2022年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第38講 導數(shù)、定積分教案 新人教版

2022年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第38講 導數(shù)、定積分教案 新人教版 一．課標要求： 1．導數(shù)及其應用 （1）導數(shù)概念及其幾何意義 ① 通過對大量實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數(shù)，體會導數(shù)的思想及其內涵； ②通過函數(shù)圖像直觀地理解導數(shù)的幾何意義。 （2）導數(shù)的運算 ① 能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的導數(shù)； ② 能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單的復合函數(shù)（僅限于形如f（ax+b））的導數(shù)； ③ 會使用導數(shù)公式表。 （3）導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 ① 結合實例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調區(qū)間； ② 結合函數(shù)的圖像，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)最大值、最小值；體會導數(shù)方法在研究函數(shù)性質中的一般性和有效性。 （4）生活中的優(yōu)化問題舉例 例如，使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導數(shù)在解決實際問題中的作用。 （5）定積分與微積分基本定理 ① 通過實例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問題情境中了解定積分的實際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念； ② 通過實例（如變速運動物體在某段時間內的速度與路程的關系），直觀了解微積分基本定理的含義。 （6）數(shù)學文化 收集有關微積分創(chuàng)立的時代背景和有關人物的資料，并進行交流；體會微積分的建立在人類文化發(fā)展中的意義和價值。具體要求見本《標準》中"數(shù)學文化"的要求。 二．命題走向 導數(shù)是高中數(shù)學中重要的內容，是解決實際問題的強有力的數(shù)學工具，運用導數(shù)的有關知識，研究函數(shù)的性質：單調性、極值和最值是高考的熱點問題。在高考中考察形式多種多樣，以選擇題、填空題等主觀題目的形式考察基本概念、運算及導數(shù)的應用，也經常以解答題形式和其它數(shù)學知識結合起來，綜合考察利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、最值，估計xx年高考繼續(xù)以上面的幾種形式考察不會有大的變化： （1）考查形式為：選擇題、填空題、解答題各種題型都會考察，選擇題、填空題一般難度不大，屬于高考題中的中低檔題，解答題有一定難度，一般與函數(shù)及解析幾何結合，屬于高考的中低檔題； （2）07年高考可能涉及導數(shù)綜合題，以導數(shù)為數(shù)學工具考察：導數(shù)的物理意義及幾何意義，復合函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識。 定積分是新課標教材新增的內容，主要包括定積分的概念、微積分基本定理、定積分的簡單應用，由于定積分在實際問題中非常廣泛，因而07年的高考預測會在這方面考察，預測07年高考呈現(xiàn)以下幾個特點： （1）新課標第1年考察，難度不會很大，注意基本概念、基本性質、基本公式的考察及簡單的應用；高考中本講的題目一般為選擇題、填空題，考查定積分的基本概念及簡單運算，屬于中低檔題； （2）定積分的應用主要是計算面積，諸如計算曲邊梯形的面積、變速直線運動等實際問題要很好的轉化為數(shù)學模型。 三．要點精講 1．導數(shù)的概念 函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x處有增量，那么函數(shù)y相應地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函數(shù)y=f（x）在x到x+之間的平均變化率，即=。 如果當時，有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點x處可導，并把這個極限叫做f（x）在點x處的導數(shù)，記作f’（x）或y’|。 即f（x）==。 說明： （1）函數(shù)f（x）在點x處可導，是指時，有極限。如果不存在極限，就說函數(shù)在點x處不可導，或說無導數(shù)。 （2）是自變量x在x處的改變量，時，而是函數(shù)值的改變量，可以是零。 由導數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=f（x）在點x處的導數(shù)的步驟（可由學生來歸納）： （1）求函數(shù)的增量=f（x+）－f（x）； （2）求平均變化率=； （3）取極限，得導數(shù)f’(x)=。 2．導數(shù)的幾何意義 函數(shù)y=f（x）在點x處的導數(shù)的幾何意義是曲線y=f（x）在點p（x，f（x））　　處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點p（x，f（x））處的切線的斜率是f’（x）。