2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第3節(jié) 隨機(jī)事件的概率、古典概型與幾何概型教學(xué)案 理（含解析）北師大版

第三節(jié)隨機(jī)事件的概率、古典概型與幾何概型考綱傳真1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別.2.了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式.3.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.4.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.5.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)概率.6.了解幾何概型的意義1頻率與概率在相同的條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，即隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性這時(shí)，我們把這個(gè)常數(shù)叫作隨機(jī)事件A的概率，記作P(A)2事件的關(guān)系與運(yùn)算互斥事件：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，我們把一次試驗(yàn)下不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A與B稱作互斥事件事件AB：事件AB發(fā)生是指事件A和事件B至少有一個(gè)發(fā)生對(duì)立事件：不會(huì)同時(shí)發(fā)生，并且一定有一個(gè)發(fā)生的事件是相互對(duì)立事件3概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0P(A)1.(2)必然事件的概率P(E)1.(3)不可能事件的概率P(F)0.(4)互斥事件概率的加法公式如果事件A與事件B互斥，則P(AB)P(A)P(B)若事件A與事件互為對(duì)立事件，則P(A)1P()4古典概型與幾何概型名稱古典概型幾何概型相同點(diǎn)基本事件發(fā)生的可能性相等不同點(diǎn)基本事件有有限個(gè)基本事件有無限個(gè)計(jì)算公式P(A)P(A).如果事件A1，A2，An兩兩互斥，則稱這n個(gè)事件互斥，其概率有如下公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率()(2)在大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值()(3)對(duì)立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對(duì)立事件()(4)概率為0的事件一定為不可能事件()答案(1)(2)(3)(4)×2某射手在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下：射擊次數(shù)102050100200500擊中靶心次數(shù)8194492178455這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是()A0.80B0.85C0.90D0.99C由題意，該射手擊中靶心的頻率大約在0.9附近上下波動(dòng)，故其概率約為0.90.故選C.3(教材改編)投擲兩枚均勻的硬幣，則兩枚硬幣均正面朝上的概率是()A. B C. DAP×，故選A.4(教材改編)有四個(gè)游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤是()AP(A)，P(B)，P(C)，P(D)，P(A)>P(C)P(D)>P(B)5對(duì)飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A兩次都擊中飛機(jī)，B兩次都沒擊中飛機(jī)，C恰有一次擊中飛機(jī)，D至少有一次擊中飛機(jī)，其中彼此互斥的事件是_，互為對(duì)立事件的是_A與B，A與C，B與C，B與DB與D設(shè)I為對(duì)飛機(jī)連續(xù)射擊兩次所發(fā)生的所有情況，因?yàn)锳B，AC，BC，BD，故A與B，A與C，B與C，B與D為互斥事件而BD，BDI，故B與D互為對(duì)立事件隨機(jī)事件的頻率與概率【例1】(2017·全國(guó)卷)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：)有關(guān)如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元)當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率解(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計(jì)值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，若最高氣溫不低于25，則Y6×4504×450900；若最高氣溫位于區(qū)間20,25)，則Y6×3002×(450300)4×450300；若最高氣溫低于20，則Y6×2002×(450200)4×450100.所以，Y的所有可能值為900,300，100.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為0.8，因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8.