2022年高三數(shù)學大一輪復(fù)習 4.4函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用教案 理 新人教A版

2022年高三數(shù)學大一輪復(fù)習 4.4函數(shù)yAsin(x)的圖象及應(yīng)用教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考1.考查函數(shù)yAsin(x)的圖象變換；2.結(jié)合三角恒等變換考查yAsin(x)的性質(zhì)和應(yīng)用；3.考查給出圖象的解析式復(fù)習備考要這樣做1.掌握“五點法”作圖，抓住函數(shù)yAsin(x)的圖象的特征；2.理解三種圖象變換，從整體思想和數(shù)形結(jié)合思想確定函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)1 用五點法畫yAsin(x)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個特征點如下表所示.xx02yAsin(x)0A0A02. 函數(shù)ysin x的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)Asin(x)的圖象的步驟如下：3 圖象的對稱性函數(shù)yAsin(x) (A>0，>0)的圖象是軸對稱也是中心對稱圖形，具體如下：(1)函數(shù)yAsin(x)的圖象關(guān)于直線xxk(其中xkk，kZ)成軸對稱圖形(2)函數(shù)yAsin(x)的圖象關(guān)于點(xk,0)(其中xkk，kZ)成中心對稱圖形難點正本疑點清源1 作圖時應(yīng)注意的兩點(1)作函數(shù)的圖象時，首先要確定函數(shù)的定義域(2)對于具有周期性的函數(shù)，應(yīng)先求出周期，作圖象時只要作出一個周期的圖象，就可根據(jù)周期性作出整個函數(shù)的圖象2 圖象變換的兩種方法的區(qū)別由ysin x的圖象，利用圖象變換作函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0) (xR)的圖象，要特別注意：當周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象沿x軸的伸縮量的區(qū)別先平移變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|個單位，而先周期變換(伸縮變換)再平移變換，平移的量是個單位1 已知簡諧運動f(x)2sin (|<)的圖象經(jīng)過點(0,1)，則該簡諧運動的最小正周期T和初相分別為_答案6，解析由題意知12sin ，得sin ，又|<，得；而此函數(shù)的最小正周期為T2÷6.2 (xx·浙江)把函數(shù)ycos 2x1的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，然后向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的圖象是 ()答案A解析ycos 2x1ycos x1ycos(x1)1ycos(x1)結(jié)合選項可知應(yīng)選A.3 (xx·大綱全國)設(shè)函數(shù)f(x)cos x (>0)，將yf(x)的圖象向右平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，則的最小值等于 ()A. B3 C6 D9答案C解析由題意可知，nT (nN*)，n· (nN*)，6n (nN*)，當n1時，取得最小值6.4 把函數(shù)ysin的圖象向右平移個單位，再把所得函數(shù)圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，所得的函數(shù)解析式為()Aysin BysinCysin Dysin答案D解析將原函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)ysinsin的圖象；再把所得函數(shù)圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，得到函數(shù)ysin的圖象5. 已知簡諧運動f(x)Asin(x) (|<)的部分圖象如圖所示，則該簡諧運動的最小正周期T和初相分別為()AT6， BT6，CT6， DT6，答案C解析由圖象易知A2，T6，又圖象過(1,2)點，sin1，2k，kZ，又|<，.題型一函數(shù)yAsin(x)的圖象及變換例1已知函數(shù)y2sin，(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五點法”作出它在一個周期內(nèi)的圖象；(3)說明y2sin的圖象可由ysin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到思維啟迪：(1)由振幅、周期、初相的定義即可解決(2)五點法作圖，關(guān)鍵是找出與x相對應(yīng)的五個點(3)只要看清由誰變換得到誰即可解(1)y2sin的振幅A2，周期T，初相.(2)令X2x，則y2sin2sin X.