2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第1講 直線與圓學(xué)案 理

第1講直線與圓高考定位1.直線方程、圓的方程、兩直線的平行與垂直、直線與圓的位置關(guān)系是本講高考的重點(diǎn)；2.考查的主要內(nèi)容包括求直線(圓)的方程、點(diǎn)到直線的距離、直線與圓的位置關(guān)系判斷、簡單的弦長與切線問題，多為選擇題、填空題.真 題 感 悟1.(2018·全國卷)直線xy20分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x2)2y22上，則ABP面積的取值范圍是()A.2，6 B.4，8C.，3 D.2，3解析由題意知圓心的坐標(biāo)為(2，0)，半徑r，圓心到直線xy20的距離d2，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是dr3，最小距離是dr.易知A(2，0)，B(0，2)，所以|AB|2，所以2SABP6.答案A2.(2018·天津卷)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)(0，0)，(1，1)，(2，0)的圓的方程為_.解析法一設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0(D2E24F>0)，則解得D2，E0，F(xiàn)0，故圓的方程為x2y22x0.法二設(shè)O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，所以kOA1，kAB1，所以kOA·kAB1，所以O(shè)AAB.所以O(shè)B為所求圓的直徑，所以圓心坐標(biāo)為(1，0)，半徑為1.故所求圓的方程為(x1)2y21，即x2y22x0.答案x2y22x03.(2016·全國卷)設(shè)直線yx2a與圓C：x2y22ay20相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|2，則圓C的面積為_.解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(ya)2a22，圓心為C(0，a)，點(diǎn)C到直線yx2a的距離為d.又|AB|2，得a22，解得a22.所以圓C的面積為(a22)4.答案44.(2018·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線l：y2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，B(5，0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D.若·0，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為_.解析因為·0，所以ABCD，又點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，所以BAD45°.設(shè)直線l的傾斜角為，直線AB的斜率為k，則tan 2，ktan3.又B(5，0)，所以直線AB的方程為y3(x5)，又A為直線l：y2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)立解得所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3.答案3考 點(diǎn) 整 合1.兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1l2k1k2，l1l2k1k21.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在.2.兩個距離公式(1)兩平行直線l1：AxByC10與l2：AxByC20間的距離d.(2)點(diǎn)(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d.3.圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圓心為(a，b)，半徑為r.(2)圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圓心為，半徑為r.4.直線與圓的位置關(guān)系的判定(1)幾何法：把圓心到直線的距離d和半徑r的大小加以比較：d<r相交；dr相切；d>r相離.(2)代數(shù)法：將圓的方程和直線的方程聯(lián)立起來組成方程組，利用判別式來討論位置關(guān)系：>0相交；0相切；<0相離.熱點(diǎn)一直線的方程【例1】 (1)(2018·惠州三模)直線l1：(3m)x4y53m，l2：2x(5m)y8，則“m1或m7”是“l(fā)1l2”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件(2)過點(diǎn)(1，2)的直線l與兩坐標(biāo)軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)OAB的面積最小時，直線l的方程為()A.2xy40 B.x2y50C.xy30 D.2x3y80解析(1)由(3m)(5m)4×20，得m1或m7.但m1時，直線l1與l2重合.當(dāng)m7時，l1的方程為2x2y13，直線l2：2x2y8，此時l1l2.“m7或m1”是“l(fā)1l2”的必要不充分條件.(2)設(shè)l的方程為1(a>0，b>0)，則1.a>0，b>0，2.則12，ab8(當(dāng)且僅當(dāng)，即a2，b4時，取“”).當(dāng)a2，b4時，OAB的面積最小.此時l的方程為1，即2xy40.答案(1)B(2)A探究提高1.求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2A2B10建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的可能性.2.求直線方程時應(yīng)根據(jù)條件選擇合適的方程形式利用待定系數(shù)法求解，同時要考慮直線斜率不存在的情況是否符合題意.【訓(xùn)練1】 (1)(2018·貴陽質(zhì)檢)已知直線l1：mxy10，l2：(m3)x2y10，則“m1”是“l(fā)1l2”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件(2)已知l1，l2是分別經(jīng)過A(1，1)，B(0，1)兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2間的距離最大時，則直線l1的方程是_.解析(1)“l(fā)1l2”的充要條件是“m(m3)1×20m1或m2”，因此“m1”是“l(fā)1l2”的充分不必要條件.(2)當(dāng)直線AB與l1，l2垂直時，l1，l2間的距離最大.A(1，1)，B(0，1)，kAB2.兩平行直線的斜率k.直線l1的方程是y1(x1)，即x2y30.答案(1)A(2)x2y30熱點(diǎn)二圓的方程【例2】 (1)圓心在直線x2y0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得的弦的長為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.(2)(2017·天津卷)設(shè)拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.