相應地，切線方程為y－y=f/（x）（x－x）。 3．常見函數(shù)的導出公式． ?。ǎ保–為常數(shù)）　　　?。ǎ玻? ?。ǎ常　　　　　　。ǎ矗? 4．兩個函數(shù)的和、差、積的求導法則 法則1：兩個函數(shù)的和(或差)的導數(shù),等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(或差)， 即： ( 法則2：兩個函數(shù)的積的導數(shù),等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘以第二個函數(shù),加上第一個 函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導數(shù)，即： 若C為常數(shù),則.即常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導數(shù)： 法則3兩個函數(shù)的商的導數(shù)，等于分子的導數(shù)與分母的積，減去分母的導數(shù)與分子的積，再除以分母的平方：‘=（v0）。 形如y=f的函數(shù)稱為復合函數(shù)。復合函數(shù)求導步驟：分解——求導——回代。法則：y＇|= y＇| ·u＇| 5．導數(shù)的應用 （1）一般地，設函數(shù)在某個區(qū)間可導，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內恒有，則為常數(shù)； （2）曲線在極值點處切線的斜率為0，極值點處的導數(shù)為0；曲線在極大值點左側切線的斜率為正，右側為負；曲線在極小值點左側切線的斜率為負，右側為正； （3）一般地，在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f在[a，b]上必有最大值與最小值。①求函數(shù)?在(a，b)內的極值； ②求函數(shù)?在區(qū)間端點的值?(a)、?(b)； ③將函數(shù)? 的各極值與?(a)、?(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 6．定積分 （1）概念 設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…xn＝b把區(qū)間[a，b]等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間[xi－1，xi]上取任一點ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝(ξi)△x（其中△x為小區(qū)間長度），把n→∞即△x→0時，和式In的極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作：，即＝(ξi)△x。 這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a，b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式。 基本的積分公式：＝C；＝＋C（m∈Q， m≠－1）；dx＝ln＋C；＝＋C；＝＋C；＝sinx＋C；＝－cosx＋C（表中C均為常數(shù)）。 （2）定積分的性質 ①（k為常數(shù)）； ②； ③（其中a＜c＜b。 （3）定積分求曲邊梯形面積 由三條直線x＝a，x＝b（a<b），x軸及一條曲線y＝f（x）(f(x)≥0)圍成的曲邊梯的面積。 如果圖形由曲線y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨設f1(x)≥f2(x)≥0），及直線x＝a，x＝b（a<b）圍成，那么所求圖形的面積S＝S曲邊梯形AMNB－S曲邊梯形DMNC＝。 四．典例解析 題型1：導數(shù)的概念 例1．已知s=，（1）計算t從3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒….各段內平均速度；（2）求t=3秒是瞬時速度。 解析：（1）指時間改變量； 　　　　指時間改變量。 　　　　。 其余各段時間內的平均速度，事先刻在光盤上，待學生回答完第一時間內的平均速度后，即用多媒體出示，讓學生思考在各段時間內的平均速度的變化情況。 （2）從（1）可見某段時間內的平均速度隨變化而變化，越小，越接近于一個定值，由極限定義可知，這個值就是時，的極限， V== =（6+=3g=29.4(米/秒)。 例2．求函數(shù)y=的導數(shù)。 解析：， ， =-。 點評：掌握切的斜率、 瞬時速度，它門都是一種特殊的極限，為學習導數(shù)的定義奠定基礎。 題型2：導數(shù)的基本運算 例3．（1）求的導數(shù)； （2）求的導數(shù)； （3）求的導數(shù)； （4）求y=的導數(shù)； （5）求y＝的導數(shù)。 解析：（1）, （2）先化簡, （3）先使用三角公式進行化簡. （4）y’==； （5）y＝－x＋５－ y’＝３*（x）＇－x＇＋５＇－９）＇＝３*－１＋０－９*（－）＝。 點評：（1）求導之前，應利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；（2）有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式，但在求導前利用代數(shù)或三角恒等變形將函數(shù)先化簡，然后進行求導．有時可以避免使用商的求導法則，減少運算量。 