2022年高三數(shù)學大一輪復習 8.7立體幾何中的向量方法（Ⅰ）證明平行與垂直教案 理 新人教A版

2022年高三數(shù)學大一輪復習 8.7立體幾何中的向量方法（）證明平行與垂直教案 理 新人教A版xx高考會這樣考1.利用線線、線面、面面關(guān)系考查空間向量的運算；2.能用向量方法證明線面的平行或垂直；3.考查用向量方法解決立體幾何中的一些探索性問題復習備考要這樣做1.理解直線的方向向量與平面的法向量；能用向量語言表述與直線、直線與平面、平面與平面的垂直和平行關(guān)系；3.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理)；4.了解向量方法在研究立體幾何問題中的應用1 用向量表示直線或點在直線上的位置(1)給定一個定點A和一個向量a，再任給一個實數(shù)t，以A為起點作向量ta，則此向量方程叫做直線l的參數(shù)方程向量a稱為該直線的方向向量(2)對空間任一確定的點O，點P在直線l上的充要條件是存在唯一的實數(shù)t，滿足等式(1t)t，叫做空間直線的向量參數(shù)方程2 用向量證明空間中的平行關(guān)系(1)設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1l2(或l1與l2重合)v1v2.(2)設直線l的方向向量為v，與平面共面的兩個不共線向量v1和v2，則l或l存在兩個實數(shù)x，y，使vxv1yv2.(3)設直線l的方向向量為v，平面的法向量為u，則l或lvu.(4)設平面和的法向量分別為u1，u2，則u1 u2.3 用向量證明空間中的垂直關(guān)系(1)設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1l2v1v2v1·v20.(2)設直線l的方向向量為v，平面的法向量為u，則lvu.(3)設平面和的法向量分別為u1和u2，則u1u2u1·u20.難點正本疑點清源利用空間向量解決立體幾何中的平行問題(1)證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量，但要注意說明這兩條直線不共線(2)證明線面平行的方法證明直線的方向向量與平面的法向量垂直，但要說明直線不在平面內(nèi)證明能夠在平面內(nèi)找到一個向量與已知直線的方向向量共線，也要說明直線不在平面內(nèi)利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線向量是共面向量同時要注意強調(diào)直線不在平面內(nèi)1 兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1(1,0，1)，v2(2，0,2)，則l1與l2的位置關(guān)系是_答案平行解析v22v1，v1v2，又l1與l2不重合，l1l2.2 已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，則實數(shù)x，y，z分別為_答案，4解析由題意知，.所以即解得，x，y，z4.3 已知a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，則下列結(jié)論正確的是()Aac，bc Bab，acCac，ab D以上都不對答案C解析c2a，ac，又a·b(2，3,1)·(2,0,4)4040，ab.4 若平面，垂直，則下面可以作為這兩個平面的法向量的是()An1(1,2,1)，n2(3,1,1)Bn1(1,1,2)，n2(2,1,1)Cn1(1,1,1)，n2(1,2,1)Dn1(1,2,1)，n2(0，2，2)答案A解析兩個平面垂直時其法向量也垂直，只有選項A中的兩個向量垂直5 若平面、的法向量分別為n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，則()A BC、相交但不垂直 D以上均不正確答案C題型一利用空間向量證明平行問題例1如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是C1C、 B1C1的中點求證：MN平面A1BD.思維啟迪：證明線面平行，可以利用判定定理先證線線平行；也可以尋找平面的法向量證明方法一如圖所示，以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是，設平面A1BD的法向量是n(x，y，z)則n·0，且n·0，得取x1，得y1，z1.n(1，1，1)又·n·(1，1，1)0，n，又MN平面A1BD，MN平面A1BD.方法二()，又MN與DA1不共線，MNDA1，又MN平面A1BD，A1D平面A1BD，MN平面A1BD.探究提高用向量證明線面平行的方法有(1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；(2)證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行；(3)證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個不共線的向量線性表示；(4)本題易錯點：只證明MNA1D，而忽視MN平面A1BD. 如圖所示，平面PAD平面ABCD，ABCD為正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點求證：PB平面EFG.