列表，并描點畫出圖象：xX02ysin X01010y2sin02020(3)方法一把ysin x的圖象上所有的點向左平移個單位，得到y(tǒng)sin的圖象，再把ysin的圖象上的點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，得到y(tǒng)sin的圖象，最后把ysin上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，即可得到y(tǒng)2sin的圖象方法二將ysin x的圖象上每一點的橫坐標x縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到y(tǒng)sin 2x的圖象；再將ysin 2x的圖象向左平移個單位，得到y(tǒng)sin 2sin的圖象；再將ysin的圖象上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長為原來的2倍，得到y(tǒng)2sin的圖象探究提高(1)作三角函數(shù)圖象的基本方法就是五點法，此法注意在作出一個周期上的簡圖后，應(yīng)向兩端伸展一下，以示整個定義域上的圖象；(2)變換法作圖象的關(guān)鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，對于后者可利用x來確定平移單位已知函數(shù)f(x)3sin，xR.(1)畫出函數(shù)f(x)在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖；(2)將函數(shù)ysin x的圖象作怎樣的變換可得到f(x)的圖象？解(1)列表取值：xx02f(x)03030描出五個關(guān)鍵點并用光滑曲線連接，得到一個周期的簡圖(2)先把ysin x的圖象向右平移個單位，然后把所有的點的橫坐標擴大為原來的2倍，再把所有點的縱坐標擴大為原來的3倍，得到f(x)的圖象題型二求函數(shù)yAsin(x)的解析式例2(1)(xx·江蘇) 已知f(x)Asin(x) (A，為常數(shù)，A>0，>0)的部分圖象如圖所示，則f(0)的值是_(2)(xx·遼寧)已知函數(shù)f(x)Atan(x)(>0，|<)，yf(x)的部分圖象如圖所示，則f()等于 ()A2 B.C. D2思維啟迪：(1)由平衡點和相鄰最低點間的相對位置確定周期；根據(jù)待定系數(shù)法求.(2)將“x”看作一個整體放在一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)求解答案(1)(2)B解析(1)由題圖知A，T，2.2×2k，kZ，2k(kZ)令k0，得.函數(shù)解析式為f(x)sin，f(0)sin .(2)由圖形知，T2()，2.由2×k，kZ，得k，kZ.又|，.由Atan(2×0)1，知A1，f(x)tan(2x)，f()tan(2×)tan.探究提高根據(jù)yAsin(x)k的圖象求其解析式的問題，主要從以下四個方面來考慮：A的確定：根據(jù)圖象的最高點和最低點，即A；k的確定：根據(jù)圖象的最高點和最低點，即k；的確定：結(jié)合圖象，先求出周期T，然后由T (>0)來確定；的確定：由函數(shù)yAsin(x)k最開始與x軸的交點(最靠近原點)的橫坐標為(即令x0，x)確定. 已知函數(shù)f(x)Asin(x) (A>0，|<，>0)的圖象的一部分如圖所示，則該函數(shù)的解析式為_答案f(x)2sin解析觀察圖象可知：A2且點(0,1)在圖象上，12sin(·0)，即sin .|<，.又是函數(shù)的一個零點，且是圖象遞增穿過x軸形成的零點，2，2.f(x)2sin.題型三三角函數(shù)模型的應(yīng)用例3如圖為一個纜車示意圖，該纜車半徑為4.8米，圓上最低點與地面的距離為0.8米，且每60秒轉(zhuǎn)動一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時針轉(zhuǎn)動角到OB，設(shè)B點與地面間的距離為h.(1)求h與間的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動，經(jīng)過t秒到達OB，求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求該纜車首次到達最高點時所用的時間解(1)過點O作地面的平行線ON，過點B作ON的垂線BM交ON于點M(如圖)，當>時，BOM，hOABM0.85.64.8sin.當0時，上式也成立h與間的函數(shù)關(guān)系式為h5.64.8sin.(2)點A在圓上轉(zhuǎn)動的角速度是弧度/秒，t秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為t，h5.64.8sin，t0，)首次到達最高點時，h10.4米，即sin1，t，即t30秒時，該纜車首次到達最高點探究提高本題屬三角函數(shù)模型的應(yīng)用，通常的解決方法：轉(zhuǎn)化為ysin x，ycos x等函數(shù)解決圖象、最值、單調(diào)性等問題，體現(xiàn)了化歸的思想方法；用三角函數(shù)模型解決實際問題主要有兩種：一種是用已知的模型去分析解決實際問題，另一種是需要建立精確的或者數(shù)據(jù)擬合的模型去解決問題，尤其是利用數(shù)據(jù)建立擬合函數(shù)解決實際問題，充分體現(xiàn)了新課標中“數(shù)學建?！