2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 函數(shù) 1 生活中的變量關(guān)系 2 對(duì)函數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí) 2.1 函數(shù)概念學(xué)案 北師大版必修1

21函數(shù)概念學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.通過(guò)實(shí)例，了解生活中的變量關(guān)系(易混點(diǎn))2理解函數(shù)的概念及函數(shù)的三要素(重點(diǎn))3會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域(重點(diǎn)、難點(diǎn))4能夠正確使用區(qū)間表示某些函數(shù)的定義域和值域(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.通過(guò)學(xué)習(xí)函數(shù)的概念，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)2通過(guò)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1生活中的變量關(guān)系閱讀教材P23P25內(nèi)容，完成下列問(wèn)題并非有依賴(lài)關(guān)系的兩個(gè)變量都有函數(shù)關(guān)系只有滿(mǎn)足對(duì)于其中一個(gè)變量的每一個(gè)值，另一個(gè)變量都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)時(shí)，才稱(chēng)它們之間具有函數(shù)關(guān)系2函數(shù)的概念閱讀教材P26P27“值域是s|s0”之間的部分，完成下列問(wèn)題(1)定義給定兩個(gè)非空數(shù)集A和B，如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于集合A中任何一個(gè)數(shù)x，在集合B中都存在唯一確定的數(shù)f(x)與之對(duì)應(yīng)，那么就把對(duì)應(yīng)關(guān)系f叫作定義在集合A上的函數(shù)(2)記法f：AB，或yf(x)，xA.(3)名稱(chēng)x叫作自變量，集合A叫作函數(shù)的定義域集合y|yf(x)，xA叫作函數(shù)的值域，稱(chēng)y是x的函數(shù)思考：函數(shù)yx21(xR)與函數(shù)yt21(tR)是同一函數(shù)嗎？提示是同一函數(shù)，這兩個(gè)函數(shù)定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同因此，這兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)3區(qū)間的概念閱讀教材P27從“研究函數(shù)常常用到區(qū)間的概念”“例1”以上內(nèi)容，完成下列問(wèn)題(1)區(qū)間的定義條件：a<b(a，b為實(shí)數(shù))結(jié)論：閉區(qū)間：符號(hào)表示a，b，數(shù)軸表示為開(kāi)區(qū)間：符號(hào)表示(a，b)，數(shù)軸表示為半開(kāi)半閉區(qū)間：符號(hào)表示a，b)或(a，b，數(shù)軸表示為或(2)無(wú)窮大區(qū)間實(shí)數(shù)集R也可以用區(qū)間表示為(，)讀法：“”讀作“負(fù)無(wú)窮大”，“”讀作“正無(wú)窮大”無(wú)窮大區(qū)間的表示：定義x|xax|x>ax|xax|x<a符號(hào)a，)(a，)(，a(，a)幾何表示1下列等式中，y不是x的函數(shù)關(guān)系的是()Ay2x ByCyx25 Dy2x25D選項(xiàng)A、B、C符合函數(shù)定義對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)x0時(shí)，y±.故y不是x的函數(shù)2函數(shù)y的定義域?yàn)?)Ax|x1 Bx|x0Cx|x1，或x0 Dx|0x1D依題意，得解得0x1.3集合x(chóng)|x0，且x1用區(qū)間表示為_(kāi)答案 0,1)(1，)4若函數(shù)f(x)2x23x5，則f(2)_.9f(2)2×223×259.生活中的變量關(guān)系及判斷【例1】下列兩個(gè)變量之間是否存在依賴(lài)關(guān)系，其中哪些是函數(shù)關(guān)系？