2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 常用邏輯用語章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版選修2-1

第1章 常用邏輯用語 充分條件、必要條件與充要條件的探究 【例1】　已知p：－2<m<0,0<n<1；q：關(guān)于x的方程x2＋mx＋n＝0有兩個小于1的正根．試分析p是q的什么條件． [解]　若關(guān)于x的方程x2＋mx＋n＝0有兩個小于1的正根，設(shè)為x1，x2，則0＜x1＜1,0＜x2＜1， 有0＜x1＋x2＜2且0＜x1x2＜1. 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得 即－2＜m＜0,0＜n＜1，故有q?p. 反之，取m＝－，n＝，那么方程變?yōu)閤2－x＋＝0，則Δ＝－4×＜0，此時方程x2＋mx＋n＝0無實根，所以pq. 綜上所述，p是q的必要不充分條件． 對于充分條件、必要條件與充分必要條件的判定，實際上是對命題真假的判定，記“若p，則q”為真命題，記為“p?q”，“若p，則q”為假命題，記為“pq”. 提醒：充分條件、必要條件與充要條件的探究，需要從兩個方面加以論證，切勿漏掉其中一個方面. 1．已知p：{x|－2≤x≤10}，q：{x|x2－2x＋1－m2≤0，m＞0}，若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍． [解]　法一：令A(yù)＝{x|－2≤x≤10}， B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m＞0} ＝{x|[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0，m＞0} ＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}． ∵p是q的充分不必要條件，∴AB. ∴或解得m≥9. 故實數(shù)m的取值范圍是{m|m≥9}． 法二：∵p是q的充分不必要條件，∴綈p是綈q的必要不充分條件． 由法一知p：A＝{x|－2≤x≤10}，q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}， ∴綈p：C＝{x|x＜－2或x＞10}，綈q：D＝{x|x＜1－m或x＞1＋m，m＞0}． ∴DC，∴或 解得m≥9.故實數(shù)m的取值范圍是{m|m≥9}． 命題的否定與否命題 【例2】　寫出下列命題的否定和否命題： (1)若x＝2或x＝－1，則x2－x－2＝0； (2)若集合B真包含于集合A，則集合A包含于集合B. [解]　(1)命題的否定：若x＝2或x＝－1，則x2－x－2≠0. 否命題：若x≠2且x≠－1，則x2－x－2≠0. (2)命題的否定：若集合B真包含于集合A，則集合A不包含于集合B. 否命題：若集合B不真包含于集合A，則集合A不包含于集合B. 命題的否定與否命題的區(qū)別 (1)定義,命題的否定一般是直接對命題的結(jié)論進(jìn)行否定，而否命題是對原命題的條件和結(jié)論分別否定組成的命題. (2)構(gòu)成形式,對于“若p，則q”形式的命題，其命題的否定為“若p，則綈q”，而其否命題的形式為“若綈p，則綈q” (3)與原命題的真假關(guān)系,命題的否定與原命題的真假性總是相對的，即一真一假，而否命題與原命題的真假性無必然聯(lián)系. 2．請寫出下列命題的否命題和命題的否定． (1)若|x|＋|y|＝0，則x＝y(tǒng)＝0； (2)若△ABC是等腰三角形，則它有兩個內(nèi)角相等； (3)若x2－3x－4≤0，則－1≤x≤4. [解]　(1)否命題：若|x|＋|y|≠0，則x，y中至少有一個不為0； 命題的否定：若|x|＋|y|＝0，則x，y中至少有一個不為0. (2)否命題：若△ABC不是等腰三角形，則它的任意兩個內(nèi)角都不相等； 命題的否定：若△ABC是等腰三角形，則它的任意兩個內(nèi)角都不相等． (3)否命題：若x2－3x－4>0，則x<－1或x>4； 命題的否定：若x2－3x－4≤0，則x<－1或x>4. 等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 【例3】　已知c>0，設(shè)p：函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減；q：不等式x＋|x－2c|>1的解集為R.