钡谋举|(zhì) 如圖所示，某地夏天從814時用電量變化曲線近似滿足函數(shù)yAsin(x)b，(0，)(1)求這一天的最大用電量及最小用電量；(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式解(1)最大用電量為50萬度，最小用電量為30萬度(2)觀察圖象，可知從814時的圖象是yAsin(x)b的半個周期的圖象A×(5030)10，b×(5030)40.148·，y10sin40.將x8，y30代入上式，解得，所求解析式為y10sin40，x8,14利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解析式典例：(12分)如圖為yAsin(x)的圖象的一段(1)求其解析式；(2)若將yAsin(x)的圖象向左平移個單位長度后得yf(x)，求f(x)的對稱軸方程審題視角(1)圖象是yAsin(x)的圖象(2)根據(jù)“五點法”作圖的原則，M可以看作第一個零點；可以看作第二個零點規(guī)范解答解(1)由圖象知A，以M為第一個零點，N為第二個零點2分列方程組解之得4分所求解析式為ysin.6分(2)f(x)sinsin，8分令2xk(kZ)，則x (kZ)，10分f(x)的對稱軸方程為x (kZ)12分答題模板第一步：根據(jù)圖象確定第一個平衡點、第二個平衡點或最高點、最低點第二步：將“x”作為一個整體，找到對應(yīng)的值第三步：列方程組求解第四步：寫出所求的函數(shù)解析式第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點、易錯點及答題規(guī)范溫馨提醒(1)求函數(shù)解析式要找準圖象中的“五點”，利用方程求解，；(2)討論性質(zhì)時將x視為一個整體方法與技巧1 五點法作函數(shù)圖象及函數(shù)圖象變換問題(1)當明確了函數(shù)圖象基本特征后，“描點法”是作函數(shù)圖象的快捷方式運用“五點法”作正、余弦型函數(shù)圖象時，應(yīng)取好五個特殊點，并注意曲線的凹凸方向(2)在進行三角函數(shù)圖象變換時，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也經(jīng)常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握，無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角”變化多少2 由圖象確定函數(shù)解析式由函數(shù)yAsin(x)的圖象確定A、的題型，常常以“五點法”中的第一個零點作為突破口，要從圖象的升降情況找準第一個零點的位置要善于抓住特殊量和特殊點3 對稱問題函數(shù)yAsin(x)的圖象與x軸的每一個交點均為其對稱中心，經(jīng)過該圖象上坐標為(x，±A)的點與x軸垂直的每一條直線均為其圖象的對稱軸，這樣的最近兩點間橫坐標的差的絕對值是半個周期(或兩個相鄰平衡點間的距離)失誤與防范1 由函數(shù)ysin x(xR)的圖象經(jīng)過變換得到函數(shù)yAsin(x)的圖象，在具體問題中，可先平移變換后伸縮變換，也可以先伸縮變換后平移變換，但要注意：先伸縮，后平移時要把x前面的系數(shù)提取出來2 函數(shù)yAsin(x)的圖象和性質(zhì)是本節(jié)考查的重點，也是高考熱點，復(fù)習時盡可能使用數(shù)形結(jié)合的思想方法，如求解對稱軸、對稱中心和單調(diào)區(qū)間等3 注意復(fù)合形式的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0)的單調(diào)區(qū)間的確定，基本思想是把x看做一個整體在單調(diào)性應(yīng)用方面，比較大小是一類常見的題目，依據(jù)是同一區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性A組專項基礎(chǔ)訓練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 將函數(shù)ysin x的圖象向左平移 (0<2)個單位后，得到函數(shù)ysin的圖象，則等于()A. B. C. D.答案D解析將函數(shù)ysin x向左平移(0<2)個單位得到函數(shù)ysin(x)只有時有ysinsin.2 (xx·課標全國)已知>0，函數(shù)f(x)sin在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是()A. B.C. D(0,2答案A解析取，f(x)sin，其減區(qū)間為，kZ，顯然，kZ，排除B，C.取2，f(x)sin，其減區(qū)間為，kZ，顯然，kZ，排除D.3 將函數(shù)ysin(x)的圖象F向左平移個單位長度后得到圖象F，若F的一個對稱中心為，則的一個可能取值是 ()A. B. C. D.答案D解析圖象F對應(yīng)的函數(shù)ysin，則k，kZ，即k，kZ，令k1時，故選D.4 若函數(shù)f(x)2sin(x)，xR(其中>0，|<)的最小正周期是，且f(0)，則()A， B，C2， D2，答案D解析T，2.又2sin ，|<，.