已知點(diǎn)C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點(diǎn)A.若FAC120°，則圓的方程為_.解析(1)設(shè)圓心(a>0)，半徑為a.由勾股定理得()2a2，解得a2.所以圓心為(2，1)，半徑為2，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24.(2)由題意知該圓的半徑為1，設(shè)圓心C(1，a)(a>0)，則A(0，a).又F(1，0)，所以(1，0)，(1，a).由題意知與的夾角為120°，得cos 120°，解得a.所以圓的方程為(x1)2(y)21.答案(1)(x2)2(y1)24(2)(x1)2(y)21探究提高1.直接法求圓的方程，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程.2.待定系數(shù)法求圓的方程：(1)若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；(2)若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值.溫馨提醒解答圓的方程問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì).【訓(xùn)練2】 (1)一個圓經(jīng)過橢圓1的三個頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.(2)(2018·日照質(zhì)檢)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)M(0，)在圓C上，且圓心到直線2xy0的距離為，則圓C的方程為_.解析(1)由題意知，橢圓頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，2)，(0，2)，(4，0)，(4，0).由圓心在x軸的正半軸上知圓過頂點(diǎn)(0，2)，(0，2)，(4，0).設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xm)2y2r2，則有解得所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2.(2)圓C的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)C(a，0)，且a>0.則圓心C到直線2xy0的距離d，解得a2.圓C的半徑r|CM|3，因此圓C的方程為(x2)2y29.答案(1)y2(2)(x2)2y29熱點(diǎn)三直線(圓)與圓的位置關(guān)系考法1圓的切線問題【例31】 (1)過點(diǎn)P(3，1)，Q(a，0)的光線經(jīng)x軸反射后與圓x2y21相切，則a的值為_.(2)(2018·湖南六校聯(lián)考)已知O：x2y21，點(diǎn)A(0，2)，B(a，2)，從點(diǎn)A觀察點(diǎn)B，要使視線不被O擋住，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(，2)(2，)B.C.D.解析(1)點(diǎn)P(3，1)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P(3，1)，所以直線PQ的方程為x(a3)ya0.依題意，直線PQ與圓x2y21相切.1，解得a.(2)易知點(diǎn)B在直線y2上，過點(diǎn)A(0，2)作圓的切線.設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為ykx2，即kxy20.由d1，得k±.切線方程為y±x2，和直線y2的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，.故要使視線不被O擋住，則實數(shù)a的取值范圍是.答案(1)(2)B考法2圓的弦長相關(guān)計算【例32】(2017·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線yx2mx2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，1).當(dāng)m變化時，解答下列問題：(1)能否出現(xiàn)ACBC的情況？說明理由；(2)證明過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值.(1)解不能出現(xiàn)ACBC的情況，理由如下：設(shè)A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2滿足方程x2mx20，所以x1x22.又C的坐標(biāo)為(0，1)，故AC的斜率與BC的斜率之積為·，所以不能出現(xiàn)ACBC的情況.(2)證明BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，可得BC的中垂線方程為yx2.由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂線方程為x.聯(lián)立又xmx220， 由解得x，y.所以過A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑r.故圓在y軸上截得的弦長為23，即過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值.探究提高1.研究直線與圓的位置關(guān)系最常用的解題方法為幾何法，將代數(shù)問題幾何化，利用數(shù)形結(jié)合思想解題.2.與弦長有關(guān)的問題常用幾何法，即利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d，及半弦長，構(gòu)成直角三角形的三邊，利用其關(guān)系來處理.【訓(xùn)練3】 (1)(2018·石家莊調(diào)研)已知圓M：x2y22ay0(a0)截直線xy0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離(2)已知圓C的方程是x2y28x2y80，直線l：ya(x3)被圓C截得的弦長最短時，直線l方程為_.解析(1)圓M：x2y22ay0(a>0)可化為x2(ya)2a2，由題意，d，所以有a22，解得a2.所以圓M：x2(y2)222，圓心距為，半徑和為3，半徑差為1，所以兩圓相交.(2)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x4)2(y1)29，圓C的圓心C(4，1)，半徑r3.又直線l：ya(x3)過定點(diǎn)P(3，0)，則當(dāng)直線ya(x3)與直線CP垂直時，被圓C截得的弦長最短.因此a·kCPa·1，a1.故所求直線l的方程為y(x3)，即xy30.答案(1)B(2)xy301.解決直線方程問題應(yīng)注意：(1)要注意幾種直線方程的局限性.點(diǎn)斜式方程不能表示與x軸垂直的直線、截距式方程不能表示過原點(diǎn)和垂直于坐標(biāo)軸的直線、兩點(diǎn)式方程不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線.(2)求直線方程要考慮直線斜率是否存在.