證明平面PAD平面ABCD且ABCD為正方形，AB、AP、AD兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)(2,0，2)，(0，1,0)，(1,1，1)，設st，即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)，解得st2.22，又與不共線，、與共面PB平面EFG，PB平面EFG.題型二利用空間向量證明垂直問題例2如圖所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點求證：AB1平面A1BD.證明方法一設平面A1BD內(nèi)的任意一條直線m的方向向量為m.由共面向量定理，則存在實數(shù)，使m.令a，b，c，顯然它們不共面，并且|a|b|c|2，a·ba·c0，b·c2，以它們?yōu)榭臻g的一個基底，則ac，ab，ac，mabc，·m(ac)·4240.故m，結(jié)論得證方法二如圖所示，取BC的中點O，連接AO.因為ABC為正三角形，所以AOBC.因為在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中點O1，以O為原點，以，為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)設平面A1BD的法向量為n(x，y，z)，(1,2，)，(2,1,0)因為n，n，故令x1，則y2，z，故n(1,2，)為平面A1BD的一個法向量，而(1,2，)，所以n，所以n，故AB1平面A1BD.探究提高證明線面平行和垂直問題，可以用幾何法，也可以用向量法用向量法的關(guān)鍵在于構(gòu)造向量，再用共線向量定理或共面向量定理及兩向量垂直的判定定理若能建立空間直角坐標系，其證法較為靈活方便 如圖所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC為等腰直角三角形，BAC90°，且ABAA1，D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點求證：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.證明(1)如圖建立空間直角坐標系Axyz，令ABAA14，則A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(xiàn)(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)取AB中點為N，連接CN，則N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，(2,4,0)，(2,4,0)，DENC，又NC平面ABC，DE平面ABC.故DE平面ABC.(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)·(2)×22×(2)(4)×(2)0，·(2)×22×2(4)×00.，即B1FEF，B1FAF，又AFFEF，B1F平面AEF.題型三利用空間向量解決探索性問題例3(xx·福建)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E為CD的中點(1)求證：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由思維啟迪：利用向量法建立空間直角坐標系，將幾何問題進行轉(zhuǎn)化；對于存在性問題可通過計算下結(jié)論(1)證明以A為原點，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系(如圖)設ABa，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故(0,1,1)，(a,0,1)，.·×01×1(1)×10，B1EAD1.(2)解假設在棱AA1上存在一點P(0,0，z0)使得DP平面B1AE，此時(0，1，z0)又設平面B1AE的法向量n(x，y，z)n平面B1AE，n，n，得取x1，得平面B1AE的一個法向量n.要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，存在點P，滿足DP平面B1AE，此時AP.探究提高對于“是否存在”型問題的探索方式有兩種：一種是根據(jù)條件作出判斷，再進一步論證另一種是利用空間向量，先設出假設存在點的坐標，再根據(jù)條件求該點的坐標，即找到“存在點”，若該點坐標不能求出，或有矛盾，則判定“不存在”. 如圖所示，四棱錐SABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，P為側(cè)棱SD上的點(1)求證：ACSD.(2)若SD平面PAC，則側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，試說明理由(1)證明連接BD，設AC交BD于O，則ACBD.由題意知SO平面ABCD.以O為坐標原點，分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標系如圖設底面邊長為a，則高SOa，于是S，D，B，C，則·0.故OCSD.從而ACSD.(2)解棱SC上存在一點E使BE平面PAC.理由如下：由已知條件知是平面PAC的一個法向量，且，.