2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 數(shù)列 第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和教學(xué)案 理（含解析）北師大版

第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項和考綱傳真1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系1等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的數(shù)學(xué)表達式為q(nN*，q為非零常數(shù))(2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使得a，G，b成等比數(shù)列，那么根據(jù)等比數(shù)列的定義，G2ab，G±，那么G叫作a與b的等比中項即：G是a與b的等比中項a，G，b成等比數(shù)列G2aB2等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：ana1qn1amqnm.(2)前n項和公式：Sn1在等比數(shù)列an中，若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，則am·anap·aqa.2若數(shù)列an，bn(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an(0)，a，an·bn，仍然是等比數(shù)列3等比數(shù)列an的前n項和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn，其中當(dāng)公比為1時，n為偶數(shù)時除外基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)滿足an1qan(nN*，q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列()(2)G為a，b的等比中項G2aB()(3)若an為等比數(shù)列，bna2n1a2n，則數(shù)列bn也是等比數(shù)列()(4)數(shù)列an的通項公式是anan，則其前n項和為Sn.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2已知an是等比數(shù)列，a22，a5，則公比q()AB2C2DD由通項公式及已知得a1q2，a1q4，由÷得q3，解得q.故選D3已知數(shù)列an滿足anan1，若a3a42，則a4a5()A. B1 C4 D8Canan1，2.a4a52(a3a4)2×24.故選C.4等比數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S3a210a1，a59，則a1()A. B C. DCS3a210a1，a1a2a3a210a1，a39a1，即公比q29，又a5a1q4，a1.故選C.5在數(shù)列an中，a12，an12an，Sn為an的前n項和若Sn126，則n_.6a12，an12an，數(shù)列an是首項為2，公比為2的等比數(shù)列又Sn126，126，解得n6.等比數(shù)列的基本運算1設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項和，已知3S3a42,3S2a32，則公比q()A3B4C5D6B因為3S3a42,3S2a32，所以兩式相減，得3(S3S2)(a42)(a32)，即3a3a4a3，得a44a3，所以q4.2等比數(shù)列an的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn，已知a3，S3，則a2_.3或法一：數(shù)列an是等比數(shù)列，當(dāng)q1時，a1a2a3，顯然S33a3.當(dāng)q1時，由題意可知解得q或q1(舍去)a2×(2)3.綜上可知a23或.法二：由a3得a1a23.3，即2q2q10，q或q1.a23或.3(2019·濟寧模擬)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn且a1a3，a2a4，則_.2n1設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則(a1a3)q(a2a4)，即q，由a1a3a1(1q2)可知a12.an2·n1.Sn4.2n1.規(guī)律方法1.等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解2等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q1時，an的前n項和Snna1；當(dāng)q1時，an的前n項和Sn.等比數(shù)列的判定與證明【例1】(2018·全國卷)已知數(shù)列an滿足a11，nan12(n1)an.設(shè)bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求an的通項公式解(1)由條件可得an1an.將n1代入得，a24a1，而a11，所以，a24.將n2代入得，a33a2，所以，a312.從而b11，b22，b34.(2)bn是首項為1，公比為2的等比數(shù)列由條件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首項為1，公比為2的等比數(shù)列(3)由(2)可得2n1，所以ann·2n1.規(guī)律方法(1)證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可(2)利用遞推關(guān)系時要注意對n1時的情況進行驗證 已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，Sn14an2(nN*)，若bnan12an，(1)求證：bn是等比數(shù)列(2)求an的通項公式解(1)因為an2Sn2Sn14an124an24an14an，所以2.因為S2a1a24a12，所以a25.所以b1a22a13.所以數(shù)列bn是首項為3，公比為2的等比數(shù)列(2)由(1)知bnan12an3·2n1，所以，故是首項為，公差為的等差數(shù)列所以(n1)·，所以an(3n1)·2n2.等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【例2】(1)等比數(shù)列an中，已知a1a38，a5a74，則a9a11a13a15的值為()A1 B2 C3 D5(2)(2019·?？谡{(diào)研)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若am·am22am1(mN*)，數(shù)列an的前n項積為Tn，且T2m1128，則m的值為()A3 B4 C5 D6(3)等比數(shù)列an滿足an0，且a2a84，則log2a1log2a2log2a3log2a9_.(1)C(2)A(3)9(1)因為an為等比數(shù)列，所以a5a7是a1a3與a9a11的等比中項，所以(a5a7)2(a1a3)(a9a11)，故a9a112；同理，a9a11是a5a7與a13a15的等比中項，所以(a9a11)2(a5a7)(a13a15)，故a13a151.所以a9a11a13a15213.(2)因為am·am22am1，所以a2am1，即am12，即an為常數(shù)列又T2m1(am1)2m1，由22m1128，得m3，故選A.(3)由題意可得a2a8a4，a50，所以a52，則原式log2(a1a2a9)9log2a59.規(guī)律方法(1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若mnpq，則am·anap·aq”，可以減少運算量，提高解題速度(2)等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項公式的變形；二是等比中項的變形；三是前n項和公式的變形根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口 (1)等比數(shù)列an的首項a11，前n項和為Sn，若，則公比q_.(2)(2019·石家莊模擬)在等比數(shù)列an中，若a7a8a9a10，a8a9，則_.(1)(2)(1)由，a11知公比q1，.由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)知S5，S10S5，S15S10成等比數(shù)列，且公比為q5，故q5，所以q.(2)因為，由等比數(shù)列的性質(zhì)知a7a10a8a9，所以÷.1(2017·全國卷)我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A1盞B3盞C5盞 D9盞B設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則由題意知S7381，q2，S7381，解得a13.故選B2(2015·全國卷)已知等比數(shù)列an滿足a13，a1a3a521，則a3a5a7()A21 B42C63 D84Ba13，a1a3a521，33q23q421.1q2q47.解得q22或q23(舍去)a3a5a7q2(a1a3a5)2×2142.故選B3(2017·全國卷)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a21，a1a33，則a4_.8設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，a1a21，a1a33，a1(1q)1，a1(1q2)3.÷，得1q3，q2.a11，a4a1q31×(2)38.4(2016·全國卷)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310，a2a45，則a1a2an的最大值為_64設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則由a1a310，a2a4q(a1a3)5，知q.又a1a1q210，a18.故a1a2anaq12(n1)23n·23n2n.記t(n27n)，結(jié)合nN*可知n3或4時，t有最大值6.又y2t為增函數(shù)，從而a1a2an的最大值為2664.5(2018·全國卷)等比數(shù)列an中，a11，a54a3.(1)求an的通項公式；(2)記Sn為an的前n項和若Sm63，求m.解(1)設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，則Sn.由Sm63得(2)m188，此方程沒有正整數(shù)解若an2n1，則Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.綜上，m6.- 8 -