2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第6節(jié) 拋物線教學(xué)案 文（含解析）北師大版

第六節(jié)拋物線考綱傳真1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率).2.理解數(shù)形結(jié)合思想.3.了解拋物線的實(shí)際背景及拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用1拋物線的概念平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的集合叫做拋物線定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)對(duì)稱軸x軸y軸焦點(diǎn)坐標(biāo)FFFF離心率e1準(zhǔn)線方程xxyy范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR開口方向向右向左向上向下與拋物線有關(guān)的結(jié)論(1)拋物線y22px(p>0)上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離|PF|x0，也稱為拋物線的焦半徑(2)y2ax(a0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x.(3)設(shè)AB是過拋物線y22px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1y2p2.弦長(zhǎng)|AB|x1x2p(為弦AB的傾斜角)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切通徑：過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦，長(zhǎng)等于2p，通徑是過焦點(diǎn)最短的弦基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線()(2)方程yax2(a0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x()(3)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形()(4)若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與拋物線一定相切()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2拋物線yx2的準(zhǔn)線方程是()Ay1By2Cx1Dx2Ayx2，x24y，準(zhǔn)線方程為y1.3(教材改編)若拋物線y4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是()A.B.CD0BM到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點(diǎn)的距離，又準(zhǔn)線方程為y，設(shè)M(x，y)，則y1，y.4(教材改編)過拋物線y24x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1x26，則|PQ|等于()A9 B8 C7 D6B拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1.根據(jù)題意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.5(教材改編)已知拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過點(diǎn)P(2，4)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_y28x或x2y設(shè)拋物線方程為y22px(p0)或x22py(p0)將P(2，4)代入，分別得方程為y28x或x2y.拋物線的定義與應(yīng)用【例1】設(shè)P是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若B(3,2)，則|PB|PF|的最小值為_4如圖，過點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1，則|P1Q|P1F|.則有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值為4.拓展探究(1)若將本例中的B點(diǎn)坐標(biāo)改為(3,4)，試求|PB|PF|的最小值(2)若將本例中的條件改為：已知拋物線方程為y24x，直線l的方程為xy50，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，求d1d2的最小值解(1)由題意可知點(diǎn)B(3,4)在拋物線的外部|PB|PF|的最小值即為B，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離，F(xiàn)(1,0)，|PB|PF|BF|2，即|PB|PF|的最小值為2.(2)由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離d1|PF|1，所以d1d2d2|PF|1.易知d2|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，故d2|PF|的最小值為3，所以d1d2的最小值為31.規(guī)律方法與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決與過拋物線焦點(diǎn)的弦有關(guān)問題的重要途徑 (1)已知P是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q是圓(x3)2(y1)21上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N(1,0)是一個(gè)定點(diǎn)，則|PQ|PN|的最小值為()A3B4C5D1(2)動(dòng)圓過點(diǎn)(1,0)，且與直線x1相切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為_. (1)A(2)y24x(1)由拋物線方程y24x，可得拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)，又N(1,0)，所以N與F重合過圓(x3)2(y1)21的圓心M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MH，交圓于Q，交拋物線于P，則|PQ|PN|的最小值等于|MH|13.(2)設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則圓心到點(diǎn)(1,0)的距離與到直線x1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的軌跡方程為y24x.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)【例2】(1)點(diǎn)M(5,3)到拋物線yax2的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()Ax2yBx2y或x2yCx2yDx212y或x236y(2)(2016·全國卷)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)已知|AB|4，|DE|2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A2 B4 C6 D8(3)如圖所示，過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則此拋物線的方程為()Ay2xBy29xCy2xDy23x(1)D(2)B(3)D(1)將yax2化為x2y.當(dāng)a>0時(shí)，準(zhǔn)線y，則36，a.當(dāng)a<0時(shí)，準(zhǔn)線y，則6，a.拋物線方程為x212y或x236y.(2)設(shè)拋物線的方程為y22px(p0)，圓的方程為x2y2r2.|AB|4，|DE|2，拋物線的準(zhǔn)線方程為x，不妨設(shè)A，D.點(diǎn)A，D在圓x2y2r2上，85，p4(負(fù)值舍去)C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.(3)分別過點(diǎn)A，B作AA1l，BB1l，且垂足分別為A1，B1，由已知條件|BC|2|BF|，得|BC|2|BB1|，所以BCB130°.