二、填空題(每小題5分，共15分)5 函數(shù)yAsin(x) (A，為常數(shù)，A>0，>0)在閉區(qū)間，0上的圖象如圖所示，則_.答案3解析由圖象可以看出T，T，因此3.6 已知f(x)sin (>0)，ff，且f(x)在區(qū)間上有最小值，無最大值，則_.答案解析依題意，x時，y有最小值，sin1，2k (kZ)8k (kZ)，因為f(x)在區(qū)間上有最小值，無最大值，所以<，即<12，令k0，得.7 設(shè)函數(shù)f(x)sin xcos x，若0x2 011，則函數(shù)f(x)的各極值之和為_答案解析f(x)cos xsin xsin，令f(x)0，得xk (kZ)，f(x)sin，fsinsin·cos k，當k為奇數(shù)時，函數(shù)取得極大值；當k為偶數(shù)時，函數(shù)取得極小值，0x2 011，k，此函數(shù)在此區(qū)間上各極值的和為.三、解答題(共22分)8 (10分)(xx·陜西)函數(shù)f(x)Asin1(A>0，>0)的最大值為3，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)設(shè)，f2，求的值解(1)函數(shù)f(x)的最大值為3，A13，即A2.函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，最小正周期T，2，函數(shù)f(x)的解析式為y2sin1.(2)f2sin12，sin.0<<，<<，.9 (12分)已知函數(shù)f(x)2sincossin(x)(1)求f(x)的最小正周期；(2)若將f(x)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間0，上的最大值和最小值解(1)因為f(x)sinsin xcos xsin x22sin，所以f(x)的最小正周期為2.(2)將f(x)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，g(x)f2sin2sin.x0，x，當x，即x時，sin1，g(x)取得最大值2.當x，即x時，sin，g(x)取得最小值1.B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 函數(shù)ysin 2x的圖象向右平移 (>0)個單位，得到的圖象恰好關(guān)于x對稱，則的最小值為 ()A. B. C. D以上都不對答案A解析ysin 2x的圖象向右平移個單位得到y(tǒng)sin 2(x)的圖象，又關(guān)于x對稱，則2k (kZ)，2k (kZ)，取k1，得.2 設(shè)>0，函數(shù)ysin(x)2的圖象向右平移個單位后與原圖象重合，則的最小值是 ()A. B. C. D3答案C解析由函數(shù)向右平移個單位后與原圖象重合，得是此函數(shù)周期的整數(shù)倍又>0，·k，k(kZ)，min.3. 電流強度I(安)隨時間t(秒)變化的函數(shù)IAsin(t)(A>0，>0,0<<)的圖象如右圖所示，則當t秒時，電流強度是()A5安 B5安 C5安 D10安答案A解析由圖象知A10，100.I10sin(100t)為五點中的第二個點，100×.I10sin，當t秒時，I5安二、填空題(每小題5分，共15分)4 若f(x)2sin(x)m對任意實數(shù)t都有ff，且f3，則實數(shù)m的值等于_答案1或5解析依題意得，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x對稱，于是當x時，函數(shù)f(x)取得最值，因此有±2m3，解得m5或m1.5 已知函數(shù)f(x)sin(x) (>0，)的圖象上的兩個相鄰的最高點和最低點的距離為2，且過點，則函數(shù)解析式f(x)_.答案sin解析據(jù)已知兩個相鄰最高及最低點距離為2，可得2，解得T4，故，即f(x)sin，又函數(shù)圖象過點，故f(2)sin()sin ，又，解得，故f(x)sin.6 某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)yaAcos (x1,2,3，12，A>0)來表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28，12月份的月平均氣溫最低，為18，則10月份的平均氣溫值為_.答案20.5解析由題意得y235cos，x10時，y235×20.5.三、解答題7 (13分)(xx·湖南)已知函數(shù)f(x)Asin(x)(xR，>0,0<<)的部分圖象如圖所示(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)g(x)ff的單調(diào)遞增區(qū)間解(1)由題設(shè)圖象知，周期T2，所以2.因為點在函數(shù)圖象上，所以Asin0，即sin0.又因為0<<，所以<<.從而，即.又點(0,1)在函數(shù)圖象上，所以Asin 1，解得A2.故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)2sin.(2)g(x)2sin2sin2sin 2x2sin2sin 2x2sin 2xcos 2x2sin.由2k2x2k，得kxk，kZ.所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，kZ.