規(guī)律方法(1)概率與頻率的關(guān)系概率是常數(shù)，是頻率的穩(wěn)定值，頻率是變量，是概率的近似值有時(shí)也用頻率來作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值(2)隨機(jī)事件概率的求法利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率易錯(cuò)警示：概率的定義是求一個(gè)事件概率的基本方法 (2019·鄭州模擬)某商店計(jì)劃每天購(gòu)進(jìn)某商品若干件，商店每銷售一件該商品可獲得利潤(rùn)50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件退回商品虧損10元；若供不應(yīng)求，則從外部調(diào)劑，此時(shí)每件調(diào)劑商品可獲得利潤(rùn)30元(1)若商店一天購(gòu)進(jìn)該商品10件，求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天的需求量n(單位：件，nN*)的函數(shù)解析式；(2)商店記錄了50天該商品的日需求量n(單位：件)，整理得下表：日需求量n/件89101112頻數(shù)91115105()假設(shè)商店在這50天內(nèi)每天購(gòu)進(jìn)10件該商品，求這50天的日利潤(rùn)的平均數(shù)；()若商店一天購(gòu)進(jìn)10件該商品，以50天記錄的各日需求量的頻率作為各日需求量的概率，求當(dāng)天的利潤(rùn)大于500元的概率解(1)當(dāng)日需求量n10時(shí)，利潤(rùn)y50×10(n10)×3030n200；當(dāng)日需求量n10時(shí)，利潤(rùn)y50×n(10n)×1060n100.所以日利潤(rùn)y關(guān)于日需求量n的函數(shù)解析式為y(2)()由(1)及表格可知，這50天中有9天的日利潤(rùn)為380元，有11天的日利潤(rùn)為440元，有15天的日利潤(rùn)為500元，有10天的日利潤(rùn)為530元，有5天的日利潤(rùn)為560元，所以這50天的日利潤(rùn)的平均數(shù)為×(380×9440×11500×15530×10560×5)477.2(元)()若當(dāng)天的利潤(rùn)大于500元，則日需求量大于10件，則當(dāng)天的利潤(rùn)大于500元的概率P.古典概型【例2】(1)(2018·全國(guó)卷)我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30723.在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是()A.BC. D(2)(2017·全國(guó)卷)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()A. BC. D(1)C(2)D(1)不超過30的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10個(gè)，從中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)有C種不同的取法，這10個(gè)數(shù)中兩個(gè)不同的數(shù)的和等于30的有3對(duì)，所以所求概率P，故選C.(2)從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖：基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10，所求概率P.故選D規(guī)律方法1.計(jì)算古典概型事件的概率可分三步：(1)計(jì)算基本事件總個(gè)數(shù)n；(2)計(jì)算事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m；(3)代入公式求出概率P.2(1)用列舉法寫出所有基本事件時(shí)，可借助“樹狀圖”列舉，以便做到不重、不漏(2)利用排列、組合計(jì)算基本事件時(shí)，一定要分清是否有序，并重視兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的靈活應(yīng)用 (1)(2019·武漢模擬)將7個(gè)相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個(gè)不同的小盒中，每個(gè)小盒中至少有1個(gè)小球，那么甲盒中恰好有3個(gè)小球的概率為()A. BC. D(2)(2018·石家莊一模)用1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，若用a1，a2，a3，a4，a5分別表示五位數(shù)的萬位、千位、百位、十位、個(gè)位，則出現(xiàn)a1a2a3a4a5特征的五位數(shù)的概率為_(1)C(2)(1)將7個(gè)相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個(gè)不同的小盒中，每個(gè)小盒中至少有1個(gè)小球有C種放法，甲盒中恰好有3個(gè)小球有C種放法，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式得所求概率為.故選C.(2)1,2,3,4,5可組成A120個(gè)不同的五位數(shù)，其中滿足題目條件的五位數(shù)中，最大的5必須排在中間，左、右各兩個(gè)數(shù)字只要選出，則排列位置就隨之而定，滿足條件的五位數(shù)有CC6個(gè)，故出現(xiàn)a1a2a3a4a5特征的五位數(shù)的概率為.