設t，則t，而·0t.即當SEEC21時，.而BE不在平面PAC內(nèi)，故BE平面PAC.利用空間向量解決立體幾何問題典例：(12分)(xx·大綱全國)如圖，四棱錐SABCD中，ABCD，BCCD，側(cè)面SAB為等邊三角形，ABBC2，CDSD1.(1)證明：SD平面SAB；(2)求AB與平面SBC所成角的正弦值考點分析本題以四棱錐為載體，考查多面體的結(jié)構(gòu)特征，線面垂直的判定以及直線與平面所成角的計算解題策略本題有兩種解題思路：利用常規(guī)方法，從線線垂直證明線面垂直，作出所求線面角；利用空間向量，將線面垂直轉(zhuǎn)化為兩個向量的關(guān)系，利用平面的法向量求線面角規(guī)范解答(1)證明以C為坐標原點，射線CD為x軸正半軸，射線CB為y軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.設D(1,0,0)，則A(2,2,0)，B(0,2,0)2分又設S(x，y，z)，則x>0，y>0，z>0.(x2，y2，z)，(x，y2，z)，(x1，y，z)，由|得，故x1.由|1得y2z21.又由|2得x2(y2)2z24，即y2z24y10.聯(lián)立得6分于是S(1，)，(1，)，(1，)，(0，)因為·0，·0，故DSAS，DSBS.又ASBSS，所以SD平面SAB.8分(2)解設平面SBC的法向量a(m，n，p)，則a，a，a·0，a·0.又(1，)，(0,2,0)，故取p2得a(，0,2)10分又(2,0,0)，cos，a，所以AB與平面SBC所成角的正弦值為.12分解后反思直線和平面的位置關(guān)系可以利用直線的方向向量和平面的法向量之間的關(guān)系來判斷證明的主要思路：(1)證明線線平行：可證兩條直線的方向向量共線；(2)證明線面平行：證明直線的方向向量和平面的法向量垂直，證明直線的方向向量可用平面內(nèi)的兩個不共線向量線性表示；(3)證明面面平行：可證兩個平面的法向量共線；(4)證明線線垂直：可證兩條直線的方向向量垂直；(5)證明線面垂直：證明直線的方向向量和平面內(nèi)的兩個不共線向量垂直，證明直線的方向向量與平面的法向量共線；(6)證明面面垂直：可證兩個平面的法向量互相垂直方法與技巧用向量知識證明立體幾何問題有兩種基本思路：一種是用向量表示幾何量，利用向量的運算進行判斷；另一種是用向量的坐標表示幾何量，共分三步：(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量(或坐標)表示問題中所涉及的點、線、面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運算，研究點、線、面之間的位置關(guān)系；(3)根據(jù)運算結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題失誤與防范用向量知識證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何中的定理如要證明線面平行，只需要證明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，即化歸為證明線線平行，用向量方法證明直線ab，只需證明向量ab(R)即可若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行，仍需強調(diào)直線在平面外A組專項基礎訓練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 已知平面內(nèi)有一點M(1，1,2)，平面的一個法向量為n(6，3,6)，則下列點P中，在平面內(nèi)的是 ()AP(2,3,3) BP(2,0,1)CP(4,4,0) DP(3，3,4)答案A解析逐一驗證法，對于選項A，(1,4,1)，·n61260，n，點P在平面內(nèi)，同理可驗證其他三個點不在平面內(nèi)2 已知空間三點A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)若|a|，且a分別與，垂直，則向量a為 ()A(1,1,1)B(1，1，1)C(1,1,1)或(1，1，1)D(1，1,1)或(1,1，1)答案C解析由條件知(2，1,3)，(1，3,2)，可觀察出a±(1,1,1)3 若直線l的一個方向向量為a(2,5,7)，平面的一個法向量為u(1,1，1)，則()Al或l BlCl Dl與斜交答案A4. 如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1，AD2，P為C1D1的中點，M為BC的中點則AM與PM的位置關(guān)系為()A平行 B異面C垂直 D以上都不對答案C解析以D點為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，依題意，可得，D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)(，2,0)(0,1，)(，1，)，(，2,0)(2，0,0)(，2,0)，·(，1，)·(，2,0)0，即，AMPM.二、填空題(每小題5分，共15分)5 設l1的方向向量為a(1,2，2)，l2的方向向量為b(2，3，m)，若l1l2，則m_.答案26 設點C(2a1，a1,2)在點P(2,0,0)、A(1，3,2)、B(8，1，4)確定的平面上，則a_.