(1)圓的面積與其半徑之間的關(guān)系；(2)家庭收入與消費(fèi)支出之間的關(guān)系；(3)人的身高與視力之間的關(guān)系；(4)價(jià)格不變的情況下，商品銷(xiāo)售額和銷(xiāo)售量之間的關(guān)系思路探究當(dāng)一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的變化而變化時(shí)，這兩個(gè)變量之間存在依賴(lài)關(guān)系；存在依賴(lài)關(guān)系的兩個(gè)變量，對(duì)于一個(gè)變量的每一個(gè)值，另一個(gè)變量都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)時(shí)，這兩個(gè)變量具有函數(shù)關(guān)系解(1)圓的面積隨圓的半徑的變化而變化，所以圓的面積與其半徑之間存在依賴(lài)關(guān)系，又因?yàn)閷?duì)每一個(gè)半徑的值，都有唯一的圓的面積與之對(duì)應(yīng)，故圓的面積是半徑的函數(shù)(2)消費(fèi)支出隨家庭收入的變化而變化，消費(fèi)支出與家庭收入之間存在依賴(lài)關(guān)系，但消費(fèi)支出還要受到其他因素的影響，二者之間不是函數(shù)關(guān)系(3)人的身高與視力之間不存在依賴(lài)關(guān)系(4)價(jià)格不變的情況下，商品銷(xiāo)售額隨銷(xiāo)售量的變化而變化，二者存在依賴(lài)關(guān)系，且商品銷(xiāo)售額是銷(xiāo)售量的函數(shù)綜上可知，(1)(4)中的變量存在依賴(lài)關(guān)系，且是函數(shù)關(guān)系；(2)中的變量存在依賴(lài)關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系；(3)中的變量不存在依賴(lài)關(guān)系1判斷兩個(gè)變量之間是否存在依賴(lài)關(guān)系，只需看一個(gè)變量發(fā)生變化時(shí)，另一個(gè)變量是否會(huì)隨之變化2判斷兩個(gè)具有依賴(lài)關(guān)系的變量是否是函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是看二者之間的關(guān)系是否具有確定性，即驗(yàn)證對(duì)于一個(gè)變量的每一個(gè)值，另一個(gè)變量是否都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)1下列變量之間是否具有依賴(lài)關(guān)系？其中哪些是函數(shù)關(guān)系？正方形的面積和它的邊長(zhǎng)之間的關(guān)系；姚明罰球次數(shù)與進(jìn)球次數(shù)之間的關(guān)系；施肥量與作物產(chǎn)量之間的關(guān)系；汽車(chē)從A地到B地所用時(shí)間與汽車(chē)速度之間的關(guān)系解中兩個(gè)變量都存在依賴(lài)關(guān)系，其中是函數(shù)關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系函數(shù)的概念【例2】(1)設(shè)Mx|0x2，Ny|0y2，給出下列四個(gè)圖形：能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的個(gè)數(shù)是()A0 B1C2 D3(2)下圖中能表示函數(shù)關(guān)系的是_(1)B(2)(1)中，因?yàn)樵诩螹中，當(dāng)1<x2時(shí)，在N中無(wú)元素與之對(duì)應(yīng)，所以不是；中，對(duì)于集合M中的任意一個(gè)數(shù)x，在N中都有唯一的數(shù)與之對(duì)應(yīng)，所以是；中，x2對(duì)應(yīng)元素y3N，所以不是；中，當(dāng)x1時(shí)，在N中有兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，所以不是因此只有是故選B.(2)由于中的2與1和3同時(shí)對(duì)應(yīng)，故不是函數(shù)(1)判斷所給對(duì)應(yīng)是否為函數(shù)的方法先觀察兩個(gè)數(shù)集A，B是否非空.驗(yàn)證對(duì)應(yīng)關(guān)系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性.(2)根據(jù)圖形判斷對(duì)應(yīng)是否為函數(shù)的步驟任取一條垂直于x軸的直線(xiàn)l.在定義域內(nèi)平行移動(dòng)直線(xiàn)l.若l與圖形有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒(méi)有交點(diǎn)或有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn)，則不是函數(shù).2下列各式是否表示y是x的函數(shù)關(guān)系？如果是，寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)的解析式；若不是，請(qǐng)說(shuō)明原因(1)5x2y1(xR)；(2)xy3(x0)；(3)x2y21(x(1,0)；(4)x3y31(xR)解(1)5x2y1(xR)是函數(shù)關(guān)系，解析式為yx；(2)xy3(x0)是函數(shù)關(guān)系，解析式為y(x0)；(3)x2y21(x(1,0)不是函數(shù)關(guān)系，因?qū)τ趚(1,0)的任意一個(gè)值，對(duì)應(yīng)的y值有兩個(gè)；(4)x3y31(xR)是函數(shù)關(guān)系，解析式為y.求函數(shù)的定義域【例3】求下列函數(shù)的定義域：(1)y；(2)y.思路探究求函數(shù)的定義域就是求使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量的取值范圍，可通過(guò)列不等式或不等式組求解解(1)依題意解得1x1.所以，函數(shù)y的定義域?yàn)?,1(2)依題意，解得x1，且x0，且x1.所以，函數(shù)y的定義域?yàn)?