2022年高三數學大一輪復習 2.5指數與指數函數教案 理 新人教A版

2022年高三數學大一輪復習 2.5指數與指數函數教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考1.考查指數函數的求值、指數函數的圖象和性質；2.討論與指數函數有關的復合函數的性質；3.將指數函數與對數函數、抽象函數相結合，綜合考查指數函數知識的應用復習備考要這樣做1.重視指數的運算，熟練的運算能力是高考得分的保證；2.掌握兩種情況下指數函數的圖象和性質，在解題中要善于分析，靈活使用；3.對有關的復合函數要搞清函數的結構1 根式的性質(1)()na.(2)當n為奇數時a.當n為偶數時2 有理數指數冪(1)冪的有關概念正整數指數冪：ana·a·· (nN*)零指數冪：a01(a0)負整數指數冪：ap(a0，pN*)正分數指數冪：a(a>0，m、nN*，且n>1)負分數指數冪：a (a>0，m、nN*，且n>1)0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義(2)有理數指數冪的性質arasars(a>0，r、sQ)；(ar)sars(a>0，r、sQ)；(ab)rarbr(a>0，b>0，rQ)3 指數函數的圖象與性質yaxa>10<a<1圖象定義域(1)R值域(2)(0，)性質(3)過定點(0,1)(4)當x>0時，y>1；x<0時，0<y<1(5)當x>0時，0<y<1；x<0時，y>1(6)在(，)上是增函數(7)在(，)上是減函數數a按：0<a<1和a>1進行分類討論難點正本疑點清源1 根式與分數指數冪的實質是相同的，通常利用分數指數冪的意義把根式的運算轉化為冪的運算，從而可以簡化計算過程2 指數函數的單調性是底數a的大小決定的，因此解題時通常對底數a按：0<a<1和a>1進行分類討論3 比較指數式的大小方法：利用指數函數單調性、利用中間值1 化簡(2)6(1)0的值為_答案7解析(2)6(1)0(26)12317.2 若函數y(a21)x在(，)上為減函數，則實數a的取值范圍是_答案(，1)(1，)解析由y(a21)x在(，)上為減函數，得0<a21<1，1<a2<2，即1<a<或<a<1.3 若函數f(x)ax1 (a>0，且a1)的定義域和值域都是0,2，則實數a_.答案解析當a>1時，x0,2，y0，a21因定義域和值域一致，故a212，即a.當0<a<1時，x0,2，ya21,0此時，定義域和值域不一致，故此時無解綜上，a.4 (xx·四川)函數yax(a>0，且a1)的圖象可能是 ()答案D解析當a>1時，yax為增函數，且在y軸上的截距為0<1<1，排除A，B.當0<a<1時，yax為減函數，且在y軸上的截距為1<0，故選D.5 設函數f(x)a|x|(a>0，且a1)，f(2)4， ()Af(2)>f(1) Bf(1)>f(2)Cf(1)>f(2) Df(2)>f(2)答案A解析f(x)a|x|(a>0，且a1)，f(2)4，a24，a，f(x)|x|2|x|，f(2)>f(1)，故選A.題型一指數冪的運算例1(1)計算：(12422)27162×(8)1；(2)已知xx3，求的值思維啟迪：(1)本題是求指數冪的值，按指數冪的運算律運算即可；(2)注意x2x2、xx與xx之間的關系解(1)(12422)27162×(8)1(11)2×33×24×2×8×(1)113232×23×118811.(2)xx3，(xx)29，x2x19，xx17，(xx1)249，x2x247，又xx(xx)·(x1x1)3×(71)18，3.探究提高根式運算或根式與指數式混合運算時，將根式化為指數式計算較為方便，對于計算的結果，不強求統(tǒng)一用什么形式來表示，如果有特殊要求，要根據要求寫出結果但結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又有負指數 計算下列各式的值：(1)(0.002)10(2)1()0；(2)(1)0；(3) (a>0，b>0)解(1)原式150010(2)11010201.(2)原式21(2)1(2)1.(3)原式a1b12ab1.