2022年高中數(shù)學(xué) 橢圓的幾何性質(zhì)知識精講 文 蘇教版選修1-1

2022年高中數(shù)學(xué) 橢圓的幾何性質(zhì)知識精講 文 蘇教版選修1-1 【本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 橢圓的幾何性質(zhì) 二. 教學(xué)目標： 通過橢圓標準方程的討論，使學(xué)生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能正確地畫出橢圓的圖形，并了解橢圓的一些實際應(yīng)用． 通過對橢圓的幾何性質(zhì)的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決實際問題的能力． 使學(xué)生掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標系中曲線與方程的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決隨之而來的一些問題，如弦、最值問題等． 三. 重點、難點： 重點：橢圓的幾何性質(zhì)及初步運用． 難點：橢圓離心率的概念的理解． 四. 知識梳理 1、幾何性質(zhì) （1）范圍，即|x|≤a，|y|≤b，這說明橢圓在直線x＝±a和直線y＝±b所圍成的矩形里．注意結(jié)合圖形講解，并指出描點畫圖時，就不能取范圍以外的點． （2）對稱性 把x換成－x，或把y換成－y，或把x、y同時換成－x、－y時，方程都不變，所以圖形關(guān)于y軸、x軸或原點對稱 （3）頂點 在中，須令x＝0，得y＝±b，點B1（0，－b）、B2（0，b）是橢圓和y軸的兩個交點；令y＝0，得x＝±a，點A1（－a，0）、A2（a，0）是橢圓和x軸的兩個交點．橢圓有四個頂點A1（－a，0）、A2（a，0）、B1（0，－b）、B2（0，b）． ①線段A1A2、線段B1B2分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b； ②a、b的幾何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長； （4）離心率 教師直接給出橢圓的離心率的定義： 橢圓的焦距與長軸的比 橢圓的離心率e的取值范圍：∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1． 當e接近1時，c越接近a，從而b越接近0，因此橢圓越扁； 當e接近0時，c越接近0，從而b越接近a，因此橢圓接近圓； 當e＝0時，c＝0，a＝b兩焦點重合，橢圓的標準方程成為x2＋y2＝a2，圖形就是圓了． 2、性質(zhì)歸納為如下表： 標準方程 圖像 范圍 ， ， 對稱性 關(guān)于x軸、y軸均對稱，關(guān)于原點中心對稱 頂點坐標 長軸端點A1（－a，0），A2（a，0）；短軸端點B1（0，－b），B2（0，b） 長軸端點A1（0，－a），A2（0，a）；短軸端點B1（－b，0），B2（b，0） 焦點坐標 F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0） F1（0，－c），F(xiàn)2（0，c） 半軸長 長半軸長：a，短半軸長：b 焦距 2c a，b，c關(guān)系 離心率 【典型例題】 例1. 求橢圓16x2＋25y2＝400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標，并用描點法畫出它的圖形． 解：（1）列表。將，根據(jù)在第一象限的范圍內(nèi)算出幾個點的坐標（x，y） （2）描點作圖．先描點畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對稱性就可以畫出整個橢圓． 例2. 若橢圓的離心率為e＝，求實數(shù)k的值。 解：當焦點在x軸上時，有得k＝8. 當焦點在y軸上時，有得k＝. 所求的k＝8或。 例3. 若橢圓的對稱軸在坐標軸上，短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形，焦點到橢圓上點的距離的最小值為，求橢圓的方程。 解： ∴所求的橢圓方程為 例4. 