數學第一部分 方法、思想解讀 第4講 從審題中尋找解題思路 理

第第4 4講從審題中尋找解題思路講從審題中尋找解題思路-2-審題亦即提取有效信息,挖掘隱含信息,提煉關鍵信息.條件是題目的“泉眼”.為考核學生的觀察、理解、分析、推理等能力,高考試題往往變換概念的表述形式,精簡試題從條件到結論的中間環(huán)節(jié),透析試題的條件之間的聯系,隱去問題涉及的數學思想及背景.如何科學地審題是同學們最需要掌握的基本技能.事實上,審題能力的培養(yǎng)并未引起應有的重視,很多同學熱衷于題型的總結與解題方法和技巧的訓練,把數學學習等同于解題訓練,一味地機械模仿導致應變能力不強,遇到陌生的問題往往束手無策,致使解題失誤或陷入誤區(qū).-3-審題和解題是解答數學試題的重要兩步,其中,審題是解題的前提,詳細全面地審題為順利解題掃除大部分障礙,正確把握數學試題中的已知條件和所求,從題目關鍵詞語中挖掘隱含條件、啟發(fā)解題思路,最短時間內理解條件和結論所包含的詳細信息是保障解題效率與解題質量的必須條件.解題作為審題活動的升華,是全面解答數學試題的核心.-4-怎樣才算審清題意了呢?主要是弄清題目已經告訴了什么信息,需要我們去做什么,從題目本身獲取“如何解這道題”的邏輯起點、推理目標以及溝通起點與目標之間聯系的更多信息.試題的條件和結論是兩個信息源,為了從中獲取盡可能多的信息,我們要字斟句酌地分析條件、分析結論、分析條件與結論之間的關系,常常還要輔以圖形或記號,以求手段與目標的統一.-5-一二三四五六一、審清條件信息審視條件一般包括“挖掘隱含信息、洞察結構特征、洞悉圖形趨勢、研讀圖表數據”等幾方面.審題時要避開過去熟悉的同類題目的影響,看似相同,就按過去同類型題目進行求解,要審出同還是不同,不能似是而非.例1(1)若直線y=kx+b是曲線y=ln x+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則b=1-ln 2.(1)審題指導一 直線y=kx+b是兩條曲線的切線,但從已知中看不出它們的切點相同,所以應分別設出切點坐標.審題指導二 曲線y=ln x上的所有點向上平移2個單位長度得到曲線y=ln x+2,曲線y=ln x上的所有點向左平移1個單位長度得到曲線y=ln(x+1).七-6-一二三四五六七-7-一二三四五六七(法二)設曲線y=ln x的切點為P(x0,y0), -8-一二三四五六(2)在ABC中,D為邊BC上一點,BD=DC,ADB=120,AD=2,若ADC的面積為3-,則BAC=60.(2)審題指導一 先作出草圖了解題意,由ADC的面積為3-DCDBBC.在ADC中,由余弦定理得AC,在ABD中,由余弦定理得AB,在ABC中,由余弦定理得BAC.審題指導二 考慮已知的條件ADB=120,AD=2,SADC=3-,作AEBC,在RtDAE中易得AE,DE,由SADC易得DC,從而得BC;分別在RtAEC,RtAEB中由勾股定理易得AC,AB,這樣由余弦定理得BAC.審題指導三 在審題指導二得出AE,DE,BE后,如能及時審視出AE=BE,則有EAB=45,在RtAEC中易求tanEAC,從而利用tanBAC=tan(45+EAC)得出BAC.七-9-一二三四五六七-10-一二三四五六七(法二)如圖,作AEBC,由ADB=120,AD=2, -11-一二三四五六七(法三)如圖,作AEBC,由ADB=120,AD=2, -12-一二三四五六二、審條件中的隱含有的數學試題條件并不明顯,審題時要注意挖掘隱含條件和信息,對條件進行再認識、再加工,只有這樣,方可避免因忽視隱含條件而出現錯誤.要注意已知條件中的概念本身容易疏忽的限定信息,關注問題中易于疏忽的特殊情形、可能情形,相近概念之間的差異,要清晰定理成立、公式存在的前提.七-13-一二三四五六例2(1)若鈍角三角形三內角的度數成等差數列,且最大邊長與最小邊長的比值為m,則m的取值范圍是( B )A.(1,2)B.(2,+)C.3,+)D.(3,+)(1)審題指導 由三角形三內角A,B,C的度數成等差數列,可以立即得到B的度數,B=60.設三角形的三個內角為A,B,C,其中A為鈍角,七-14-一二三四五六七解析:設ABC的三邊為a,b,c,且abc.因為ABC為鈍角三角形且三內角的度數成等差數列,所以B=60,且A90.所以0C0時,f(x)=4x-ex,作y=4x與y=ex的圖象如圖所示,故存在實數x0(0,1),使得f(x0)=0,則當x(0,x0)時,f(x0)0,所以f(x)在(0,x0)內單調遞減,在(x0,2)內單調遞增,又f(2)=8-e28-7.4=0.6,故選D.