，1)(1,0)(0,11當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時(shí)，求函數(shù)的定義域就是求使解析式有意義的自變量的取值范圍(1)偶次根號(hào)下的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能為0；(3)零次冪的底數(shù)不為0；(4)如果函數(shù)有實(shí)際背景，那么除符合上述要求外，還要符合實(shí)際情況2注意定義域是一個(gè)集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來(lái)表示3函數(shù)y的定義域是()Ax|x1 Bx|x0Cx|x0，或x1 Dx|0x1A依題意1x0，解得x1.所以，函數(shù)y的定義域?yàn)閤|x1求函數(shù)值與值域探究問(wèn)題1已知f(x)，如何求f？提示：f.2已知f(x)，若f(x)2，如何求x?提示：由f(x)2，得2，解得x2.3已知f(x)，如何求ff(x)?提示：ff(x).已知f(x)(xR，x2)，g(x)x4(xR)(1)求f(1)，g(1)的值；(2)求fg(x)的值思路探究(1)將x1分別代入f(x)與g(x)的函數(shù)表達(dá)式中求出函數(shù)值(2)將xx4代入f(x)的解析式中，求出fg(x)解(1)f(1)1，g(1)145.(2)fg(x)f(x4)(xR，且x2)1(變結(jié)論)在本例條件下，求gf(1)的值及f(2x1)的表達(dá)式解gf(1)g(1)145.f(2x1).2(變條件、變結(jié)論)若將本例g(x)的定義域改為0,1,2,3，求g(x)的值域解因?yàn)間(x)x4，x0,1,2,3，所以g(0)4，g(1)5，g(2)6，g(3)7.所以g(x)的值域?yàn)?,5,6,7(1)求函數(shù)值的方法先要確定出函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系f的具體含義，然后將變量取值代入解析式計(jì)算，對(duì)于fg(x)型的求值，按“由內(nèi)到外”的順序進(jìn)行，要注意fg(x)與gf(x)的區(qū)別.(2)求函數(shù)值域的常用方法觀察法：對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過(guò)觀察得到；配方法：此法是求“二次函數(shù)類(lèi)”值域的基本方法，即把函數(shù)通過(guò)配方轉(zhuǎn)化為能直接看出其值域的方法；分離常數(shù)法：此方法主要是針對(duì)有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類(lèi)”的形式，便于求值域；換元法：即運(yùn)用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域.1對(duì)函數(shù)相等的概念的理解(1)函數(shù)有三個(gè)要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系共同確定函數(shù)的值域，因此當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù)(2)定義域和值域都分別相同的兩個(gè)函數(shù)，它們不一定是同一函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系不一定相同如yx與y3x的定義域和值域都是R，但它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，所以是兩個(gè)不同的函數(shù)2區(qū)間實(shí)質(zhì)上是數(shù)軸上某一線(xiàn)段或射線(xiàn)上的所有點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)的取值集合，即用端點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)、“”(正無(wú)窮大)、“”(負(fù)無(wú)窮大)、方括號(hào)(包含端點(diǎn))、小圓括號(hào)(不包含端點(diǎn))等來(lái)表示的部分實(shí)數(shù)組成的集合如x|a<xb(a，b，x|xb(，b是數(shù)集描述法的變式.1思考辨析(1)數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系()(2)根據(jù)函數(shù)的定義，定義域中的多個(gè)x可以對(duì)應(yīng)同一個(gè)y值()(3)在函數(shù)f：AB中，值域即集合B.()答案(1)×(2)(3)×2已知f(x)x21，則ff(1)_.5f(1)(1)212，ff(1)f(2)2215.3函數(shù)y的定義域是_x|x±1由x210，得x±1.所以函數(shù)y的定義域?yàn)閤|x±14已知函數(shù)f(x).(1)求f(2)和ff(2)；(2)若f(x)，求x；(3)求函數(shù)f(x)的值域解(1)f(2)，ff(2)f.(2)由f(x)，得，x23，x±.(3)f(x)1.x211，2<0，11<1.函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,1)- 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