin，是第四象限角，所以cos0，所以cos.sinsincos，coscossin.tantan.(2)cos2sin，sin 2cos ，則sin 2cos ，代入sin2cos21，得cos2.cos2.規(guī)律方法化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的基本思路和要求(1)基本思路分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)公式；利用公式化成單角三角函數(shù)；整理得最簡(jiǎn)形式(2)化簡(jiǎn)要求：化簡(jiǎn)過程是恒等變形；結(jié)構(gòu)要求項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單，能求值的要求出值 (1)(2019·唐山模擬)已知sin，那么tan 的值為()A B C± D±(2)設(shè)f()(12sin 0)，則f_.(1)C(2)sinsincos ，則sin ±，所以tan ±，故選C(2)因?yàn)閒()，所以f.1(2017·全國卷)已知sin cos ，則sin 2()A BCDAsin cos ，(sin cos )212sin cos 1sin 2，sin 2.故選A2(2016·全國卷)若tan ，則cos 2()A B C DDcos 2又tan ，cos 2.3(2016·全國卷)若tan ，則cos22sin 2()A B C1 DA因?yàn)閠an ，則cos22sin 2.故選A- 9 -