答案16解析(1，3,2)，(6，1,4)根據(jù)共面向量定理，設xy (x、yR)，則(2a1，a1,2)x(1，3,2)y(6，1,4)(x6y，3xy,2x4y)，解得x7，y4，a16.7. 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長為a，M、N分別為A1B和AC上的點，A1MAN，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是_答案平行解析正方體棱長為a，A1MAN，()().又是平面B1BCC1的法向量，··0，.又MN平面B1BCC1，MN平面B1BCC1.三、解答題(共22分)8 (10分)如圖，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，D為AB的中點，ACBCBB1.求證：(1)BC1AB1；(2)BC1平面CA1D.證明如圖，以C1點為原點，C1A1，C1B1，C1C所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系設ACBCBB12，則A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)(1)由于(0，2，2)，(2,2，2)，所以·0440，因此，故BC1AB1.(2)連接A1C，取A1C的中點E，連接DE，由于E(1,0,1)，所以(0,1,1)，又(0，2，2)，所以，又ED和BC1不共線，所以EDBC1，又DE平面CA1D，BC1平面CA1D，故BC1平面CA1D.9 (12分)如圖，在底面是矩形的四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點，PAAB1，BC2.求證：(1)EF平面PAB；(2)平面PAD平面PDC.證明(1)以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，E，F(xiàn)，(1,0，1)，(0,2，1)，(0,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，(1,0,0)，即EFAB，又AB平面PAB，EF平面PAB，EF平面PAB.(2)·(0,0,1)·(1,0,0)0，·(0,2,0)·(1,0,0)0，即APDC，ADDC.又APADA，DC平面PAD.DC平面PDC，平面PAD平面PDC.B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 已知a(1,1,1)，b(0,2，1)，cmanb(4，4,1)若c與a及b都垂直，則m，n的值分別為 ()A1,2 B1，2C1,2 D1，2答案A解析由已知得c(m4，m2n4，mn1)，故a·c3mn10，b·cm5n90.解得2 已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，則實數(shù)等于 ()A. B. C. D.答案D解析由題意得ctab(2t，t4，3t2)，.3. 如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線NO、AM的位置關(guān)系是()A平行B相交C異面垂直D異面不垂直答案C解析建立坐標系如圖，設正方體的棱長為2，則A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，(1,0，2)，(2,0,1)，·0，則直線NO、AM的位置關(guān)系是異面垂直二、填空題(每小題5分，共15分)4 已知平面和平面的法向量分別為a(1,1,2)，b(x，2，3)，且，則x_.答案4解析a·bx260，x4.5 已知a(2，1,2)，b(2,2,1)，則以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為_答案解析|a|3，|b|3，a·b2×2(1)×22×14，cosa，b，sina，b，S平行四邊形|a|b|·sina，b.6. 在正方體ABCDA1B1C1D1中，P為正方形A1B1C1D1四邊上的動點，O為底面正方形ABCD的中心，M，N分別為AB，BC的中點，點Q為平面ABCD內(nèi)一點，線段D1Q與OP互相平分，則滿足的實數(shù)的有_個答案2解析建立如圖的坐標系，設正方體的邊長為2，則P(x，y,2)，O(1,1,0)，OP的中點坐標為，又知D1(0,0,2)，Q(x1，y1,0)，而Q在MN上，xQyQ3，xy1，即點P坐標滿足xy1.有2個符合題意的點P，即對應有2個.三、解答題7 (13分)在四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為正方形，PDDC，E、F分別是AB、PB的中點(1)求證：EFCD；(2)在平面PAD內(nèi)求一點G，使GF平面PCB，并證明你的結(jié)論(1)證明如圖，以DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設ADa，則D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E、P(0,0，a)、F.，(0，a,0)·0，即EFCD.(2)解設G(x,0，z)，則，若使GF平面PCB，則由··(a,0,0)a0，得x；由··(0，a，a)a0，得z0.G點坐標為，即G點為AD的中點