2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.2空間幾何體的表面積與體積教案 理 新人教A版

2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.2空間幾何體的表面積與體積教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考1.與三視圖相結(jié)合，考查幾何體的表面積、體積；2.作為解答題中的某一問，與空間線面關(guān)系相結(jié)合考查幾何體體積的計(jì)算復(fù)習(xí)備考要這樣做1.熟記公式，理解公式的意義；2.結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用公式解決一些計(jì)算問題1 柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積面積體積圓柱S側(cè)2rhVShr2h圓錐S側(cè)rlVShr2hr2圓臺(tái)S側(cè)(r1r2)lV(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S側(cè)ChVSh正棱錐S側(cè)ChVSh正棱臺(tái)S側(cè)(CC)hV(S上S下)h球S球面4R2VR32 .幾何體的表面積(1)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是各面面積之和(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于側(cè)面積與底面面積之和難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 幾何體的側(cè)面積和全面積幾何體的側(cè)面積是指(各個(gè))側(cè)面面積之和，而全面積是側(cè)面積與所有底面積之和對(duì)側(cè)面積公式的記憶，最好結(jié)合幾何體的側(cè)面展開圖來進(jìn)行要特別留意根據(jù)幾何體側(cè)面展開圖的平面圖形的特點(diǎn)來求解相關(guān)問題如直棱柱(圓柱)側(cè)面展開圖是一矩形，則可用矩形面積公式求解再如圓錐側(cè)面展開圖為扇形，此扇形的特點(diǎn)是半徑為圓錐的母線長，圓弧長等于底面的周長，利用這一點(diǎn)可以求出展開圖扇形的圓心角的大小2 等積法等積法包括等面積法和等體積法等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高，這一方法回避了具體通過作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計(jì)算得到高的數(shù)值1 圓柱的一個(gè)底面積為S，側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是_答案4S解析設(shè)圓柱的底面半徑為r，則r，又側(cè)面展開圖為正方形，圓柱的高h(yuǎn)2，S圓柱側(cè)4S.2 設(shè)某幾何體的三視圖如下(尺寸的長度單位為m)則該幾何體的體積為_m3.答案4解析這個(gè)空間幾何體是一個(gè)三棱錐，這個(gè)三棱錐的高為2，底面是一個(gè)一條邊長為4、這條邊上的高為3的等腰三角形，故其體積V××4×3×24.3 表面積為3的圓錐，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面直徑為_答案2解析設(shè)圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r.則l2r23，l2r，r1，即圓錐的底面直徑為2.4 一個(gè)球與一個(gè)正方體的各個(gè)面均相切，正方體的邊長為a，則球的表面積為_答案a2解析由題意知，球的半徑R.所以S球4R2a2.5. 如圖所示，在棱長為4的正方體ABCDA1B1C1D1中，P是A1B1上一點(diǎn)，且PB1A1B1，則多面體PBB1C1C的體積為_答案解析四棱錐PBB1C1C的底面積為16，高PB11，VPBB1C1C×16×1.題型一空間幾何體的表面積例1一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A48 B328C488 D80思維啟迪：先通過三視圖確定空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后再求表面積答案C解析由三視圖知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體的下底面是邊長為4的正方形；上底面是長為4、寬為2的矩形；兩個(gè)梯形側(cè)面垂直于底面，上底長為2，下底長為4，高為4；另兩個(gè)側(cè)面是矩形，寬為4，長為.所以S表422×4×(24)×4×24××2488.