2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何 第4節(jié) 垂直關(guān)系教學(xué)案 理（含解析）北師大版

第四節(jié)垂直關(guān)系考綱傳真1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題1直線與平面垂直(1)定義：如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面垂直(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直l性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行ab2.二面角的有關(guān)概念(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角(3)范圍：0，3平面與平面垂直(1)定義：如果兩個平面所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面l1直線與平面垂直的五個結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意直線. (2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直(5)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面2三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l.()(2)垂直于同一個平面的兩平面平行()(3)直線a，b，則aB()(4)若，aa.()答案(1)×(2)×(3)(4)×2設(shè)l，m，n均為直線，其中m，n在平面內(nèi)，則“l(fā)”是“l(fā)m且ln”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件Allm，ln；反之，不一定成立，因?yàn)閙，n不一定相交，故選A.3(教材改編)下列命題中不正確的是()A如果平面平面，且直線l平面，則直線l平面B如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面C如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面D如果平面平面，平面平面，l，那么lAA錯誤，l與可能平行或相交，其余選項(xiàng)均正確4(教材改編)如圖所示，已知PA平面ABC，BCAC，則圖中直角三角形的個數(shù)為_4PA平面ABC，PAAB，PAAC，PABC，則PAB，PAC為直角三角形由BCAC，且ACPAA，BC平面PAC，從而BCPC.因此ABC，PBC也是直角三角形5(教材改編)在三棱錐P­ABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O.(1)若PAPBPC，則點(diǎn)O是ABC的_心；(2)若PAPB，PBPC，PCPA，則點(diǎn)O是ABC的_心(1)外(2)垂(1)如圖，PO平面ABC，連接OA，OB，OC，在RtPOA中，OA2PA2PO2，同理OB2PB2PO2，OC2PC2PO2.又PAPBPC，故OAOBOC，O是ABC的外心(2)由PAPB，PAPC可知PA平面PBC，PABC，又POBC，BC平面PAO，AOBC，同理BOAC，COAB故O是ABC的垂心直線與平面垂直的判定與性質(zhì)【例1】如圖所示，在四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中點(diǎn)證明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.證明(1)在四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD又ACCD，PAACA，PA，AC平面PAC，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60°，可得ACPA.E是PC的中點(diǎn)，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，PC，CD平面PCD，AE平面PCD，而PD平面PCD，AEPDPA底面ABCD，AB平面ABCD，PAAB又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD又ABAEA，AB，AE平面ABE，PD平面ABE.規(guī)律方法證明直線和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理(2)利用判定定理的推論(ab，ab)(3)利用面面平行的性質(zhì)(a，a)(4)利用面面垂直的性質(zhì)當(dāng)兩個平面垂直時，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面(5)重視平面幾何知識，特別是勾股定理的應(yīng)用 如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且ADDB，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且BCAC，PD平面ABC，PDDB求證：PACD證明因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以ACCB，在RtACB中，由ACBC，得ABC30°.設(shè)AD1，由3ADDB，得DB3，BC2，由余弦定理得CD2DB2BC22DB·BCcos 30°3，所以CD2DB2BC2，即CDAB因?yàn)镻D平面ABC，CD平面ABC，所以PDCD，由PDABD，得CD平面PAB，又PA平面PAB，所以PACD平面與平面垂直的判定與性質(zhì)【例2】(2018·北京高考節(jié)選)如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E是AD的中點(diǎn)求證：(1)PEBC；(2)平面PAB平面PCD證明(1)PAPD，E是AD的中點(diǎn)，PEAD又ABCD為矩形，ADBC，PEBC.(2)因?yàn)锳BCD為矩形，所以ABAD又平面PAD平面ABCD，所以AB平面PAD，所以ABPD又PAPD，所以PD平面PAB又PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD規(guī)律方法1.