題型二指數函數的圖象、性質的應用例2(1)函數f(x)axb的圖象如圖所示，其中a，b為常數，則下列結論正確的是 ()Aa>1，b<0Ba>1，b>0C0<a<1，b>0D0<a<1，b<0(2)求函數f(x)3的定義域、值域及其單調區(qū)間思維啟迪：對于和指數函數的圖象、性質有關的問題，可以通過探求已知函數和指數函數的關系入手答案(1)D解析由f(x)axb的圖象可以觀察出函數f(x)axb在定義域上單調遞減，所以0<a<1.函數f(x)axb的圖象是在f(x)ax的基礎上向左平移得到的，所以b<0.(2)解依題意x25x40，解得x4或x1，f(x)的定義域是(，14，)0，f(x)3301，函數f(x)的值域是1，)令u，x(，14，)，當x(，1時，u是減函數，當x4，)時，u是增函數而3>1，由復合函數的單調性，可知f(x)3在(，1上是減函數，在4，)上是增函數探究提高(1)與指數函數有關的函數的圖象的研究，往往利用相應指數函數的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象(2)對復合函數的性質進行討論時，要搞清復合而成的兩個函數，然后對其中的參數進行討論 (1)函數y的圖象大致為 ()答案A解析y1，當x>0時，e2x1>0，且隨著x的增大而增大，故y1>1且隨著x的增大而減小，即函數y在(0，)上恒大于1且單調遞減又函數y是奇函數，故只有A正確(2)若函數f(x)e(x)2 (e是自然對數的底數)的最大值是m，且f(x)是偶函數，則m_.答案1解析由于f(x)是偶函數，所以f(x)f(x)，即e(x)2e(x)2，(x)2(x)2，0，f(x)ex2.又yex是R上的增函數，而x20，f(x)的最大值為e01m，m1.題型三指數函數的綜合應用例3(1)k為何值時，方程|3x1|k無解？有一解？有兩解？(2)已知定義在R上的函數f(x)2x.若f(x)，求x的值；若2tf(2t)mf(t)0對于t1,2恒成立，求實數m的取值范圍思維啟迪：方程的解的問題可轉為函數圖象的交點問題；恒成立可以通過分離參數求最值或值域來解決解(1)函數y|3x1|的圖象是由函數y3x的圖象向下平移一個單位后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，函數圖象如圖所示當k<0時，直線yk與函數y|3x1|的圖象無交點，即方程無解；當k0或k1時，直線yk與函數y|3x1|的圖象有唯一的交點，所以方程有一解；當0<k<1時，直線yk與函數y|3x1|的圖象有兩個不同的交點，所以方程有兩解(2)當x<0時，f(x)0，無解；當x0時，f(x)2x，由2x，得2·22x3·2x20，看成關于2x的一元二次方程，解得2x2或，2x>0，x1.當t1,2時，2tm0，即m(22t1)(24t1)，22t1>0，m(22t1)，t1,2，(22t1)17，5，故m的取值范圍是5，)探究提高對指數函數的圖象進行變換是利用圖象的前提，方程f(x)g(x)解的個數即為函數yf(x)和yg(x)圖象交點的個數；復合函數問題的關鍵是通過換元得到兩個新的函數，搞清復合函數的結構 已知f(x)(axax) (a>0且a1)(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)討論f(x)的單調性；(3)當x1,1時，f(x)b恒成立，求b的取值范圍解(1)因為函數的定義域為R，所以關于原點對稱又因為f(x)(axax)f(x)，所以f(x)為奇函數(2)當a>1時，a21>0，yax為增函數，yax為減函數，從而yaxax為增函數，所以f(x)為增函數，當0<a<1時，a21<0，yax為減函數，yax為增函數，從而yaxax為減函數，所以f(x)為增函數故當a>0，且a1時，f(x)在定義域內單調遞增(3)由(2)知f(x)在R上是增函數，所以在區(qū)間1,1上為增函數，所以f(1)f(x)f(1)，所以f(x)minf(1)(a1a)·1，所以要使f(x)b在1,1上恒成立，則只需b1，故b的取值范圍是(，13.