2020版高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第8節(jié) 函數(shù)與方程教學案 理（含解析）北師大版

第八節(jié)函數(shù)與方程考綱傳真結合二次函數(shù)的圖像，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性與根的個數(shù)1函數(shù)的零點(1)定義：函數(shù)yf(x)的圖像與橫軸的交點的橫坐標稱為這個函數(shù)的零點(2)函數(shù)零點與方程根的關系：方程f(x)0有實根函數(shù)yf(x)的圖像與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點(3)零點存在性定理若函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a，b上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反，即f(a)·f(b)0，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)yf(x)至少有一個零點，即相應方程f(x)0在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個實數(shù)解(4)二分法：對于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)0的函數(shù)yf(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫作二分法2二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖像與零點的關系b24ac000二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖像與x軸的交點(x1,0)，(x1,0)(x2,0)無交點零點個數(shù)2101f(a)·f(b)0是連續(xù)函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a，b上有零點的充分不必要條件2若函數(shù)f(x)在a，b上是單調函數(shù)，且f(x)的圖像連續(xù)不斷，則f(a)·f(b)0函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上只有一個零點基礎自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖像與x軸的交點()(2)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖像連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)0. ()(3)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調且f(a)·f(b)0，則函數(shù)f(x)在a，b上有且只有一個零點()(4)二次函數(shù)yax2bxc在b24ac0時沒有零點()答案(1)×(2)×(3)×(4)2(教材改編)函數(shù)f(x)ln x2x6的零點所在的區(qū)間是()A(0,1)B(1,2)C(2,3) D(3,4)C由題意得f(1)ln 12640，f(2)ln 246ln 220，f(3)ln 366ln 30，f(4)ln 486ln 420，f(x)的零點所在的區(qū)間為(2,3)3(教材改編)已知函數(shù)yf(x)的圖像是連續(xù)不斷的曲線，且有如下的對應值表：x123456y124.4337424.536.7123.6則函數(shù)yf(x)在區(qū)間1,6上的零點至少有()A2個 B3個C4個 D5個Bf(2)·f(3)0，f(3)·f(4)0，f(4)·f(5)0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間1,6內(nèi)至少有3個零點4函數(shù)f(x)xx的零點有_個1如圖所示，函數(shù)f(x)xx的零點有1個5函數(shù)f(x)ax12a在區(qū)間(1,1)上存在一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_函數(shù)f(x)的圖像為直線，由題意可得f(1)·f(1)0，(3a1)·(1a)0，解得a1，實數(shù)a的取值范圍是.判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間1函數(shù)f(x)ln x的零點所在的區(qū)間為()A(0,1)B(1,2)C(2,3) D(3,4)B由題意知函數(shù)f(x)是增函數(shù)，因為f(1)0，f(2)ln 2ln 2ln 0，所以函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間是(1,2)故選B2若abc，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點分別位于區(qū)間()A(a，b)和(b，c)內(nèi)B(，a)和(a，b)內(nèi)C(b，c)和(c，)內(nèi)D(，a)和(c，)內(nèi)Aabc，f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(cb)0，由函數(shù)零點存在性判定定理可知：在區(qū)間(a，b)(b，c)內(nèi)分別存在一個零點；又函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個零點，因此函數(shù)f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)，故選A.3已知函數(shù)f(x)ln x2x6的零點在(kZ)內(nèi)，那么k_.5f(x)20，x(0，)，f(x)在x(0，)上遞增，且fln 10，f(3)ln 30，f(x)的零點在內(nèi)，則整數(shù)k5.規(guī)律方法判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法(1)解方程，當對應方程易解時，可通過解方程，看方程是否有根落在給定區(qū)間上來判斷.(2)利用零點存在性定理進行判斷.(3)數(shù)形結合畫出函數(shù)圖像，通過觀察圖像與x軸在給定區(qū)間內(nèi)是否有交點來判斷.