又|AA1|AF|3，所以|AC|2|AA1|6，所以|CF|AC|AF|633，所以F為線段AC的中點(diǎn)故點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為p|AA1|，故拋物線的方程為y23x.規(guī)律方法1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因?yàn)槲粗獢?shù)只有p，所以只需一個(gè)條件確定p值即可(2)因?yàn)閽佄锞€方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時(shí)，需先定位，再定量2確定及應(yīng)用拋物線性質(zhì)的技巧(1)利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等性質(zhì)時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程(2)要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面幾何的性質(zhì)以圖助解直線與拋物線的位置關(guān)系考法1直線與拋物線的交點(diǎn)問題【例3】(2017·全國卷)設(shè)A，B為曲線C：y上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4.(1)求直線AB的斜率；(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AMBM，求直線AB的方程解(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1，y2，x1x24，于是直線AB的斜率k1.(2)由 y，得y.設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知1，解得x32，于是M(2,1)設(shè)直線AB的方程為yxm，故線段AB的中點(diǎn)為N(2,2m)，|MN|m1|.將yxm代入y得x24x4m0.當(dāng)16(m1)>0，即m>1時(shí)，x1,22±2.從而|AB|x1x2|4.由題設(shè)知|AB|2|MN|，即42(m1)，解得m7.所以直線AB的方程為yx7.考法2與拋物線弦長(zhǎng)或中點(diǎn)有關(guān)的問題【例4】已知拋物線C：x22py(p0)，過焦點(diǎn)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，D是拋物線的準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)(1)若ABl，且ABD的面積為1，求拋物線的方程；(2)設(shè)M為AB的中點(diǎn)，過M作l的垂線，垂足為N.證明：直線AN與拋物線相切解(1)ABl，|FD|p，|AB|2p.SABDp2，p1，故拋物線C的方程為x22y.(2)設(shè)直線AB的方程為ykx，由得x22kpxp20，x1x22kp，x1x2p2.其中A，B.M，N.kAN.又x22py，y.拋物線x22py在點(diǎn)A處的切線斜率k.直線AN與拋物線相切規(guī)律方法解決直線與拋物線位置關(guān)系問題的常用方法(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|x1|x2|p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式(3)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法 已知拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線C與直線l1：yx的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8.(1)求拋物線C的方程；(2)不過原點(diǎn)的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若線段AB的中點(diǎn)為P，且|OP|PB|，求FAB的面積. 解(1)易知直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8，8)，(8)22p×8，2p8，拋物線方程為y28x.(2)直線l2與l1垂直，故可設(shè)直線l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點(diǎn)為M.由得y28y8m0，6432m>0，m>2.y1y28，y1y28m，x1x2m2.由題意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍)，直線l2：xy8，M(8,0)故SFABSFMBSFMA·|FM|·|y1y2|324.1(2018·全國卷)設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)(2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則·()A5B6C7D8D法一：過點(diǎn)(2,0)且斜率為的直線的方程為y(x2)，由得x25x40，解得x1或x4，所以或不妨設(shè)M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以(0,2)，(3,4)，所以·8.故選D法二：過點(diǎn)(2,0)且斜率為的直線的方程為y(x2)，由得x25x40，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y10，y20，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x25，x1x24.易知F(1,0)，所以(x11，y1)，(x21，y2)，所以·(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1445188.故選D2(2016·全國卷)設(shè)F為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，曲線y(k0)與C交于點(diǎn)P，PFx軸，則k()A. B1 C D2Dy24x，F(xiàn)(1,0)又曲線y(k0)與C交于點(diǎn)P，PFx軸，P(1,2)將點(diǎn)P(1,2)的坐標(biāo)代入y(k0)得k2.故選D3(2018·全國卷)已知點(diǎn)M(1,1)和拋物線C：y24x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)若AMB90°，則k_.2法一：由題意知拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，則過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線方程為yk(x1)(k0)，由消去y得k2(x1)24x，即k2x2(2k24)xk20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x21.由消去x得y24，即y2y40，則y1y2，y1y24.由AMB90°，得·(x11，y11)·(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10，將x1x2，x1x21與y1y2，y1y24代入，得k2.法二：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則所以yy4(x1x2)，則k.取AB的中點(diǎn)M(x0，y0)，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線x1的垂線，垂足分別為A，B，又AMB90°，點(diǎn)M在準(zhǔn)線x1上，所以|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)又M為AB的中點(diǎn)，所以MM平行于x軸，且y01，所以y1y22，所以k2.4(2017·全國卷)已知F是拋物線C：y28x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|_.6如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)P，PMOF.由題意知，F(xiàn)(2,0)，|FO|AO|2.點(diǎn)M為FN的中點(diǎn)，PMOF，|MP|FO|1. 又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由拋物線的定義知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.- 10 -