幾何概型【例3】(1)(2016·全國(guó)卷)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是()A. BC. D(2)(2018·合肥二模)小李從網(wǎng)上購(gòu)買了一件商品，快遞員計(jì)劃在下午5：00到6：00之間送貨上門，已知小李下班到家的時(shí)間在下午5：30到6：00之間快遞員到小李家時(shí)，如果小李未到家，則快遞員會(huì)電話聯(lián)系小李若小李能在10分鐘之內(nèi)到家，則快遞員等小李回來；否則，就將商品存放在快遞柜中則小李需要去快遞柜領(lǐng)取商品的概率為()A. BC. D(3)已知在四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是正方形，PAAB2，現(xiàn)在該四棱錐內(nèi)部或表面任取一點(diǎn)O，則四棱錐O­ABCD的體積不小于的概率為_(1)B(2)D(3)(1)這是幾何概型問題，總的基本事件空間如圖所示，共40分鐘，等車時(shí)間不超過10分鐘的時(shí)間段為：7：50至8：00和8：20至8：30，共20分鐘，故他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率為，故選B(2)如圖，設(shè)快遞員和小李分別在下午5點(diǎn)后過了x分鐘和y分鐘到小李家，則所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?x，y)|0x60,30y60，這是一個(gè)矩形區(qū)域，yx10表示小李比快遞員晚到超過10分鐘，事件M表示小李需要去快遞柜領(lǐng)取商品，其所構(gòu)成的區(qū)域是如圖所示的直角梯形ABCD的內(nèi)部區(qū)域及邊界(不包含AB)，由可得即A(50,60)，由可得即B(20,30)，所以由幾何概型的概率計(jì)算公式可知P(M)，故選D(3)當(dāng)四棱錐O­ABCD的體積為時(shí)，設(shè)O到平面ABCD的距離為h，則×22×h，解得h.如圖所示，在四棱錐P­ABCD內(nèi)作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH與底面ABCD的距離為.因?yàn)镻A底面ABCD，且PA2，所以，所以四棱錐O­ABCD的體積不小于的概率P33.規(guī)律方法解答幾何概型試題要善于根據(jù)題目特點(diǎn)尋找基本事件所在線、面、體，尋找隨機(jī)事件所在的線、面、體，把幾何概型的計(jì)算轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的長(zhǎng)度、面積和體積的比值的計(jì)算(1)在線段上取點(diǎn)，則點(diǎn)在線段上等可能出現(xiàn)；在角內(nèi)作射線，則射線在角內(nèi)的分布等可能(2)兩個(gè)變量在某個(gè)范圍內(nèi)取值，對(duì)應(yīng)的“區(qū)域”是面積 (1)隨機(jī)地取兩個(gè)實(shí)數(shù)x和y，使得x1,1，y0,1，則滿足yx2的概率是()A. BC. D(2)如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點(diǎn)C在ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與AB交于點(diǎn)M，則AMAC的概率為_(1)B(2)(1)滿足x1,1，y0,1的區(qū)域?yàn)榫匦螀^(qū)域(包括邊界)(圖略)，面積為2，滿足yx2的區(qū)域的面積S1(1x2)dx|，故所求概率P.故選B(2)在AB上取ACAC(圖略)，則ACC67.5°，記A在ACB內(nèi)部任作一射線CM與線段AB交于點(diǎn)M，AMAC，則所有可能結(jié)果的區(qū)域?yàn)锳CB，事件A構(gòu)成的區(qū)域?yàn)锳CC.又ACB90°，ACC67.5°，P(A).1(2018·全國(guó)卷)如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為，黑色部分記為，其余部分記為.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自，的概率分別記為p1，p2，p3，則()Ap1p2Bp1p3Cp2p3 Dp1p2p3A設(shè)直角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則區(qū)域的面積即ABC的面積，為S1bc，區(qū)域的面積S2×2×2(c2b2a2)bcbc，所以S1S2，由幾何概型的知識(shí)知p1p2，故選A.2(2017·全國(guó)卷)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國(guó)古代的太極圖正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()A. BC. DB不妨設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，可得S正方形4.由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱，得S黑S白S圓，所以由幾何概型知所求概率P.故選B3(2016·全國(guó)卷)從區(qū)間0,1隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，xn，y1，y2，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為()A. BC. DC因?yàn)閤1，x2，xn，y1，y2，yn都在區(qū)間0,1內(nèi)隨機(jī)抽取，所以構(gòu)成的n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)都在正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，如圖所示若兩數(shù)的平方和小于1，則對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì)在扇形OAC內(nèi)(不包括扇形圓弧上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì))，故在扇形OAC內(nèi)的數(shù)對(duì)有m個(gè)用隨機(jī)模擬的方法可得，即，所以.4(2014·全國(guó)卷)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為()A. BC. DD4名同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)的情況有2416(種)，其中僅在周六(周日)參加的各有1種，所求概率為1.- 10 -