探究提高(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和 一個(gè)幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的表面積是_cm2.答案412解析由三視圖知該幾何體為一個(gè)四棱柱、一個(gè)半圓柱和一個(gè)半球的組合體，其中四棱柱上表面與半球重合部分之外的面積為1×2××122，四棱柱中不重合的表面積為21×2×22×2212，半圓柱中不重合的表面積為×2×2，半球的表面積為×42，所以該幾何體的表面積為412.題型二空間幾何體的體積例2如圖所示，已知E、F分別是棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中點(diǎn)，求四棱錐C1B1EDF的體積思維啟迪：思路一：先求出四棱錐C1B1EDF的高及其底面積，再利用棱錐的體積公式求出其體積；思路二：先將四棱錐C1B1EDF化為兩個(gè)三棱錐B1C1EF與DC1EF，再求四棱錐C1B1EDF的體積解方法一連接A1C1，B1D1交于點(diǎn)O1，連接B1D，EF，過O1作O1HB1D于H.EFA1C1，且A1C1平面B1EDF，A1C1平面B1EDF.C1到平面B1EDF的距離就是A1C1到平面B1EDF的距離平面B1D1D平面B1EDF，平面B1D1D平面B1EDFB1D，O1H平面B1EDF，即O1H為棱錐的高B1O1HB1DD1，O1Ha.VC1B1EDFS四邊形B1EDF·O1H··EF·B1D·O1H··a·a·aa3.方法二連接EF，B1D.設(shè)B1到平面C1EF的距離為h1，D到平面C1EF的距離為h2，則h1h2B1D1a.由題意得，VC1B1EDFVB1C1EFVDC1EF·SC1EF·(h1h2)a3.探究提高在求解一些不規(guī)則的幾何體的體積以及兩個(gè)幾何體的體積之比時(shí)，常常需要用到分割法在求一個(gè)幾何體被分成兩部分的體積之比時(shí)，若有一部分為不規(guī)則幾何體，則可用整個(gè)幾何體的體積減去規(guī)則幾何體的體積求出其體積 (xx·課標(biāo)全國)已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC2，則此棱錐的體積為 ()A. B. C. D.答案A解析由于三棱錐SABC與三棱錐OABC底面都是ABC，O是SC的中點(diǎn)，因此三棱錐SABC的高是三棱錐OABC高的2倍，所以三棱錐SABC的體積也是三棱錐OABC體積的2倍在三棱錐OABC中，其棱長都是1，如圖所示，SABC×AB2，高OD，VSABC2VOABC2×××.題型三幾何體的展開與折疊問題例3(1)如圖所示，在邊長為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于O，剪去AOB，將剩余部分沿OC、OD折疊，使OA、OB重合，則以A、B、C、D、O為頂點(diǎn)的四面體的體積為_(2)有一根長為3 cm，底面直徑為2 cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為_ cm.思維啟迪：(1)考慮折疊后所得幾何體的形狀及數(shù)量關(guān)系；(2)可利用圓柱的側(cè)面展開圖答案(1)(2)5解析(1)折疊后的四面體如圖所示OA、OC、OD兩兩相互垂直，且OAOCOD2，體積V SOCD·OA××(2)3.(2)把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD(如圖)，由題意知BC3 cm，AB4 cm，點(diǎn)A與點(diǎn)C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度AC5 (cm)，故鐵絲的最短長度為5 cm.探究提高(1)有關(guān)折疊問題，一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數(shù)量關(guān)系，哪些變，哪些不變(2)研究幾何體表面上兩點(diǎn)的最短距離問題，常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離問題 如圖，已知一個(gè)多面體的平面展開圖由一邊長為1的正方形和4個(gè)邊長為1的正三角形組成，則該多面體的體積是_答案解析如圖，四棱錐的高h(yuǎn)，VSh×1×.轉(zhuǎn)化思想在立體幾何計(jì)算中的應(yīng)用典例：(12分)如圖，在直棱柱ABCABC中，底面是邊長為3的等邊三角形，AA4，M為AA的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC到M的最短路線長為，設(shè)這條最短路線與CC的交點(diǎn)為N，求：(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖的對(duì)角線長；(2)PC與NC的長；(3)三棱錐CMNP的體積審題視角(1)側(cè)面展開圖從哪里剪開展平；(2)MNNP最短在展開圖上呈現(xiàn)怎樣的形式；(3)三棱錐以誰做底好規(guī)范解答解(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖為一邊長分別為4和9的矩形，故對(duì)角線長為.2分(2)將該三棱柱的側(cè)面沿棱BB展開，如下圖，設(shè)PCx，則MP2MA2(ACx)2.MP，MA2，AC3，x2，即PC2.