2020版高考數學一輪復習 第3章 三角函數、解三角形 第1節(jié) 任意角、弧度制及任意角的三角函數教學案 文（含解析）北師大版

第一節(jié)任意角、弧度制及任意角的三角函數考綱傳真1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能進行弧度與角度的互化.3.理解任意角三角函數(正弦、余弦、正切)的定義1角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形(2)分類(3)終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合S|k·360°，kZ2弧度制的定義和公式(1)定義：在以單位長為半徑的圓中，單位長度的孤所對的圓心角為1弧度的角，它的單位符號是rad，讀作弧度正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0.(2)公式角的弧度數公式|(弧長用l表示)角度與弧度的換算1° rad；1 rad°弧長公式弧長l|r扇形面積公式Slr|r23.任意角的三角函數三角函數正弦余弦正切定義設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么y叫作的正弦，記作sin x叫作的余弦，記作cos 叫作的正切，記作tan 各象限符號三角函數線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線4.任意角的三角函數的定義(推廣)設P(x，y)是角終邊上異于頂點的任一點，其到原點O的距離為r，則sin ，cos ，tan (x0)若分別為、象限角，則所在象限如圖：基礎自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)小于90°的角是銳角()(2)銳角是第一象限角，反之亦然()(3)角的三角函數值與終邊上點P的位置無關()(4)若為第一象限角，則sin cos 1.()答案(1)×(2)×(3)(4)2(教材改編)角870°的終邊所在的象限是()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限C870°2×360°150°，870°和150°的終邊相同，故870°的終邊在第三象限3若角同時滿足sin 0且tan 0，則角的終邊一定位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限D由sin 0知角的終邊在三、四象限或y軸負半軸上，由tan 0知角的終邊在二、四象限，故角的終邊在第四象限，故選D.4(教材改編)已知角的終邊與單位圓的交點為M，則sin ()A. B± C.D±B由題意知|r|2y21，所以y±.由三角函數定義知sin y±.5在單位圓中，200°的圓心角所對的弧長為()A10 B9 C.D.D單位圓的半徑r1,200°的弧度數是200×，由弧長公式得l.象限角與終邊相同的角1若k·180°45°(kZ)，則在()A第一或第三象限B第一或第二象限C第二或第四象限D第三或第四象限A當k2n(nZ)時，2n·180°45°n·360°45°，為第一象限角；當k2n1(nZ)時，(2n1)·180°45°n·360°225°，為第三象限角，所以為第一或第三象限角故選A.2若角是第二象限角，則是()A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角D第二或第四象限角C是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.當k為偶數時，是第一象限角；當k為奇數時，是第三象限角綜上，是第一或第三象限角，故選C.3與2 015°終邊相同的最小正角是_145°2 015°6×(360°)145°，因此與2 015°終邊相同的最小正角是145°.4終邊在直線yx上的角的集合是_|60°k·180°，kZ如圖，直線yx過原點，傾斜角為60°，在0°360°范圍內，終邊落在射線OA上的角是60°，終邊落在射線OB上的角是240°，所以以射線OA，OB為終邊的角的集合為：S1|60°k·360°，kZ，S2|240°k·360°，kZ，所以角的集合SS1S2|60°k·360°，kZ|60°180°k·360°，kZ|60°2k·180°，kZ|60°(2k1)·180°，kZ|60°k·180°，kZ規(guī)律方法1.