2020版高考數(shù)學一輪復習 第7章 立體幾何 第1節(jié) 空間幾何體的三視圖和直觀圖、表面積與體積教學案 理（含解析）北師大版

第一節(jié)空間幾何體的三視圖和直觀圖、表面積與體積考綱傳真1.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構.2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖.3.會用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.4.了解球、棱柱、棱錐、臺體的表面積和體積的計算公式1簡單多面體的結構特征(1)棱柱的側棱都平行且相等，上下底面是全等的多邊形；(2)棱錐的底面是任意多邊形，側面是有一個公共點的三角形；(3)棱臺可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上、下底面是相似多邊形2旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形任一邊所在的直線圓錐直角三角形任一直角邊所在的直線圓臺直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線球半圓或圓直徑所在的直線3.三視圖與直觀圖三視圖畫法規(guī)則：長對正、高平齊、寬相等直觀圖斜二測畫法：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x軸、y軸的夾角為45°(或135°)，z軸與x軸和y軸所在平面垂直.(2)原圖形中平行于坐標軸的線段在直觀圖中仍平行于坐標軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段在直觀圖中長度為原來的一半.4.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式圓柱圓錐圓臺側面展開圖側面積公式S圓柱側2rlS圓錐側rlS圓臺側(r1r2)l5.柱體、錐體、臺體和球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側2S底VSh錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側S底VSh臺體(棱臺和圓臺)S表面積S側S上S下V(S上S下)h球S4R2VR31按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關系：S直觀圖S原圖形，S原圖形2S直觀圖2多面體的內(nèi)切球與外接球常用的結論(1)設正方體的棱長為a，則它的內(nèi)切球半徑r，外接球半徑Ra.(2)設長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則它的外接球半徑R.(3)設正四面體的棱長為a，則它的高為a，內(nèi)切球半徑ra，外接球半徑Ra.基礎自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱()(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐()(3)菱形的直觀圖仍是菱形()(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是()A圓柱B圓錐C四面體 D三棱柱A由三視圖知識知圓錐、四面體、三棱柱(放倒看)都能使其正視圖為三角形，而圓柱的正視圖不可能為三角形3(教材改編)如圖所示，長方體ABCD­ABCD中被截去一部分，其中EHAD，則剩下的幾何體是()A棱臺B四棱柱C五棱柱D簡單組合體C由幾何體的結構特征知，剩下的幾何體為五棱柱4(教材改編)已知圓錐的表面積等于12 cm2，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為()A1 cmB2 cmC3 cm D cmBS表r2rlr2r·2r3r212，r24，r2(cm)5一個六棱錐的體積為2，其底面是邊長為2的正六邊形，側棱長都相等，則該六棱錐的側面積為_12設正六棱錐的高為h，棱錐的斜高為h.由題意，得×6××2××h2，h1，斜高h2，S側6××2×212.空間幾何體的三視圖和直觀1(2018·全國卷)中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是榫頭若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是() ABC DA由題意知，在咬合時帶卯眼的木構件中，從俯視方向看，榫頭看不見，所以是虛線，結合榫頭的位置知選A.2已知正三角形ABC的邊長為a，那么ABC的平面直觀圖ABC的面積為()A.a2 Ba2 C.a2 Da2D法一：如圖所示的實際圖形和直觀圖，由可知，ABABa，OCOCa，在圖中作CDAB于D，則CDOCa，所以SABCAB·CD×a×aa2.法二：SABC×a×asin 60°a2，又S直觀圖S原圖×a2a2.故選D3某幾何體的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙的小方格是邊長為1的正方形，則該幾何體中最長棱的棱長是()A. B C. D3A由三視圖可知該幾何體為一個三棱錐D­ABC，如圖，將其置于長方體中，該長方體的底面是邊長為1的正方形，高為2.所以AB1，AC，BC，CD，DA2，BD，因此最長棱為BD，棱長是.