2022年高三數(shù)學一輪總復習 專題五 導數(shù)及其應用（含解析）

2022年高三數(shù)學一輪總復習 專題五 導數(shù)及其應用（含解析）抓住5個高考重點重點 1 導數(shù)的幾何意義與運算1.常見函數(shù)的導數(shù)（1）（為常數(shù)） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）2.可導函數(shù)四則運算的求導法則（1） （2） （3）（4）3.導數(shù)的幾何意義4.已知切線的斜率，求切線方程高考?？冀嵌冉嵌? 曲線在點處的切線與軸交點的縱坐標是（ C ）A. B. C. D. 解析：，故切線方程為，令，則角度2在平面直角坐標系中，已知點是函數(shù)的圖象上的動點，該圖象在處的切線交軸于點，過點作的垂線交軸于點，設線段的中點的縱坐標為，則的最大值是_解析：設則，過點作的垂線，所以，t在上單調增，在單調減，.角度3已知函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足則（ B ）A. B. C. D. 解析：由已知，令，得角度4函數(shù)的圖象在點處的切線與軸交點的橫坐標為為正整數(shù)，則的值為_解析：考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項.在點處的切線方程為：當時，解得，所以.重點 2 定積分與微積分基本定理（理）1.定積分的性質（1） （2）（3）其中2.微積分基本定理：一般地，如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么 高考?？冀嵌冉嵌? 的值為（ C ）A. B. C. D. 解析： ，故選C角度2由曲線，直線及軸所圍成的圖形的面積為（ C ）A. B. 4 C. D. 6解析：由，所求面積為，故選C角度3 從如圖所示的長方形區(qū)域內任取一個點，則點取自陰影部分的概率為（ B ）A. B. C. D. 解析：，故點取自陰影部分的概率為重點 3 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性高考?？冀嵌冉嵌? 函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（ D ）A. B. C. D. 解析：由由，故選D角度2設函數(shù)（）求的單調區(qū)間；（）求所有實數(shù)，使對恒成立.注：為自然對數(shù)的底數(shù).解析：本題主要考查函數(shù)的單調性、導數(shù)運算法則、導數(shù)應用等基礎知識，同時考查抽象概括、推理能力.（）解：因為，其中， 所以 由又 由所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為（）證明：由題意得， ，即 由（）知在內單調遞增 要使對恒成立， 只要 即 角度3（xx全國新課程）已知函數(shù).（）設是的極值點，求,并討論的單調性；解析：（）由得，由于，所以令，所以在為增函數(shù)，且(所以必須分類為和討論)當時，當時，,所以在上單調遞減，在單調遞增.重點 4 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值 高考?？冀嵌冉嵌?設函數(shù)，若為函數(shù)的一個極值點，則下列圖象不可能為的圖象是（ D ） A. B. C. D. 解析：設，又為的一個極值點，即， 對于選項A、B，函數(shù)為故為函數(shù)的一個極值點，滿足條件； 對于選項C，對稱軸且開口向下，也滿足條件；對于選項D，對稱軸且開口向上，與圖矛盾，故選D角度2設直線與函數(shù)的圖象分別交于點，則當達到最小時的值為（ D ）A1 B C D解析：由題，不妨令，則，令解得，因時，當時，所以當時，達到最小.即.故選擇D角度3設（1） 若在上存在單調遞增區(qū)間，求的取值范圍；（2） 當時，在上的最小值為，求在該區(qū)間上的最大值. 解：（1）已知，當時，的最大值為，令因此時，函數(shù)在上存在單調遞增區(qū)間，（2）令所以在和上單調遞減，在上單調遞增 當時，有，所以在區(qū)間上的最大值為 又 所以在上的最小值為 從而在區(qū)間上的最大值為角度4設，其中為正實數(shù)（）當時，求的極值點；（）若為上的單調函數(shù)，求的取值范圍.點評：本題考查導數(shù)的運算，極值點的判斷，導數(shù)符號與函數(shù)單調變化之間的關系，求解二次不等式，考查運算能力，綜合運用知識分析和解決問題的能力.解：對求導得 （）當，若則解得、隨的變化如下圖+00+極大值極小值所以，是極小值點，是極大值點.