象限角的兩種判斷方法(1)圖像法：在平面直角坐標系中，作出已知角并根據象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角(2)轉化法：先將已知角化為k·360°(0°360°，kZ)的形式，即找出與已知角終邊相同的角，再由角終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角2終邊在某直線上角的求法四步驟(1)數形結合，在平面直角坐標系中畫出該直線(2)按逆時針方向寫出0,2)內的角(3)再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合(4)求并集化簡集合扇形的弧長、面積公式【例1】(1)已知扇形周長為10，面積是4，求扇形的圓心角；(2)已知扇形周長為40，當它的半徑和圓心角分別取何值時，扇形的面積最大？解(1)設圓心角是，半徑是r，則解得(舍去)或扇形的圓心角為.(2)設圓心角是，半徑是r，則2rr40.又Sr2r(402r)r(20r)(r10)2100100.當且僅當r10時，Smax100，此時2×101040，2，當r10，2時，扇形的面積最大規(guī)律方法解決有關扇形的弧長和面積問題的常用方法及注意事項(1)解決有關扇形的弧長和面積問題時，要注意角的單位，一般將角度化為弧度(2)求解扇形面積的最值問題時，常轉化為二次函數的最值問題，利用配方法使問題得到解決(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形 (1)若扇形的圓心角120°，弦長AB12 cm，則弧長l_cm.設扇形的半徑為r cm，如圖由sin 60°，得r4 cm，l|·r×4 cm.(2)已知扇形AOB的周長為C，當圓心角為多少時，扇形的面積最大？解設扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為，由題意可知lC2r，代入可得：S(C2r)·rrr2，S，0r，當r時，S最大，此時lC，2.三角函數的定義考法1利用三角函數的定義求值【例2】(1)已知點P在角的終邊上，且|OP|4，則點P的坐標為()A(2，2)BC(2，2)D(2)已知角的終邊經過點P(x，6)，且cos ，則_.(1)A(2)(1)設P(x，y)，由三角函數的定義知，sin ，cos，即y4sin2，x4cos2，即點P的坐標為(2，2)，故選A.(2)r，由cos 得解得x或x(舍去)所以P，所以sin ，所以tan ，則.考法2三角函數值的符號判定【例3】(1)若sin tan 0，且0，則角是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角(2)sin 2·cos 3·tan 4的值()A小于0B大于0C等于0D不確定(1)C(2)A(1)由sin tan 0可知sin ，tan 異號，從而可判斷角為第二或第三象限角由0可知cos ，tan 異號，從而可判斷角為第三或第四象限角綜上可知，角為第三象限角(2)sin 20，cos 30，tan 40，則sin 2·cos 3·tan 40，故選A.考法3三角函數線的應用【例4】函數y的定義域為_(kZ)2cos x10，cos x.由三角函數線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示)x(kZ)規(guī)律方法1.利用三角函數定義求三角函數值的方法(1)已知角終邊上一點P的坐標，則可先求出點P到原點的距離r，然后用三角函數的定義求解(2)已知角的終邊所在的直線方程，則可先設出終邊上一點的坐標，求出此點到原點的距離，然后用三角函數的定義求解2利用三角函數線求解三角不等式的方法對于較為簡單的三角不等式，在單位圓中，利用三角函數線先作出使其相等的角(稱為臨界狀態(tài)，注意實線與虛線)，再通過大小找到其所滿足的角的區(qū)域，由此寫出不等式的解集 (1)點P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達Q點，則Q點的坐標為()A.BC.D(2)若角的終邊經過點P(，m)(m0)且sin m，則cos 的值為_(3)函數ylg(2sin x1)的定義域為_(1)A(2)(3)kZ(1)由三角函數定義可知Q點的坐標(x，y)滿足xcos ，ysin .Q點的坐標為，故選A.(2)由題意知r，sin m，m0，m±，r2，cos .(3)由題意知2sin x10，即sin x，根據三角函數線，畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示).1(2014·全國卷)若tan >0，則()Asin 2>0Bcos >0Csin >0Dcos 2>0Atan >0，(kZ)是第一、三象限角sin ，cos 都可正、可負，排除B，C.而2(2k，2k)(kZ)，結合正、余弦函數圖像可知，A正確取，則tan 1>0，而cos 20，故D不正確2(2014·大綱全國卷)已知角的終邊經過點(4,3)，則cos ()A.BCDD因為角的終邊經過點(4,3)，所以x4，y3，r5，所以cos .- 10 -