空間幾何體的表面積與體積考法1根據(jù)幾何體的三視圖計算表面積、體積【例1】(1)(2018·合肥一模)如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A518 B618C86 D106(2)(2017·全國卷)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A90 B63C42 D36(1)C(2)B(1)由三視圖可知該幾何體是由一個半圓柱和兩個半球構成的，故該幾何體的表面積為2××4×122×××122×3×2×1×386.(2)法一(分割法)：由題意知，該幾何體是一個組合體，下半部分是一個底面半徑為3，高為4的圓柱，其體積V1×32×436.上半部分是一個底面半徑為3，高為6的圓柱的一半，其體積V2××32×627.所以該組合體的體積VV1V2362763.法二(補形法)：由題意知，該幾何體是一圓柱被一平面截去一部分后所得的幾何體，在該幾何體上方再補上一個與其相同的幾何體，讓截面重合，則所得幾何體為一個圓柱，故圓柱的底面半徑為3，高為10414，該圓柱的體積V1×32×14126.故該幾何體的體積為圓柱體積的一半，即VV163.法三(估值法)：由題意，知V圓柱V幾何體V圓柱又V圓柱×32×1090，所以45V幾何體90.觀察選項可知只有63符合考法2求空間幾何體的表面積、體積【例2】(1)(2019·南昌模擬)如圖，直角梯形ABCD中，ADDC，ADBC，BC2CD2AD2，若將該直角梯形繞BC邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得的幾何體的表面積為_(2)如圖，正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1­EDF的體積為_(1)(3)(2)(1)由圖中數(shù)據(jù)可得：S圓錐側××2×，S圓柱側×2×12，S底面×12.所以幾何體的表面積SS圓錐側S圓柱側S底面2(3).(2)(等積法)三棱錐D1­EDF的體積即為三棱錐F­DD1E的體積因為E，F(xiàn)分別為AA1，B1C上的點，所以在正方體ABCD­A1B1C1D1中，EDD1的面積為定值，F(xiàn)到平面AA1D1D的距離為定值1，所以VD1­EDFVF­DD1E××1.規(guī)律方法(1)以三視圖為載體的表面積、體積問題，關鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關系及數(shù)量，必須還原出直觀圖(2)若所給定的幾何體的體積不能直接得出，則常用轉(zhuǎn)化法、分割法、補形法等方法進行求解 (1)(2016·全國卷)如圖所示，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑若該幾何體的體積是，則它的表面積是()A17 B18C20 D28(2)(2017·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A.1B3C.1D3(3)如圖所示，已知多面體ABCDEFG中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，平面ABC平面DEFG，平面BEF平面ADGC，ABADDG2，ACEF1，則該多面體的體積為_(1)A(2)A(3)4(1)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖設球的半徑為R，則R3×R3，解得R2.因此它的表面積為×4R2R217.故選A.(2)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個底面半徑為1，高為3的圓錐的一半與一個底面為直角邊長是的等腰直角三角形，高為3的三棱錐的組合體，該幾何體的體積V××12×3××××31.故選A.(3)法一：(分割法)因為幾何體有兩對相對面互相平行，如圖所示，過點C作CHDG于H，連接EH，即把多面體分割成一個直三棱柱DEH­ABC和一個斜三棱柱BEF­CHG.由題意，知V三棱柱DEH­ABCSDEH×AD×22，V三棱柱BEF­CHGSBEF×DE×22.故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG224.法二：(補形法)因為幾何體有兩對相對面互相平行，如圖所示，將多面體補成棱長為2的正方體，顯然所求多面體的體積即該正方體體積的一半又正方體的體積V正方體ABHI­DEKG238，故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG×84.與球有關的切、接問題【例3】(2016·全國卷)在封閉的直三棱柱ABC­A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是()A4 BC6 DB由題意得要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切設球的半徑為R，ABC的內(nèi)切圓半徑為2，R2.又2R3，R，Vmax3.故選B母題探究(1)若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BC­A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面積(2)若本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點都在球O的球面上”，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，求該球的體積解(1)將直三棱柱補形為長方體ABEC­A1B1E1C1(圖略)，則球O是長方體ABEC­A1B1E1C1的外接球，所以體對角線BC1的長為球O的直徑因此2R13，故S球4R2169.