(3)求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2A2B10建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的可能性.2.求圓的方程兩種主要方法：(1)直接法：利用圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合直接求出圓心坐標(biāo)、半徑，進(jìn)而求出圓的方程.(2)待定系數(shù)法：先設(shè)出圓的方程，再由條件構(gòu)建系數(shù)滿足的方程(組)求得各系數(shù)，進(jìn)而求出圓的方程.3.直線與圓相關(guān)問題的兩個關(guān)鍵點(diǎn)(1)三個定理：切線的性質(zhì)定理、切線長定理和垂徑定理.(2)兩個公式：點(diǎn)到直線的距離公式d，弦長公式|AB|2(弦心距d).一、選擇題1.(2016·全國卷)圓x2y22x8y130的圓心到直線axy10的距離為1，則a()A. B. C. D.2解析圓x2y22x8y130化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y4)24，故圓心為(1，4).由題意，得d1，解得a.答案A2.(2018·昆明診斷)已知命題p：“m1”，命題q：“直線xy0與直線xm2y0互相垂直”，則命題p是命題q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要解析“直線xy0與直線xm2y0互相垂直”的充要條件是1×1(1)·m20m±1.命題p是命題q的充分不必要條件.答案A3.過點(diǎn)(3，1)作圓(x1)2y2r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為()A.2xy50 B.2xy70C.x2y50 D.x2y70解析依題意知，點(diǎn)(3，1)在圓(x1)2y2r2上，且為切點(diǎn).圓心(1，0)與切點(diǎn)(3，1)連線的斜率為，所以切線的斜率k2.故過點(diǎn)(3，1)的切線方程為y12(x3)，即2xy70.答案B4.(2018·衡水中學(xué)模擬)已知圓C：(x1)2y225，則過點(diǎn)P(2，1)的圓C的所有弦中，以最長弦和最短弦為對角線的四邊形的面積是()A.10 B.9C.10 D.9解析易知P在圓C內(nèi)部，最長弦為圓的直徑10，又最短弦所在直線與最長弦垂直，且|PC|，最短弦的長為222，故所求四邊形的面積S×10×210.答案C5.(2018·湖南師大附中聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0，3)，直線l：y2x4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上，若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|2|MO|，則圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為()A. B.0，1C. D.解析設(shè)點(diǎn)M(x，y)，由|MA|2|MO|，2，化簡得x2(y1)24.點(diǎn)M的軌跡為以(0，1)為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D.又點(diǎn)M在圓C上，圓C與圓D的關(guān)系為相交或相切，1|CD|3，其中|CD|，1a2(2a3)29，解之得0a.答案A二、填空題6.過點(diǎn)(1，1)的直線l與圓(x2)2(y3)29相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|4時，直線l的方程為_.解析易知點(diǎn)(1，1)在圓內(nèi)，且直線l的斜率k存在，則直線l的方程為y1k(x1)，即kxy1k0.又|AB|4，r3，圓心(2，3)到l的距離d.因此，解得k.直線l的方程為x2y30.答案x2y307.(2018·濟(jì)南調(diào)研)已知拋物線yax2(a>0)的準(zhǔn)線為l，若l與圓C：(x3)2y21相交所得弦長為，則a_.解析由yax2，得x2，準(zhǔn)線l的方程為y.又l與圓C：(x3)2y21相交的弦長為，1，則a.答案8.某學(xué)校有2 500名學(xué)生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，為了了解學(xué)生的身體健康狀況，采用分層抽樣的方法，若從本校學(xué)生中抽取100人，從高一和高三抽取樣本數(shù)分別為a，b，且直線axby80與以A(1，1)為圓心的圓交于B，C兩點(diǎn)，且BAC120°，則圓C的方程為_.解析由題意，a40，b24，直線axby80，即5x3y10，A(1，1)到直線的距離為，直線axby80與以A(1，1)為圓心的圓交于B，C兩點(diǎn)，且BAC120°，r，圓C的方程為(x1)2(y1)2.答案(x1)2(y1)2三、解答題9.已知點(diǎn)A(3，3)，B(5，2)到直線l的距離相等，且直線l經(jīng)過兩直線l1：3xy10和l2：xy30的交點(diǎn)，求直線l的方程.解解方程組得即l1與l2的交點(diǎn)P(1，2).若點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，則lAB.而kAB，由點(diǎn)斜式得直線l的方程為y2(x1)，即x2y50.若點(diǎn)A，B分別在直線l的異側(cè)，則直線l經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得直線l的方程為，即x6y110.綜上所述，直線l的方程為x2y50或x6y110.10.已知圓C：x2y22x4y30，從圓C外一點(diǎn)P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|PO|，求使|PM|取得最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo).解圓C的方程為(x1)2(y2)22，圓心C(1，2)，半徑r.由|PM|PO|，得|PO|2|PM|2|PC|2|CM|2，xy(x11)2(y12)22.整理，得2x14y130，即點(diǎn)P在直線l：2x4y30上.當(dāng)|PM|取最小值時，|PO|取最小值，此時直線POl，直線PO的方程為2xy0.解方程組得故使|PM|取得最小值時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點(diǎn)A(2，4).(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且|BC|OA|，求直線l的方程.解圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x6)2(y7)225，所以圓心M(6，7)，半徑為5，(1)由圓心N在直線x6上，可設(shè)N(6， y0).因為圓N與x軸相切，與圓M外切，所以0<y0<7，圓N的半徑為y0，從而7y05y0，解得y01.因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x6)2(y1)21.(2)因為直線lOA，所以直線l的斜率為2.設(shè)直線l的方程為y2xm，即2xym0，則圓心M到直線l的距離d.因為|BC|OA|2，又|MC|2d2，所以255，解得m5或m15.故直線l的方程為2xy50或2xy150.12