（）若為R上的單調函數(shù)，則在R上不變號，結合與條件，知在R上恒成立，因此由此并結合，知 故的取值范圍為重點 5 導數(shù)在研究不等式中的應用高考?？冀嵌冉嵌?已知函數(shù) （）討論的單調性； （）設，證明：當時，；解：（）的定義域為 （i）若則在單調遞增 （ii）若則由得且當時，當時，所以單調遞增，在單調遞減 （）設函數(shù)則當時，而故當時， 角度2設（為常數(shù)），曲線與直線在相切.（1）求的值； （2）證明：當時，點評：本題主要考查函數(shù)的切線及恒成立問題，考查運算求解能力，是難題.解析：（1）由的圖象過點，代入得 由在處的切線斜率為，得由在處的切線斜率為，有，得 （2）（證法一）由均值不等式，當時，故 記則，令，則當時，因此在內是減函數(shù)，又由，得，所以因此在內是減函數(shù)，又由，得，于是當時， 突破3個高考難點難點1 利用導數(shù)研究多元不等式問題典例 已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上為單調遞增函數(shù)，求的取值范圍；（2）設且，求證：解析：（1）由已知 因為在上單調遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立 當時，由得 設，則，當且僅當時，即時取等號 （2）由于交換不影響不等式結構，故可設，原不等式等價于，即， 即設，由（1）可知函數(shù)在上單調遞增，又， 成立， 即難點2 利用導數(shù)研究數(shù)列問題典例 已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，且其中. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）令記數(shù)列的前項積為其中，試比較與的大小，并加以證明.解析：（1）由得 所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列 由，故數(shù)列的通項公式為（2），證明如下：構造函數(shù),則，故在上遞減所以，故，所以設則，相減得故 難點3 利用導數(shù)研究方程根的問題典例 已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調區(qū)間； （）若函數(shù)在區(qū)間內恰有兩個零點，求的取值范圍.解析：() 由或，由 所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為() 由()可知，函數(shù)在內單調遞增，在內單調遞減 若函數(shù)在區(qū)間內恰有兩個零點，則有，故的取值范圍為點評：利用導數(shù)解決方程根的問題，會涉及到三個根、兩個根、一個根的情況，具體的等價關系需要通過數(shù)形結合進行有效分析，找出合適的控制條件.規(guī)避5個易失分點易失分點1 導數(shù)的幾何意義不明典例 已知函數(shù)和點，過點作曲線的兩條切線，切點分別為（1）求證：為關于的方程的兩根（2）設求的表達式.解析：（1）由已知，切線方程為，又切線過點， 同理，切線也過點，可得 由可得為關于的方程 （*） 的兩根（2）由（*）式知 易失分點2 導數(shù)符號與函數(shù)的單調性關系理解不透徹典例 已知函數(shù)（1）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的極值點，求在的最小值和最大值.解析：（1）由已知，令記，當時，是增函數(shù)，故實數(shù)的取值范圍是（2）由題意，由或；由又，故在上遞增，在上遞減， 時，有極小值于是 時，,而易失分點3 導數(shù)符號與極值關系理解不透徹典例 已知函數(shù)在處有極值，求的值.解析：由已知，由題意得且，即且，解之得或（點評：有些人以為到此就已經解決問題了，其實不然，還需要作出判斷予以確認.） 當時，在附近兩側的符號相反 所以滿足題意 當時，在附近兩側的符號相同 所以不滿足題意，舍去. 綜上，易失分點4 導數(shù)符號與極值關系理解不透徹典例 已知函數(shù) 在上為單調函數(shù)，求的取值范圍解析：由已知， 若在上單調遞增，則在上恒成立，即恒成立令，可得，故若在上單調遞減，則在上恒成立，即恒成立令，可得，故綜上可知，的取值范圍是易失分點5 定積分與平面圖形面積關系理解不透徹（理）典例 如圖，直線分拋物線與軸所圍圖形為面積相等的兩部分，則_解析：由已知，拋物線與軸的兩個交點的橫坐標為， 所以拋物線與軸圍成的面積為設拋物線與直線交點的橫坐標分別為，則，所以 ，又，