利用方程思想和轉化思想求參數范圍典例：(14分)已知定義域為R的函數f(x)是奇函數(1)求a，b的值；(2)若對任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)<0恒成立，求k的取值范圍審題視角(1)f(x)是定義在R上的奇函數，要求參數值，可考慮利用奇函數的性質，構建方程：f(0)0，f(1)f(1)(2)可考慮將t22t,2t2k直接代入解析式化簡，轉化成關于t的一元二次不等式也可考慮先判斷f(x)的單調性，由單調性直接轉化為關于t的一元二次不等式規(guī)范解答解(1)因為f(x)是R上的奇函數，所以f(0)0，即0，解得b1，從而有f(x).4分又由f(1)f(1)知，解得a2.7分(2)方法一由(1)知f(x)，又由題設條件得<0，即(22t2k12)(2t22t1)(2t22t12)(22t2k1)<0.9分整理得23t22tk>1，因底數2>1，故3t22tk>0.12分上式對一切tR均成立，從而判別式412k<0，解得k<.14分方法二由(1)知f(x)，由上式易知f(x)在R上為減函數，又因為f(x)是奇函數，從而不等式f(t22t)f(2t2k)<0等價于f(t22t)<f(2t2k)f(2t2k)因為f(x)是R上的減函數，由上式推得t22t>2t2k.12分即對一切tR有3t22tk>0，從而412k<0，解得k<.14分溫馨提醒(1)根據f(x)的奇偶性，構建方程求參數體現了方程的思想；在構建方程時，利用了特殊值的方法，在這里要注意：有時利用兩個特殊值確定的參數，并不能保證對所有的x都成立所以還要注意檢驗(2)數學解題的核心是轉化，本題的關鍵是將f(t22t)f(2t2k)<0恒成立等價轉化為t22t>2t2k恒成立這個轉化易出錯其次，不等式t22t>2t2k恒成立，即對一切tR有3t22tk>0，也可以這樣做：k<3t22t，tR，只要k比3t22t的最小值小即可，而3t22t的最小值為，所以k<.方法與技巧1判斷指數函數圖象上底數大小的問題，可以先通過令x1得到底數的值再進行比較2指數函數yax (a>0，a1)的性質和a的取值有關，一定要分清a>1與0<a<1.3對和復合函數有關的問題，要弄清復合函數由哪些基本初等函數復合而成失誤與防范1恒成立問題一般與函數最值有關，要與方程有解區(qū)別開來2復合函數的問題，一定要注意函數的定義域3對可化為a2xb·axc0或a2xb·axc0 (0)的指數方程或不等式，常借助換元法解決，但應注意換元后“新元”的范圍.(時間：60分鐘)A組專項基礎訓練一、選擇題(每小題5分，共20分)1 設2a5bm，且2，則m等于 ()A. B10C20 D100答案A解析2a5bm，alog2m，blog5m，logm2logm5logm102.m.2 函數yx22x的值域是 ()AR B(0，)C(2，) D.答案D解析x22x(x1)211，x22x，故選D.3 函數y(0<a<1)圖象的大致形狀是 ()答案D解析函數定義域為x|xR，x0，且y.當x>0時，函數是一個指數函數，因為0<a<1，所以函數在(0，)上是減函數；當x<0時，函數圖象與指數函數yax(x<0,0<a<1)的圖象關于x軸對稱，在(，0)上是增函數4 若函數f(x)a|2x4| (a>0，a1)，滿足f(1)，則f(x)的單調遞減區(qū)間是 ()A(，2 B2，)C2，) D(，2答案B解析由f(1)，得a2，a (a舍去)，即f(x)|2x4|.由于y|2x4|在(，2上遞減，在2，)上遞增，所以f(x)在(，2上遞增，在2，)上遞減故選B.二、填空題(每小題5分，共15分)5 已知a，函數f(x)ax，若實數m、n滿足f(m)>f(n)，則m、n的大小關系為_答案m<n解析0<a<1，函數f(x)ax在R上是減函數又f(m)>f(n)，m<n.6 函數f(x)ax (a>0，a1)在1,2中的最大值比最小值大，則a的值為_答案或解析當0<a<1時，aa2，a或a0(舍去)當a>1時，a2a，a或a0(舍去)綜上所述，a或.7. (xx·洛陽調研)已知函數f(x)axb (a>0且a1)的圖象如圖所示，則ab的值是_答案2解析，ab2.