2022年高三數(shù)學(xué) 立體幾何與空間向量教案

2022年高三數(shù)學(xué) 立體幾何與空間向量教案1 空間直角坐標系：（1）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示；（2）在空間選定一點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方向建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標軸我們稱建立了一個空間直角坐標系，點叫原點，向量 都叫坐標向量通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為平面，平面，平面；2空間直角坐標系中的坐標： 在空間直角坐標系中，對空間任一點，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作，叫橫坐標，叫縱坐標，叫豎坐標3空間向量的直角坐標運算律：（1）若，則， ，（2）若，則一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標4 模長公式：若， 則5夾角公式：6兩點間的距離公式：若，則7直線和平面所成角：（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角 一直線垂直于平面，所成的角是直角一直線平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為0°角直線和平面所成角范圍： 0，（2）定理：斜線和平面所成角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角8公式：已知平面a的斜線a與a內(nèi)一直線b相交成角，且a與a相交成j1角，a在a上的射影c與b相交成j2角，則有9 二面角的概念：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面若棱為，兩個面分別為的二面角記為10二面角的平面角：（1）過二面角的棱上的一點分別在兩個半平面內(nèi)作棱的兩條垂線，則叫做二面角的平面角（2）一個平面垂直于二面角的棱，且與兩半平面交線分別為為垂足，則也是的平面角（1）二面角的平面角范圍是；（2）二面角的平面角為直角時，則稱為直二面角，組成直二面角的兩個平面互相垂直11 兩個平面垂直的定義：兩個相交成直二面角的兩個平面互相垂直；相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面12面面垂直的判定定理： 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直13面面垂直的性質(zhì)定理： 若兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面練習(xí)：1設(shè)，且，記，求與軸正方向的夾角的余弦值2在ABC中，已知AB(2,4,0),BC(1,3,0)，則ABC3已知空間三點A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5)，求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；若向量分別與向量垂直，且|，求向量的坐標4直角的斜邊在平面內(nèi)，與所成角分別為，是斜邊上的高線，求與平面所成角的正弦值5如果二面角的平面角是銳角，點到的距離分別為，求二面角的大小6如圖，正方體的棱長為1，求：（1）與所成角；（2）與平面所成角的正切值；（3）平面與平面所成角7已知正方體的棱長為，是的中點，是對角線的中點，（1）求證：是異面直線和的公垂線；（2）求異面直線和的距離參考答案：1設(shè)，且，記，求與軸正方向的夾角的余弦值解：取軸正方向的任一向量，設(shè)所求夾角為，即為所求2在ABC中，已知AB(2,4,0),BC(1,3,0)，則ABC解： ABC45°3已知空間三點A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5)求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；若向量分別與向量垂直，且|，求向量的坐標分析：BAC60°，設(shè)(x,y,z)，則解得xyz1或xyz1，(1,1,1)或(1，1，1).4直角的斜邊在平面內(nèi)，與所成角分別為，是斜邊上的高線，求與平面所成角的正弦值解：過點作于點，連接，則，為所求與所成角，記為，令，則，則在中，有在中，與平面所成角的正弦值.5如果二面角的平面角是銳角，點到的距離分別為，求二面角的大小分析：點可能在二面角內(nèi)部，也可能在外部，應(yīng)區(qū)別處理解：如圖1是點在二面角的內(nèi)部時，圖2是點在二面角外部時， 面同理，面而面面面與面應(yīng)重合即在同一平面內(nèi)，則是二面角的平面角在中， 在中， 故（圖1）或（圖2）即二面角的大小為或說明：作一個垂直于棱的平面，此平面與兩個半平面的交線所成的角就是二面角的平面角6如圖，正方體的棱長為1，求：（1）與所成角；（2）與平面所成角的正切值；（3）平面與平面所成角解：（1） 與所成角就是平面 （三垂線定理）在中， （2）作，平面平面平面，為與平面所成角在中， （3） 平面又平面 平面平面即平面與平面所成角為7已知正方體的棱長為，是的中點，是對角線的中點，（1）求證：是異面直線和的公垂線；（2）求異面直線和的距離解：（1）解法一：延長交于，則為的中點， ，連結(jié)，則，又是的中點，是異面直線和的公垂線（2）由（1）知，解法二：建立空間直角坐標系，用坐標運算證明（略）引申：求與間的距離解法一：（轉(zhuǎn)化為到過且與平行的平面的距離）連結(jié)，則/，/平面，連，可證得，平面，平面平面，且兩平面的交線為，過作，垂足為，則即為與平面的距離，也即與間的距離，在中，（解法二）：坐標法：以為原點，所在的直線分別為軸，軸、軸建立空間直角坐標系，則，由（解法一）求點到平面的距離，設(shè)，在平面上，即，解得：，解法三：直接求與間的距離設(shè)與的公垂線為，且，設(shè)，設(shè)，則，同理，解得：，