例4．寫出由下列函數(shù)復合而成的函數(shù)： （1）y=cosu,u=1+ （2）y=lnu, u=lnx 解析：（1）y=cos(1+)； （2）y=ln(lnx)。 點評：通過對y=（3x-2展開求導及按復合關系求導，直觀的得到=..給出復合函數(shù)的求導法則，并指導學生閱讀法則的證明。 題型3：導數(shù)的幾何意義 例5．（1）（06安徽卷）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ） A． B． C． D． （2）（06全國II）過點（－1，0）作拋物線的切線，則其中一條切線為（ ） （A） （B） （C） （D） 解析：（1）與直線垂直的直線為，即在某一點的導數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導數(shù)為4，此點的切線為，故選A； （2），設切點坐標為，則切線的斜率為2，且，于是切線方程為，因為點（－1，0）在切線上，可解得＝0或－4，代入可驗正D正確，選D。 點評：導數(shù)值對應函數(shù)在該點處的切線斜率。 例6．（1）（06湖北卷）半徑為r的圓的面積S(r)＝r2,周長C(r)=2r，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則(r2)`＝2r ，式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù)。對于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請你寫出類似于的式子： ；式可以用語言敘述為： 。 （2）（06湖南卷）曲線和在它們交點處的兩條切線與軸所圍成的三角形面積是 。 解析：（1）V球＝，又 故式可填，用語言敘述為“球的體積函數(shù)的導數(shù)等于球的表面積函數(shù)?！?； （2）曲線和在它們的交點坐標是(1，1)，兩條切線方程分別是y=－x+2和y=2x－1，它們與軸所圍成的三角形的面積是。 點評：導數(shù)的運算可以和幾何圖形的切線、面積聯(lián)系在一起，對于較復雜問題有很好的效果。 題型4：借助導數(shù)處理單調性、極值和最值 例7．（1）（06江西卷）對于R上可導的任意函數(shù)f（x），若滿足（x－1）³0，則必有（ ） A．f（0）＋f（2）<2f（1） B. f（0）＋f（2）£2f（1） C．f（0）＋f（2）³2f（1） D. f（0）＋f（2）>2f（1） （2）（06天津卷）函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導函數(shù)在內的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內有極小值點（　 ） A．1個 B．2個 C．3個 D． 4個 （3）（06全國卷I）已知函數(shù)。（Ⅰ）設，討論的單調性；（Ⅱ）若對任意恒有，求的取值范圍。 解析：（1）依題意，當x³1時，f¢（x）³0，函數(shù)f（x）在（1，＋¥）上是增函數(shù)；當x<1時，f¢（x）£0，f（x）在（－¥，1）上是減函數(shù)，故f（x）當x＝1時取得最小值，即有f（0）³f（1），f（2）³f（1），故選C； （2）函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導函數(shù)在內的圖象如圖所示，函數(shù)在開區(qū)間內有極小值的點即函數(shù)由減函數(shù)變?yōu)樵龊瘮?shù)的點，其導數(shù)值為由負到正的點，只有1個，選A。 （3）：(Ⅰ)f(x)的定義域為(－∞,1)∪(1,+∞).對f(x)求導數(shù)得 f '(x)= e－ax。 (ⅰ)當a=2時, f '(x)= e－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).為增函數(shù)； (ⅱ)當0<a<2時, f '(x)>0, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)為增函數(shù).； (ⅲ)當a>2時, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= － , x2= ； 當x變化時, f '(x)和f(x)的變化情況如下表: x (－∞, －) (－,) (,1) (1,+∞) f '(x) ＋ － ＋ ＋ f(x) ↗ ↘ ↗ ↗ f(x)在(－∞, －), (,1), (1,+∞)為增函數(shù), f(x)在(－,)為減函數(shù)。 (Ⅱ)(ⅰ)當0<a≤2時, 由(Ⅰ)知: 對任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1； (ⅱ)當a>2時, 取x0= ∈(0,1),則由(Ⅰ)知 f(x0)<f(0)=1； (ⅲ)當a≤0時, 對任意x∈(0,1),恒有 >1且e－ax≥1， 得：f(x)= e－ax≥ >1. 綜上當且僅當a∈(－∞,2]時,對任意x∈(0,1)恒有f(x)>1。 點評：注意求函數(shù)的單調性之前，一定要考慮函數(shù)的定義域。導函數(shù)的正負對應原函數(shù)增減。 例8．（1）（06浙江卷）在區(qū)間上的最大值是（ ） (A)－2 (B)0 (C)2 (D)4 （2）（06山東卷）設函數(shù)f(x)= （Ⅰ）求f(x)的單調區(qū)間；（Ⅱ）討論f(x)的極值。 解析：（1），令可得x＝0或2（2舍去），當－1£x<0時，>0，當0<x£1時，<0，所以當x＝0時，f（x）取得最大值為2。