(2)如圖，設球心為O，半徑為r，則在RtAFO中，(4r)2()2r2，解得r，則球O的體積V球r3×3.規(guī)律方法與球有關的切、接問題的求解方法(1)與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側棱和球心，或“切點”“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題(2)若球面上四點P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側棱兩兩垂直，可構造長方體或正方體利用2R求R.確定球心位置，把半徑放在直角三角形中求解(3)一條側棱垂直底面的三棱錐問題：可補形成直三棱柱 (1)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的各頂點都在以O為球心的球面上，且BAC，AA1BC2，則球O的體積為()A4 B8C12 D20(2)(2019·福建十校聯(lián)考)已知三棱錐P­ABC的三條側棱兩兩互相垂直，且AB，BC，AC2，則此三棱錐的外接球的體積為()A. BC. D(1)A(2)B(1)在底面ABC中，由正弦定理得底面ABC所在的截面圓的半徑為r，則直三棱柱ABC­A1B1C1的外接球的半徑為R，則直三棱柱ABC­A1B1C1的外接球的體積為R34.故選A.(2)AB，BC，AC2，PA1，PC，PB2.以PA，PB，PC為過同一頂點的三條棱，作長方體如圖所示，則長方體的外接球同時也是三棱錐P­ABC的外接球長方體的對角線長為2，球的直徑為2，半徑R，因此，三棱錐P­ABC外接球的體積是R3×()3.故選B1(2018·全國卷)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B，則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A2B2C3 D2B由三視圖可知，該幾何體為如圖所示的圓柱，該圓柱的高為2，底面周長為16.畫出該圓柱的側面展開圖，如圖所示，連接MN，則MS2，SN4，則從M到N的路徑中，最短路徑的長度為2.故選B圖圖2.(2018·全國卷)設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D­ABC體積的最大值為()A12 B18C24 D54B設等邊三角形ABC的邊長為x，則x2sin 60°9，得x6.設ABC的外接圓半徑為r，則2r，解得r2，所以球心到ABC所在平面的距離d2，則點D到平面ABC的最大距離d1d46，所以三棱錐D­ABC體積的最大值VmaxSABC×6×9×618.3(2017·全國卷)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為()A BC. DB設圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R1，由圓柱兩個底面的圓周在同一個球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構成直角三角形r.圓柱的體積為Vr2h×1.故選B4(2016·全國卷)如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()A1836 B5418C90 D81B由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個側面為矩形，另兩個側面為平行四邊形，則表面積為(3×33×63×3)×25418.故選B5(2015·全國卷)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的主視圖和俯視圖如圖所示若該幾何體的表面積為1620，則r()A1B2 C4DB如圖，該幾何體是一個半球與一個半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，則表面積S×4r2r24r2r·2r(54)r2.又S1620，(54)r21620，r24，r2，故選B6(2017·全國卷)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點，DBC，ECA，F(xiàn)AB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起DBC，ECA，F(xiàn)AB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐當ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為_4如圖，連接OD，交BC于點G，由題意，知ODBC，OGBC.設OGx，則BC2x，DG5x，三棱錐的高h，SABC×2x×3x3x2，則三棱錐的體積VSABC·hx2··.令f(x)25x410x5，x，則f(x)100x350x4.令f(x)0得x2.當x(0,2)時，f(x)>0，f(x)遞增，當x時，f(x)<0，f(x)遞減，故當x2時，f(x)取得最大值80，則V×4.三棱錐體積的最大值為4 cm3.- 13 -