橢圓（a>b>0）上一點M與兩焦點F1，F(xiàn)2所成的角∠F1MF2＝α，求證△F1MF2的面積為b2tan. 解：設(shè)M F1＝m，M F2＝n， 則m＋n＝2a，且4c2＝m2＋n2－2mncosα＝（m＋n）2－2mn（1＋cosα） 4b2＝2mn（1＋cosα） 例5. 如圖，橢圓的長短軸端點為A，B，過中心O作AB的平行線，交橢圓上半部分于點P，過P作x軸的垂線恰過左焦點F1，過F1再作AB的平行線交橢圓于C，D兩點，求橢圓的方程。 解：設(shè)所求的橢圓方程為（a>b>0） 則P（－c，）， 又AB∥OP∴ 直線CD的方程為y＝（x－c），將其代入橢圓方程化簡得，2x2－2cx－c2＝0 ∵ ∴ 所求的橢圓方程為 【模擬試題】（答題時間：60分鐘 滿分：100分） 一、選擇題（5分×8＝40分） 1、已知橢圓上一點P到橢圓一個焦點的距離是3，則P點到另一個焦點的距離為： （ ） A、2 B、3 C、5 D、7 2、橢圓的一個焦點與兩個頂點為等邊三角形的三個頂點，則橢圓的長軸長是短軸長的（ ） A、倍 B、2倍　　　 C、倍　　　 D、倍 3、橢圓的一個焦點為F1，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點M在y軸上，那么點M的縱坐標是：（ ） A、 B、 C、 D、 4、以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過此橢圓的焦點，則橢圓的離心率為 （ ） A、 B、 C、 D、 5、橢圓（a>b>0）的半焦距為c，若直線y＝2x與橢圓的一個交點的橫坐標恰好為c，則橢圓的離心率為（ ） A、 B、 C、 D、 6、若以橢圓上的一點和兩個焦點為頂點的三角形面積的最大值為1，則此橢圓長軸的長的最小值為（　　?。? A、1 　 B、 C、2 D、2 7、橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，以F2為圓心且過橢圓中心的圓與橢圓的一個交點為M，已知直線F1M與圓F2相切，則離心率為　　　　　　　　　　　　　　　?。ā　　。? A、 B、 C、 D、 8、設(shè)橢圓（a>b>0）的兩個焦點分別為F1、F2，P是橢圓上一點，若PF1⊥PF2，則｜PF1－PF2｜等于（　　?。? A、 B、2 C、 D、2 二、填空題（5分×4＝20分） 9、平面上點P到兩個定點A、B的距離之和等于|AB|，則P點軌跡是 。 10、已知對稱軸為坐標軸，長軸長為6，離心率為的橢圓方程為 。 11、橢圓的離心率為，則實數(shù)m的值為 。 12、若M為橢圓上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，且∠MF1F2＝2∠MF2F1＝2α（α≠0），則橢圓的離心率是 。 三、解答題（共40分） 13、（滿分8分）已知橢圓的焦點在軸上，焦距是4，且經(jīng)過，求此橢圓的方程。 14、（滿分10分）若點在橢圓上，分別是橢圓的兩個焦點，且，求的面積。 15、（滿分10分）已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓左頂點A，上頂點B，左焦點F1到直線AB的距離為|OB|，求橢圓的離心率。 16、（滿分12分）已知F1（－3，0），F(xiàn)2（3，0）分別是橢圓的左、右焦點，P是該橢圓上的點，滿足PF2⊥F1F2，∠F1PF2的平分線交F1F2于M（1，0），求橢圓方程?！驹囶}答案】 一、選擇題 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A B D D C B 二、填空題 9、線段AB 10、 11、m＝3或m＝ 12、 三、解答題 13、解：因為焦距為4，所以 即 ①…………3′ 設(shè)橢圓方程為 因為在橢圓上 所以 ②…………6′ 由①②得 所以橢圓方程為…………8′ 14、解：設(shè) 由橢圓得…………2′ 即 ①…………4′ 是直角三角形 4 ②…………6′ 由①②得…………8′ 所以…………10′ 15、解：直線AB的方程為bx－ay＋ab＝0，…………4′ 則左焦點F1（－c，0）到其距離為 16、解：PF2⊥F1F2，PF2＝，…………2′ ∵，………………4' …………………………6' ………………8' 又………………10' ………………11' 所求的橢圓方程為……………………12'