判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理(a，a)2在已知平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直 (2015·全國卷)如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點(diǎn)，BE平面ABCD(1)證明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120°，AEEC，三棱錐E­ACD的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積解(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以ACBD因?yàn)锽E平面ABCD，所以ACBE.故AC平面BED又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED(2)設(shè)ABx，在菱形ABCD中，由ABC120°，可得AGGCx，GBGD.因?yàn)锳EEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG為直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱錐E­ACD的體積VE­ACD×AC·GD·BEx3，故x2.從而可得AEECED.所以EAC的面積為3，EAD的面積與ECD的面積均為.故三棱錐E­ACD的側(cè)面積為32.平行與垂直的綜合問題【例3】如圖1，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB2CD，DEAB，沿DE將AED折起到A1ED的位置，連接A1B，A1C，M，N分別為A1C，BE的中點(diǎn)，如圖2. 圖1圖2(1)求證：DEA1B；(2)求證：MN平面A1ED；(3)在棱A1B上是否存在一點(diǎn)G，使得EG平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，說明理由解(1)證明：在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB2CD，DEAB，沿DE將AED折起到A1ED的位置，DEA1E，DEBE，A1EBEE，DE平面A1BE，A1B平面A1BE，DEA1B(2)證明：取CD中點(diǎn)F，連接NF，MF，M，N分別為A1C，BE的中點(diǎn)，MFA1D，NFDE，又DEA1DD，NFMFF，DE平面A1DE，A1D平面A1DE，NF平面MNF，MF平面MNF.平面A1DE平面MNF，MN平面A1ED(3)取A1B的中點(diǎn)G，連接EG，A1EBE，EGA1B，由(1)知DE平面A1BE，DEBC，BC平面A1BE，EGBC，又A1BBCB，EG平面A1BC.故棱A1B上存在中點(diǎn)G，使得EG平面A1BC，此時1.規(guī)律方法證明折疊問題中的平行與垂直，關(guān)鍵是分清折疊前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變一般地，折疊前位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線間的位置和數(shù)量關(guān)系折疊后不變，而折疊前位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線間的位置關(guān)系折疊后會發(fā)生變化對于不變的關(guān)系可在平面圖形中處理，而對于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決 如圖1所示，在RtABC中，ABC90°，D為AC的中點(diǎn)，AEBD于點(diǎn)E(不同于點(diǎn)D)，延長AE交BC于點(diǎn)F，將ABD沿BD折起，得到三棱錐A1­BCD，如圖2所示V 圖1圖2(1)若M是FC的中點(diǎn)，求證：直線DM平面A1EF；(2)求證：BDA1F；(3)若平面A1BD平面BCD，試判斷直線A1B與直線CD能否垂直？請說明理由解(1)證明：因?yàn)镈，M分別為AC，F(xiàn)C的中點(diǎn)，所以DMEF.又EF平面A1EF，DM平面A1EF，所以DM平面A1EF.(2)證明：因?yàn)锳1EBD，EFBD，且A1EEFE，所以BD平面A1EF.又A1F平面A1EF，故BDA1F.(3)A1B與CD不能垂直因?yàn)槠矫鍭1BD平面BCD，平面A1BD平面BCDBD，EFBD，EF平面BCD，EF平面A1BDEFA1B，又EFDM，A1BDM.若A1BCD，則A1B平面BCD所以A1BBD，這與A1BD為銳角矛盾所以A1B與CD不能垂直1.(2016·全國卷)，是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等其中正確的命題有_(填寫所有正確命題的編號)根據(jù)相關(guān)知識，對四個命題逐個判斷對于，可以平行，可以相交也可以垂直，故錯誤對于，由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l，nl，又m，所以ml，所以mn，故正確對于，因?yàn)?，所以，沒有公共點(diǎn)又m，所以m，沒有公共點(diǎn)，由線面平行的定義可知m，故正確對于，因?yàn)閙n，所以m與所成的角和n與所成的角相等因?yàn)?，所以n與所成的角和n與所成的角相等，所以m與所成的角和n與所成的角相等，故正確2.(2018·全國卷)如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點(diǎn)(1)證明：平面AMD平面BMC；(2)當(dāng)三棱錐M­ABC體積最大時，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值解(1)證明：由題設(shè)知，平面CMD平面ABCD，交線為CD因?yàn)锽CCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，所以BCDM.因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D­xyz.當(dāng)三棱錐M­ABC體積最大時，M為的中點(diǎn)由題設(shè)得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,1,1)，(2,1,1)，(0,2,0)，(2,0,0)設(shè)n(x，y，z)是平面MAB的法向量，則即可取n(1,0,2)是平面MCD的法向量，因此cosn，sinn，.所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是.- 10 -