選C； （2）由已知得，令，解得 。 （Ⅰ）當時，，在上單調遞增； 當時，，隨的變化情況如下表： 0 + 0 0 極大值 極小值 從上表可知，函數(shù)在上單調遞增；在上單調遞減；在上單調遞增。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時，函數(shù)沒有極值；當時，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值。 點評：本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎知識，以及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。 題型5：導數(shù)綜合題 例9．（06廣東卷）設函數(shù)分別在處取得極小值、極大值.平面上點的坐標分別為、，該平面上動點滿足,點是點關于直線的對稱點.求 (I)求點的坐標； (II)求動點的軌跡方程. 解析： (Ⅰ)令解得； 當時,， 當時,，當時，。 所以,函數(shù)在處取得極小值,在取得極大值,故,。 所以, 點A、B的坐標為。 （Ⅱ） 設，， ， ，所以。 又PQ的中點在上，所以，消去得。 點評：該題是導數(shù)與平面向量結合的綜合題。 例10．（06湖南卷）已知函數(shù),數(shù)列{}滿足:證明:(ⅰ)；(ⅱ)。 證明: （I）．先用數(shù)學歸納法證明，ｎ＝1,2,3,… (i).當n=1時,由已知顯然結論成立。 (ii).假設當n=k時結論成立,即。 因為0<x<1時，,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù)。 又f(x)在[0,1]上連續(xù)，從而.故n=k+1時,結論成立。 由(i)、(ii)可知，對一切正整數(shù)都成立。 又因為時，，所以，綜上所述。 （II）．設函數(shù)，， 由（I）知，當時，， 從而所以g (x)在(0,1)上是增函數(shù)。 又g (x)在[0,1]上連續(xù),且g (0)=0，所以當時，g (x)>0成立。 于是．故。 點評：該題是數(shù)列知識和導數(shù)結合到一塊。 題型6：導數(shù)實際應用題 例11．（06江蘇卷）請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當帳篷的頂點O到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？ 本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎知識，以及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。 解析：設OO1為x m,則由題設可得正六棱錐底面邊長為（單位：m）。 于是底面正六邊形的面積為（單位：m2）： 。 帳篷的體積為（單位：m3）： 求導數(shù)，得； 令解得x=-2(不合題意，舍去),x=2。 當1<x<2時，,V(x)為增函數(shù)；當2<x<4時，,V(x)為減函數(shù)。 所以當x=2時,V(x)最大。 答：當OO1為2m時，帳篷的體積最大。 點評：結合空間幾何體的體積求最值，理解導數(shù)的工具作用。 例12．（06浙江卷）已知函數(shù)f(x)=x+ x，數(shù)列｜x｜(x＞0)的第一項x＝1，以后各項按如下方式取定：曲線x=f(x)在處的切線與經過（0，0）和（x,f (x)）兩點的直線平行（如圖）求證：當n時， (Ⅰ)x （Ⅱ）。 證明：（I）因為所以曲線在處的切線斜率 因為過和兩點的直線斜率是所以. （II）因為函數(shù)當時單調遞增，而 ， 所以，即因此 又因為令則 因為所以 因此 故 點評：本題主要考查函數(shù)的導數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎知識，以及不等式的證明，同時考查邏輯推理能力。 題型7：定積分 例13．計算下列定積分的值 （1）；（2）；（3）；（4）； 解析：（1） （2）因為，所以； （3） （4） 例14．（1）一物體按規(guī)律x＝bt3作直線運動，式中x為時間t內通過的距離，媒質的阻力正比于速度的平方．試求物體由x＝0運動到x＝a時，阻力所作的功。 （2）拋物線y=ax2＋bx在第一象限內與直線x＋y=4相切．此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S．求使S達到最大值的a、b值，并求Smax． 解析：（1）物體的速度。 媒質阻力，其中k為比例常數(shù)，k>0。 當x=0時，t=0；當x=a時，， 又ds=vdt，故阻力所作的功為： （2）依題設可知拋物線為凸形，它與x軸的交點的橫坐標分別為x1=0，x2=－b/a，所以(1) 又直線x＋y=4與拋物線y=ax2＋bx相切，即它們有唯一的公共點， 由方程組 得ax2＋(b＋1)x－4=0，其判別式必須為0，即(b＋1)2＋16a=0． 于是代入（1）式得： ，；　 令S'(b)=0；在b＞0時得唯一駐點b=3，且當0＜b＜3時，S'(b)＞0；當b＞3時，S'(b)＜0．故在b=3時，S(b)取得極大值，也是最大值，即a=－1，b=3時，S取得最大值，且。 點評：應用好定積分處理平面區(qū)域內的面積。 五．思維總結 1．本講內容在高考中以填空題和解答題為主 主要考查： （1）函數(shù)的極限； （2）導數(shù)在研究函數(shù)的性質及在解決實際問題中的應用； （3）計算曲邊圖形的面積和旋轉體的體積。 2．考生應立足基礎知識和基本方法的復習，以課本題目為主，以熟練技能，鞏固概念為目標。