又NCAM，故，即.NC.8分(3)SPCN×CP×CN×2×.在三棱錐MPCN中，M到面PCN的距離，即h×3.VCMNPVMPCN·h·SPCN××.12分溫馨提醒(1)解決空間幾何體表面上的最值問題的根本思路是“展開”，即將空間幾何體的“面”展開后鋪在一個(gè)平面上，將問題轉(zhuǎn)化為平面上的最值問題(2)如果已知的空間幾何體是多面體，則根據(jù)問題的具體情況可以將這個(gè)多面體沿多面體中某條棱或者兩個(gè)面的交線展開，把不在一個(gè)平面上的問題轉(zhuǎn)化到一個(gè)平面上如果是圓柱、圓錐則可沿母線展開，把曲面上的問題轉(zhuǎn)化為平面上的問題(3)本題的易錯(cuò)點(diǎn)是，不知道從哪條側(cè)棱剪開展平，不能正確地畫出側(cè)面展開圖缺乏空間圖形向平面圖形的轉(zhuǎn)化意識(shí).方法與技巧1對(duì)于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱錐、棱臺(tái)與球的表面積的問題，要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與平面幾何知識(shí)來解決2要注意將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題3求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解4一些幾何體表面上的最短距離問題，常常利用幾何體的展開圖解決失誤與防范1幾何體展開、折疊問題，要抓住前后兩個(gè)圖形間的聯(lián)系，找出其中的量的關(guān)系2與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長等于球的直徑A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 (xx·課標(biāo)全國)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為 ()A6 B9 C12 D18答案B解析結(jié)合三視圖知識(shí)求解三棱錐的體積由題意知，此幾何體是三棱錐，其高h(yuǎn)3，相應(yīng)底面面積為S×6×39，VSh×9×39.2. 已知高為3的直棱柱ABCABC的底面是邊長為1的正三角形(如右圖所示)，則三棱錐BABC的體積為 ()A. B.C. D.答案D解析VBABC×BB×SABC×3××12.3 正六棱柱的高為6，底面邊長為4，則它的全面積為 ()A48(3) B48(32)C24() D144答案A解析S底6××4224，S側(cè)6×4×6144，S全S側(cè)2S底1444848(3)4 (xx·北京)某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是()A286 B306C5612 D6012答案B解析根據(jù)幾何體的三視圖畫出其直觀圖，利用直觀圖的圖形特征求其表面積由幾何體的三視圖可知，該三棱錐的直觀圖如圖所示，其中AE平面BCD，CDBD，且CD4，BD5，BE2，ED3，AE4.AE4，ED3，AD5.又CDBD，CDAE，則CD平面ABD，故CDAD，所以AC且SACD10.在RtABE中，AE4，BE2，故AB2.在RtBCD中，BD5，CD4，故SBCD10，且BC.在ABD中，AE4，BD5，故SABD10.在ABC中，AB2，BCAC，則AB邊上的高h(yuǎn)6，故SABC×2×66.因此，該三棱錐的表面積為S306.二、填空題(每小題5分，共15分)5 (xx·山東)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1EDF的體積為_答案解析利用三棱錐的體積公式直接求解VD1EDFVFDD1ESD1DE·AB××1×1×1.6 (xx·天津)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_m3.答案4解析此幾何體是兩個(gè)長方體的組合，故V2×1×11×1×24.7 已知三棱錐ABCD的所有棱長都為，則該三棱錐的外接球的表面積為_答案3解析如圖，構(gòu)造正方體ANDMFBEC.因?yàn)槿忮FABCD的所有棱長都為，所以正方體ANDMFBEC的棱長為1.所以該正方體的外接球的半徑為.易知三棱錐ABCD的外接球就是正方體ANDMFBEC的外接球，所以三棱錐ABCD的外接球的半徑為.所以三棱錐ABCD的外接球的表面積為S球423.