三、解答題(共25分)8 (12分)設函數f(x)2|x1|x1|，求使f(x)2的x的取值范圍解y2x是增函數，f(x)2等價于|x1|x1|.(1)當x1時，|x1|x1|2，式恒成立(2)當1<x<1時，|x1|x1|2x，式化為2x，即x<1.(3)當x1時，|x1|x1|2，式無解綜上，x的取值范圍是.9 (13分)設a>0且a1，函數ya2x2ax1在1,1上的最大值是14，求a的值解令tax (a>0且a1)，則原函數化為y(t1)22 (t>0)當0<a<1時，x1,1，tax，此時f(t)在上為增函數所以f(t)maxf2214.所以216，所以a或a.又因為a>0，所以a.當a>1時，x1,1，tax，此時f(t)在上是增函數所以f(t)maxf(a)(a1)2214，解得a3(a5舍去)綜上得a或3.B組專項能力提升一、選擇題(每小題5分，共15分)1 設函數f(x)若F(x)f(x)x，xR，則F(x)的值域為()A(，1 B2，)C(，12，) D(，1)(2，)答案C解析當x>0時，F(x)x2；當x0時，F(x)exx，根據指數函數與一次函數的單調性，F(x)是單調遞增函數，F(x)F(0)1，所以F(x)的值域為(，12，)2 (xx·山東)設函數f(x)，g(x)ax2bx(a，bR，a0)若yf(x)的圖象與yg(x)的圖象有且僅有兩個不同的公共點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則下列判斷正確的是()A當a<0時，x1x2<0，y1y2>0B當a<0時，x1x2>0，y1y2<0C當a>0時，x1x2<0，y1y2<0D當a>0時，x1x2>0，y1y2>0答案B解析由題意知函數f(x)，g(x)ax2bx(a，bR，a0)的圖象有且僅有兩個公共點A(x1，y1)，B(x2，y2)，等價于方程ax2bx(a，bR，a0)有兩個不同的根x1，x2，即方程ax3bx210有兩個不同非零實根x1，x2，因而可設ax3bx21a(xx1)2(xx2)，即ax3bx21a(x32x1x2xxx2x22x1x2xx2x)，ba(2x1x2)，x2x1x20，ax2x1，x12x20，ax2>0，當a>0時，x2>0，x1x2x2<0，x1<0，y1y2>0.當a<0時，x2<0，x1x2x2>0，x1>0，y1y2<0.3 (xx·上饒質檢)設函數f(x)，x表示不超過x的最大整數，則函數yf(x)的值域是 ()A0,1 B0，1C1,1 D1,1答案B解析f(x).12x>1，f(x)的值域是.yf(x)的值域是0，1二、填空題(每小題4分，共12分)4 函數f(x)ax22x3m (a>1)恒過點(1,10)，則m_.答案9解析f(x)ax22x3m在x22x30時過定點(1，1m)或(3,1m)，1m10，解得m9.5 若函數f(x)axxa(a>0，且a1)有兩個零點，則實數a的取值范圍是_答案(1，)解析令axxa0即axxa，若0<a<1，顯然yax與yxa的圖象只有一個公共點；若a>1，yax與yxa的圖象如圖所示6 關于x的方程x有負數根，則實數a的取值范圍為_答案解析由題意，得x<0，所以0<x<1，從而0<<1，解得<a<.三、解答題(13分)7 設f(x)是定義在R上的函數(1)f(x)可能是奇函數嗎？(2)若f(x)是偶函數，試研究其在(0，)上的單調性解(1)假設f(x)是奇函數，由于定義域為R，f(x)f(x)，即，整理得(exex)0，即a0，即a210顯然無解f(x)不可能是奇函數(2)因為f(x)是偶函數，所以f(x)f(x)，即，整理得(exex)0，又對任意xR都成立，有a0，得a±1. 當a1時，f(x)exex，以下討論其單調性，任取x1，x2(0，)且x1<x2，則f(x1)f(x2)ex1ex1ex2ex2，x1，x2(0，)且x1<x2，ex1x2>1，ex1ex2<0，ex1x21>0，f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函數f(x)，當a1時，在(0，)為增函數，同理，當a1時，f(x)在(0，)為減函數