判斷函數(shù)零點的個數(shù)【例1】(1)函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為()A0 B1C2 D3(2)設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)exx3，則f(x)的零點個數(shù)為()A1 B2C3 D4(1)D(2)C(1)依題意，在考慮x0時可以畫出函數(shù)yln x與yx22x的圖像(如圖)，可知兩個函數(shù)的圖像有兩個交點，當x0時，函數(shù)f(x)2x1與x軸只有一個交點，綜上，函數(shù)f(x)有3個零點故選D(2)因為函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，所以f(0)0，即x0是函數(shù)f(x)的1個零點當x0時，令f(x)exx30，則exx3，分別畫出函數(shù)yex和yx3的圖像，如圖所示，兩函數(shù)圖像有1個交點，所以函數(shù)f(x)有1個零點根據(jù)對稱性知，當x0時，函數(shù)f(x)也有1個零點綜上所述，f(x)的零點個數(shù)為3.規(guī)律方法函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法(1)直接求零點，令f(x)0，有幾個解就有幾個零點；(2)零點存在性定理，要求函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)0，再結合函數(shù)的圖像與性質確定函數(shù)零點個數(shù)；(3)利用圖像交點個數(shù)，作出兩函數(shù)圖像，觀察其交點個數(shù)即得零點個數(shù). (1)函數(shù)f(x)2x|log0.5 x|1的零點個數(shù)為()A1 B2C3 D4(2)已知函數(shù)f(x)若f(0)2，f(1)1，則函數(shù)g(x)f(x)x的零點個數(shù)為_(1)B(2)3(1)令f(x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|x.設g(x)|log0.5x|，h(x)x.在同一坐標系下分別畫出函數(shù)g(x)，h(x)的圖像，可以發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)圖像一定有2個交點，因此函數(shù)f(x)有2個零點故選B(2)依題意得由此解得由g(x)0得f(x)x0，該方程等價于或解得x2，解得x1或x2.因此，函數(shù)g(x)f(x)x的零點個數(shù)為3.函數(shù)零點的應用【例2】(1)設函數(shù)f(x)exx2，g(x)ln xx23.若實數(shù)a，b滿足f(a)0，g(b)0，則()Ag(a)0f(b) Bf(b)0g(a)C0g(a)f(b) Df(b)g(a)0(2)已知函數(shù)f(x)其中m>0.若存在實數(shù)b，使得關于x的方程f(x)b有三個不同的根，則m的取值范圍是_(1)A(2)(3，)(1)f(x)exx2，f(x)ex10，則f(x)在R上為增函數(shù)，又f(0)e020，f(1)e10，且f(a)0，0a1.g(x)ln xx23，g(x)2x.當x(0，)時，g(x)0，g(x)在(0，)上為增函數(shù)，又g(1)ln 1220，g(2)ln 210，且g(b)0，1b2，ab，故選A.(2)畫出f(x)的草圖如圖所示，若存在實數(shù)b，使得f(x)b有3個不同的根，則4mm2m，即m23m0，又m0，解得m3.規(guī)律方法已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法(1)直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍.(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決.(3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結合求解. (1)已知函數(shù)f(x)exx，g(x)ln xx，h(x)ln x1的零點依次為a，b，c，則()Aabc BcbaCcab Dbac(2)函數(shù)f(x)2xa的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是()A(1,3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)(1)A(2)C(1)在同一坐標系中，畫出函數(shù)yex，yln x與yx，y1的圖像如圖所示由圖可知abc，故選A.(2)函數(shù)f(x)2xa在區(qū)間(1,2)上遞增，又函數(shù)f(x)2xa的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有f(1)·f(2)0，(a)(41a)0，即a(a3)0，0a3.1(2018·全國卷)已知函數(shù)f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是()A1,0)B0，)C1，) D1，)C函數(shù)g(x)f(x)xa存在2個零點，即關于x的方程f(x)xa有2個不同的實根，即函數(shù)f(x)的圖像與直線yxa有2個交點，作出直線yxa與函數(shù)f(x)的圖像，如圖所示，由圖可知，a1，解得a1，故選C.2(2017·全國卷)已知函數(shù)f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零點，則a()A BC. D1C法一：f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令tx1，則g(t)f(t1)t2a(etet)1.g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函數(shù)g(t)為偶函數(shù)f(x)有唯一零點，g(t)也有唯一零點又g(t)為偶函數(shù)，由偶函數(shù)的性質知g(0)0，2a10，解得a.故選C.法二：f(x)0a(ex1ex1)x22x.ex1ex122，當且僅當x1時取“”又x22x(x1)211，當且僅當x1時取“”若a0，則a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零點，則必有2a1，即a.若a0，則f(x)的零點不唯一故選C.- 7 -