不等式【2019年高考考綱解讀】高考對本內(nèi)容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C級要求，線性規(guī)劃是A級要求．(2)基本不等式是C級要求，理解基本不等式在不等式證明、函數(shù)最值的求解方面的重要應(yīng)用．試題類型可能是填空題，同時(shí)在解答題中經(jīng)常與函數(shù)、實(shí)際應(yīng)用題綜合考查，構(gòu)成中高檔題.【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】 1．不等式的解法(1)求解一元二次不等式的基本思路：先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集．(2)解含參數(shù)不等式的難點(diǎn)在于對參數(shù)的恰當(dāng)分類，關(guān)鍵是找到對參數(shù)進(jìn)行討論的原因．確定好分類標(biāo)準(zhǔn)、層次清楚地求解． 2．基本不等式(1)基本不等式a2＋b2≥2ab取等號的條件是當(dāng)且僅當(dāng)a＝b.(2)幾個(gè)重要的不等式：①ab≤2(a，b∈R)．② ≥≥≥(a＞0，b＞0)．③a＋≥2(a＞0，當(dāng)a＝1時(shí)等號成立)．④2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，當(dāng)a＝b時(shí)等號成立)．(3)最值問題：設(shè)x，y都為正數(shù)，則有①若x＋y＝s(和為定值)，則x＝y(tǒng)時(shí)，積xy取得最大值；②若xy＝p(積為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y取得最小值2.3．不等式的恒成立、能成立、恰成立問題(1)恒成立問題若不等式f(x)>A在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)min>A；若不等式f(x)A成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)max>A；若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)A在區(qū)間D上恰成立，則等價(jià)于不等式f(x)>A的解集為D；若不等式f(x) D．a(chǎn)2>ab>b2【解析】∵c為實(shí)數(shù)，∴取c＝0，得ac2＝0，bc2＝0，此時(shí)ac2＝bc2，故選項(xiàng)A不正確；－＝，∵a0，ab>0，∴>0，即>，故選項(xiàng)B不正確；∵a0，∴a2>ab，又∵ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，故選項(xiàng)D正確，故選D．【答案】D【方法技巧】解不等式的四種策略(1)解一元二次不等式的策略：先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再結(jié)合相應(yīng)二次方程的根及二次函數(shù)圖象確定一元二次不等式的解集．(2)解簡單的分式不等式的策略：將不等式一邊化為0，再將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)求解．(3)解含指數(shù)、對數(shù)不等式的策略：利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其轉(zhuǎn)化為整式不等式求解．(4)解含參數(shù)不等式的策略：根據(jù)題意確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，依次討論求解．【變式探究】 (1)若不等式x2＋ax＋1≥0對于一切x∈成立，則a的取值范圍是________．(2)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為，則f(10x)>0的解集為______．【答案】(1)[－，＋∞) (2){x|x<－lg 2}【規(guī)律方法】解一元二次不等式一般要先判斷二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)也即考慮對應(yīng)的二次函數(shù)圖象的開口方向，再考慮方程根的個(gè)數(shù)也即求出其判別式的符號，有時(shí)還需要考慮其對稱軸的位置，根據(jù)條件列出方程組或結(jié)合對應(yīng)的函數(shù)圖象求解．題型二、線性規(guī)劃問題【例2】（2018年全國I卷理數(shù)）若，滿足約束條件，則的最大值為_____________．【答案】6【解析】根據(jù)題中所給的約束條件，畫出其對應(yīng)的可行域，如圖所示：由可得，畫出直線，將其上下移動(dòng)，結(jié)合的幾何意義，可知當(dāng)直線過點(diǎn)B時(shí)，z取得最大值，由，解得，此時(shí)，故答案為6.【舉一反三】（2018年全國Ⅱ卷理數(shù)）若滿足約束條件則的最大值為__________．【答案】9【解析】作可行域，則直線過點(diǎn)A(5,4)時(shí)取最大值9.【變式探究】(2018·天津卷)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋5y的最大值為( )A．6 B．19 C．21 D．45【解析】由變量x，y滿足的約束條件畫出可行域(如圖中陰影部分所示)．作出初始直線l0：3x＋5y＝0，平移直線l0，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)時(shí)，z取最大值，即zmax＝3×2＋5×3＝21，故選C．【答案】C【變式探究】【2017北京，理4】若x，y滿足 則x + 2y的最大值為（A）1 （B）3（C）5 （D）9【答案】D【解析】如圖，畫出可行域，表示斜率為的一組平行線，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，故選D.【變式探究】【2016年高考北京理數(shù)】若，滿足，則的最大值為（ ）A.0 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】作出如圖可行域，則當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取最大值，而，∴所求最大值為4，故選C. 【感悟提升】(1)線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標(biāo)函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍．(2)一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得．【舉一反三】已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為3，則實(shí)數(shù)b＝( )A． B． C．