如果p和q有且僅有一個為真命題，求c的取值范圍． [解]　函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減?0＜c＜1. 不等式x＋|x－2c|>1的解集為R?函數(shù)y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1. ∵x＋|x－2c|＝ 函數(shù)y＝x＋|x－2c|在R上的最小值為2c，∴2c＞1，得c＞. 如果p真q假，則 解得0<c≤； 如果q真p假，則解得c≥1. ∴c的取值范圍為∪[1，＋∞)． 等價轉(zhuǎn)化思想是包含在化歸思想中的一種比較具體的數(shù)學(xué)思想，本章主要體現(xiàn)在四種命題間的相互轉(zhuǎn)化與集合之間的等價轉(zhuǎn)化、原命題與其逆否命題之間的等價轉(zhuǎn)化等，即以充要條件為基礎(chǔ)，把同一種數(shù)學(xué)意義的內(nèi)容從一種數(shù)學(xué)語言形式等價轉(zhuǎn)化為另一種數(shù)學(xué)語言形式，從而使復(fù)雜問題簡單化、具體化. 3．已知命題p：(x＋1)(x－5)≤0，命題q：1－m≤x<1＋m(m>0)． (1)若p是q的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍； (2)若m＝5，“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實數(shù)x的取值范圍． [解]　(1)由命題p：(x＋1)(x－5)≤0，解得－1≤x≤5. 命題q：1－m≤x＜1＋m(m>0)． ∵p是q的充分條件， ∴[－1,5]?[1－m,1＋m)， ∴解得m＞4， 則實數(shù)m的取值范圍為(4，＋∞)． (2)∵m＝5，∴命題q：－4≤x<6. ∵“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題， ∴命題p，q為一真一假． 當(dāng)p真q假時，可得 解得x∈?. 當(dāng)q真p假時，可得 解得－4≤x<－1或5<x<6. 因此x的取值范圍是[－4，－1)∪(5,6). 分類討論思想的應(yīng)用 【例4】　已知關(guān)于x的方程(m∈Z)： mx2－4x＋4＝0，① x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，② 求方程①和②的根都是整數(shù)的充要條件． [解]　當(dāng)m＝0時，方程①的根為x＝1， 方程②化為x2－5＝0，無整數(shù)根，∴m≠0. 當(dāng)m≠0時，方程①有實數(shù)根的充要條件是Δ＝16－4×4m≥0?m≤1； 方程②有實數(shù)根的充要條件是 Δ＝16m2－4(4m2－4m－5)≥0?m≥－. ∴－≤m≤1.又∵m∈Z，∴m＝－1或m＝1. 當(dāng)m＝－1時，方程①為x2＋4x－4＝0， 無整數(shù)根； 當(dāng)m＝1時，方程①為x2－4x＋4＝0， 方程②為x2－4x－5＝0. 此時①和②均有整數(shù)根． 綜上，方程①和②均有整數(shù)根的充要條件是m＝1. 分類討論思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想之一，利用分類討論思想解答問題已成為高考中考查學(xué)生知識和能力的熱點.解題中要找清討論的標(biāo)準(zhǔn). 4．已知p：≥2；q：x2－ax≤x－a.若綈p是綈q的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍． [解]　∵p：≥2， ∴≤0，即1≤x＜3. 又∵q：x2－ax≤x－a， ∴x2－(a＋1)x＋a≤0. ①當(dāng)a＜1時，a≤x≤1； ②當(dāng)a＝1時，x＝1； ③當(dāng)a＞1時，1≤x≤a. 設(shè)q對應(yīng)的集合為A，p對應(yīng)的集合為B， ∵綈p是綈q的充分條件． ∴?RB??RA，即A?B. 當(dāng)a＜1時，AB，不合題意； 當(dāng)a＝1時，A?B，符合題意； 當(dāng)a＞1時，1≤x≤a，要使A?B，則1＜a＜3. 綜上，符合條件的a∈[1,3)． - 6 -