三、解答題(共22分)8 (10分)如圖所示，在邊長為5的正方形ABCD中，以A為圓心畫一個(gè)扇形，以O(shè)為圓心畫一個(gè)圓，M，N，K為切點(diǎn)，以扇形為圓錐的側(cè)面，以圓O為圓錐底面，圍成一個(gè)圓錐，求圓錐的全面積與體積解設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，高為h，由已知條件，解得r，l4，Srlr210，h，Vr2h2.9 (12分)如圖，已知某幾何體的三視圖如下(單位：cm)(1)畫出這個(gè)幾何體的直觀圖(不要求寫畫法)；(2)求這個(gè)幾何體的表面積及體積解(1)這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示(2)這個(gè)幾何體可看成是正方體AC1及直三棱柱B1C1QA1D1P的組合體由PA1PD1，A1D1AD2，可得PA1PD1.故所求幾何體的表面積S5×222×2×2××()2224(cm2)，體積V23×()2×210(cm3)B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是個(gè)半圓，則該幾何體的表面積為()A. BC. D.答案C解析由三視圖可知該幾何體為一個(gè)半圓錐，底面半徑為1，高為，表面積S×2×××12××1×2.2 在四棱錐EABCD中，底面ABCD為梯形，ABCD,2AB3CD，M為AE的中點(diǎn)，設(shè)EABCD的體積為V，那么三棱錐MEBC的體積為 ()A.V B.V C.V D.V答案D解析設(shè)點(diǎn)B到平面EMC的距離為h1，點(diǎn)D到平面EMC的距離為h2.連接MD.因?yàn)镸是AE的中點(diǎn)，所以VMABCDV.所以VEMBCVVEMDC.而VEMBCVBEMC，VEMDCVDEMC，所以.因?yàn)锽，D到平面EMC的距離即為到平面EAC的距離，而ABCD，且2AB3CD，所以.所以VEMBCVMEBCV.3 (xx·遼寧)已知球的直徑SC4，A、B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB，ASCBSC30°，則棱錐SABC的體積為 ()A3 B2 C. D1答案C解析由題意知，如圖所示，在棱錐SABC中，SAC，SBC都是有一個(gè)角為30°的直角三角形，其中AB，SC4，所以SASB2，ACBC2，作BDSC于D點(diǎn)，連接AD，易證SC平面ABD，因此V××()2×4.二、填空題(每小題5分，共15分)4. 如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為2 cm，高為5 cm，則一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A1的最短路線的長為_ cm.答案13解析根據(jù)題意，利用分割法將原三棱柱分割為兩個(gè)相同的三棱柱，然后將其展開為如圖所示的實(shí)線部分，則可知所求最短路線的長為13 cm.5 已知一個(gè)幾何體是由上、下兩部分構(gòu)成的組合體，其三視圖如圖所示， 若圖中圓的半徑為1，等腰三角形的腰長為，則該幾何體的體積是_答案解析這個(gè)幾何體是由一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐和一個(gè)半徑為1的半球組成的幾何體，故其體積為×12×2××13.6 (xx·上海)如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC2.若AD2c，且ABBDACCD2a，其中a、c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值是_答案c解析利用橢圓的定義及割補(bǔ)法求體積ABBDACCD2a>2cAD，B、C都在以AD的中點(diǎn)O為中心，以A、D為焦點(diǎn)的兩個(gè)橢圓上，B、C兩點(diǎn)在橢圓兩短軸端點(diǎn)時(shí)，到AD距離最大，均為，此時(shí)BOC為等腰三角形，且ADOC，ADOB，AD平面OBC.取BC的中點(diǎn)E，顯然OEBC，OEmax，(SBOC)max×2×.VDABCVDOBCVAOBC·OD·SOBC·OA·SOBC(ODOA)SOBC×2cc.三、解答題7 (13分)如圖1，在直角梯形ABCD中，ADC90°，CDAB，AB4，ADCD2，將ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到幾何體DABC，如圖2所示圖1 圖2(1)求證：BC平面ACD；(2)求幾何體DABC的體積(1)證明在圖中，可得ACBC2，從而AC2BC2AB2，故ACBC.又平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，BC平面ABC，BC平面ACD.(2)解由(1)可知BC為三棱錐BACD的高，BC2，SACD2，VBACDSACD·BC×2×2，由等體積性可知，幾何體DABC的體積為.