1 D．【解析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示．由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，平移初始直線y＝－2x，由圖可知當(dāng)直線y＝－2x＋z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y＝－2x＋z的縱截距最小，此時(shí)z最小，為3，即2x＋y＝3.由解得即A，又點(diǎn)A也在直線y＝－x＋b上，即＝－＋b，∴b＝.故選A．【答案】A 【變式探究】(1)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝2x－y的最大值為( )A．10 B．8 C．3 D．2(2)(2014·浙江)當(dāng)實(shí)數(shù)x，y滿足時(shí)，1≤ax＋y≤4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【命題意圖】(1)本題主要考查線性規(guī)劃問題的求解，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力與運(yùn)算求解能力．(2)本題主要考查線性規(guī)則、不等式恒成立問題，考查考生的數(shù)形結(jié)合與運(yùn)算求解能力．【答案】(1)B (2)【解析】(1)作出可行域如圖中陰影部分所示，由z＝2x －y得y＝2x－z，作出直線y＝2x，平移使之經(jīng)過可行域，觀察可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B(5,2)時(shí)，對應(yīng)的z值最大．故zmax＝2×5－2＝8.(2)作出題中線性規(guī)劃條件滿足的可行域如圖中陰影部分所示，令z＝ax＋y，即y＝－ax＋z.作直線l0：y＝－ax，平移l0，最優(yōu)解可在A(1,0)，B(2,1)，C處取得．故由1≤z≤4恒成立，可得解得1≤a≤.【感悟提升】1．線性規(guī)劃問題的三種題型(1)求最值，常見形如截距式z＝ax＋by，斜率式z＝，距離式z＝(x－a)2＋(y－b)2.(2)求區(qū)域面積．(3)由最優(yōu)解或可行域確定參數(shù)的值或取值范圍．2．解答線性規(guī)劃問題的步驟及應(yīng)注意的問題(1)解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問題要驗(yàn)證解決．(2)畫可行域時(shí)應(yīng)注意區(qū)域是否包含邊界． (3)對目標(biāo)函數(shù)z＝Ax＋By中的B的符號，一定要注意B的正負(fù)與z的最值的對應(yīng)，要結(jié)合圖形分析．題型三、基本不等式及其應(yīng)用例3、【2017山東，理7】若，且，則下列不等式成立的是（A） （B）（C） （D）【答案】B【解析】因?yàn)?，且，所? ，所以選B.【變式探究】【2016高考天津理數(shù)】設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ）（A） （B）6 （C）10 （D）17【答案】B【解析】可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形ABC及其內(nèi)部，其中，直線過點(diǎn)B時(shí)取最小值6，選B.【感悟提升】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．【舉一反三】(1)已知不等式<0的解集為{x|a0，則＋的最小值為( )A．4 B．8C．9 D．12(2)要制作一個(gè)容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器．已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是________(單位：元)．【命題意圖】(1)本題主要考查解分式不等式、均值不等式等基礎(chǔ)知識，對學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算能力有一定要求．(2)本題主要考查空間幾何體的表面積、基本不等式等基礎(chǔ)知識，意在考查考生處理實(shí)際問題的能力、空間想象能力和運(yùn)算求解能力．【答案】(1)C (2)160【解析】(1)易知不等式<0的解集為(－2，－1)，所以a＝－2，b＝－1，則2m＋n＝1，＋＝(2m＋n)·＝5＋＋≥5＋4＝9當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝時(shí)取等號，所以＋的最小值為9.設(shè)該容器的總造價(jià)為y元，長方體的底面矩形的長為x m，因?yàn)闊o蓋長方體的容積為4 m3，高為1 m，所以長方體的底面矩形的寬為m，依題意，得y＝20×4＋10·＝80＋20≥80＋20×2＝160，所以該容器的最低總造價(jià)為160元．【感悟提升】(1)一般地，分子、分母有一個(gè)一次、一個(gè)二次的分式結(jié)構(gòu)的函數(shù)以及含有兩個(gè)變量的函數(shù)，特別適合用基本不等式求最值．(2)在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件．(3)若兩次連用基本不等式，要注意等號的取得條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)．【舉一反三】下列結(jié)論中正確的是( )A．lgx＋的最小值為2B．＋的最小值為2C．的最小值為4D．當(dāng)00，b>0)在該約束條件下取到最小值2時(shí)，a2＋b2的最小值為( )A．5 B．4 C. D．2法二 把2a＋b＝2看作平面直角坐標(biāo)系aOb中的直線，則a2＋b2的幾何意義是直線上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方，顯然a2＋b2的最小值是坐標(biāo)原點(diǎn)到直線2a＋b＝2距離的平方，即＝4.【答案】B【變式探究】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則直線OM斜率的最小值為( )A．2 B．1 C．－ D．－【解析】已知的不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示，顯然當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)直線OM的斜率最小，由直線方程x＋2y－1＝0和3x＋y－8＝0，解得A(3，－1)，故OM斜率的最小值為－.【答案】C【舉一反三】設(shè)關(guān)于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0，y0)，滿足x0－2y0＝2，求得m的取值范圍是( )A. B.C. D.15。