七-23-一二三四五六七解析: 特殊值驗證法,取x=2,則y=24-e28-2.71820.6(0,1),排除A,B;當0 x19,分別探求y與x的函數解析式;(2)本題的統計圖表不是高頻考查的頻率分布直方圖,而是統計圖表中的柱狀圖;(3)許多考生沒有讀懂題意,本問是判斷購買1臺機器的同時應購買19個還是20個易損零件,而判斷的決策依據是:這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數,為此需計算兩種方案時的平均數.每一種方案,如何求解其平均數呢?自然借助于柱形圖!七-28-一二三四五六七解 (1)當x19時,y=3 800;當x19時,y=3 800+500(x-19)=500 x-5 700.所以y與x的函數解析式為(2)由柱狀圖知,需更換的零件數不大于18的頻率為0.46,不大于19的頻率為0.7,故n的最小值為19.-29-一二三四五六七(3)若每臺機器在購機同時都購買19個易損零件,則這100臺機器中有70臺在購買易損零件上的費用為3 800,20臺的費用為4 300,10臺的費用為4 800,因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數為 (3 80070+4 30020+4 80010)=4 000.若每臺機器在購機同時都購買20個易損零件,則這100臺機器中有90臺在購買易損零件上的費用為4 000,10臺的費用為4 500,因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數為 (4 00090+4 50010)=4 050.比較兩個平均數可知,購買1臺機器的同時應購買19個易損零件.-30-一二三四五六六、審結論善轉換結論是解題的最終目標,解決問題的思維在很多情形下都是在目標意識下啟動和定向的.審視結論是要探索已知條件和結論間的聯系與轉化規(guī)律,可以從結論中捕捉解題信息,確定解題方向.有些問題的結論看似不明確或不利于解決,我們可以轉換角度,達到解決問題的目的.七-31-一二三四五六例6如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD,AFD=90,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60.(1)證明平面ABEF平面EFDC;(2)求二面角E-BC-A的余弦值.審題指導 本題第(1)小題要證明平面ABEF平面EFDC,只需證明AF平面EFDC;第(2)小題要求二面角E-BC-A的余弦值,只需探求半平面BCE與半平面BCA的法向量,為此需建立適當的空間直角坐標系,利用向量求解.七-32-一二三四五六解 (1)由已知可得AFDF,AFFE,所以AF平面EFDC.又AF平面ABEF,故平面ABEF平面EFDC.(2)過D作DGEF,垂足為G,由(1)知DG平面ABEF.建立如圖所示的空間直角坐標系G-xyz.由(1)知DFE為二面角D-AF-E的平面角,故DFE=60,則|DF|=2,|DG|=,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0, ).由已知,ABEF,所以AB平面EFDC.又平面ABCD平面EFDC=CD,故ABCD,CDEF.由BEAF,可得BE平面EFDC,七-33-一二三四五六所以CEF為二面角C-BE-F的平面角,CEF=60.七-34-一二三四五六七七、審已知與結論建聯系高考試題的條件和結論是兩個信息源,其條件和結論,很多都是以數式的結構形式進行搭配和呈現的.弄清問題不僅要弄清條件,弄清結論,而且還要弄清條件與所求結論的相互聯系,以求手段與目標的統一.-35-一二三四五六七-36-1.試題的條件和結論是解題的兩個信息源,題目的條件對于得出結論是充分的,解題的鑰匙就放在題目的條件里,其中的許多信息常常是通過語言文字、公式符號以及它們之間的聯系間接地告訴我們,所以,審題要逐字逐句看清楚,力求從語法結構、邏輯關系、數字含義、條件特征、答題形式、數據聯系等各方面真正弄懂題意.只有細致審題才能挖掘出來,讓其“現出原形”,避免發(fā)生會而不對、對而不全的現象.欲速則不達,磨刀不誤砍柴工,審題不要怕慢!當然這有待于平時的審題訓練.2.審題決定成敗.審題是解題的一個重要步驟,通過審題收集信息、加工信息,熟悉題目并深入到題目內部去思考,去分析,我們就會找到問題解決的突破口.審題是通向成功的起點,也是成功的歸宿.