2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 2.2 幾種常見的平面變換 2.2.6 切變變換教學(xué)案 蘇教版選修4-2

2．2.6　切變變換 1．由矩陣M＝或N＝確定的變換稱為切變變換，矩陣M，N稱為切變變換矩陣． 2．矩陣把平面上的點(x，y)沿x軸方向平移|ky|個單位．當(dāng)ky>0時，沿x軸正方向移動；當(dāng)ky<0時，沿x軸負(fù)方向移動；當(dāng)ky＝0時，保持不變，在此變換下，x軸上的點為不動點． 3．矩陣把平面上的點(x，y)沿y軸方向平移_|kx|個單位．當(dāng)kx＝0時，保持不變，在此變換下，y軸上的點為不動點． 求點或平面圖形在切變變換作用下的象　 [例1]　　畫出平行四邊形ABCD，其中A(0,0)，B(2,0)，C(4,1)，D(2,1)，在切變變換的作用下對應(yīng)的圖形，并指出在這個變換下的不變量． [思路點撥]　把平面上的點(x，y)沿x軸方向平移|ky|個單位，此題中k＝－2，故每個點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)沿x軸負(fù)方向平移2y個單位． [精解詳析]　變換矩陣是平行于x軸的切變變換矩陣，在這個變換下，平行四邊形上的每個點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)沿x軸的負(fù)方向平移2y個單位， 設(shè)變換后平行四邊形的頂點是A′，B′，C′，D′，則A′(0,0)，B′(2,0)，C′(2,1)，D′(0,1)，變換前后的圖形如圖所示，其中線段AB上的點為不變量． 解決此類問題的關(guān)鍵是確定變換前后點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，此關(guān)系的確定可通過矩陣與向量的乘法規(guī)則完成． 1．求直線x＝1在矩陣M＝所確定的變換作用下的象． 解：因為M＝→＝ ＝， 所以所以直線x＝1在矩陣所確定的變換的作用下的結(jié)果是直線x＋y－1＝0. 2．如圖所示，已知矩形ABCD，試求在矩陣對應(yīng)的變換作用下的圖形，并指出矩形區(qū)域ABCD在變換過程中的不變線段． 解：因為 ＝， ＝， ＝， ＝. 所以矩形ABCD在矩陣作用下變成了平行四邊形A′B′C′D′.這里A′(－2，－1)，B′(4,1)，C′(1,1)，D′(－5，－1)，如圖所示．線段EF為該切變變換下的不變線段． 求切變變換矩陣 [例2]　如圖，在切變變換下，平行四邊形ABCD變換為平行四邊形A′B′C′D′，試寫出這個切變變換的變換矩陣，指出其中的不變線段． [思路點撥]　觀察各點變換前后坐標(biāo)變化特點，易知是何種切變變換，確定k值． [精解詳析]　顯然A，B，C，D各點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)各自加上了－x，故這個切變變換的變換矩陣是，這個變換中只有平行四邊形中與y軸相交部分的線段是不變量． 這類試題既可以通過觀察，找到k值，也可以根據(jù)待定系數(shù)的方法確定k值，如例2根據(jù)點A(－3，－2)變換前后的坐標(biāo)可得1＝k(－3)＋(－2)，即得k＝－1.根據(jù)兩類切變變換的變換公式，平行于x軸的切變變換x軸上的點是不動點，平行于y軸的切變變換y軸上的點是不動點． 3．如圖已知正方形ABCD在矩陣M對應(yīng)的線性變換的作用下變成?A′B′C′D′，求矩陣M. 解：由圖知，A(0,0)變換為A′(0,0)，B(1,0)變換為B′(1,1)，C(1,1)變換為C′(1,2)，D(0,1)變換為D′(0,1)，從而可知變換T是沿y軸正方向平移1個單位的切變變換，在此變換下，y軸上的點為不動點，故可得M＝. 4．如圖所示，已知矩形ABCD在變換T的作用下變成圖形A′B′C′D′，試求變換T對應(yīng)的矩陣M. 解：從圖中可以看出，T是一個切變變換，且 T：→＝. 故T對應(yīng)的變換矩陣為M＝. 驗證如下： ＝， ＝， ＝， ＝. 所以矩形ABCD在矩陣的作用下變成了平行四邊形A′B′C′D′. 1．求圖形F＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2}在矩陣A＝對應(yīng)的線性變換作用下的圖形． 解：易知圖形F為正方形，如圖，其中，O(0,0)，A(2,0)，B(2,2)，C(0,2)， 設(shè)變換后的圖形為O′A′B′C′， 所以 ＝， ＝， ＝， ＝. 所以O(shè)′、A′、B′、C′的坐標(biāo)分別為(0,0)、(2,0)、(8,2)、(6,2)，于是O′A′＝(2,0)，C′B′＝(2,0)，O′C′＝(6,2)， ∴O′A′綊C′B′，又O′A′·O′C′≠0， 所以四邊形O′A′B′C′為平行四邊形． 2．已知直線l：y＝2x－1，變換T對應(yīng)的矩陣M＝，l在T變換下得到的圖像為l′.求l′的方程． 解：設(shè)P(x0，y0)是直線l上的任一點，該點在變換T對應(yīng)的矩陣M作用下對應(yīng)的點P′的坐標(biāo)為(x，y)． 則 ＝＝. ∴ ∴ ∵點P(x0，y0)在直線y＝2x－1上， ∴y＝2(x－y)－1，即2x－3y－1＝0. ∴所求的l′的方程為2x－3y－1＝0. 3．如圖所示，已知△ABC在變換T的作用下變成△A′B′C′，試求變換T對應(yīng)的矩陣M. 解：從△ABC到△A′B′C′對應(yīng)的是x軸方向上的切變變換，因為點A，B在x軸上，原地不變，注意到C(－1,1)→C′(1,1)，由此可知該變換使得橫坐標(biāo)依縱坐標(biāo)的比例為＝2.從而這個變換對應(yīng)的矩陣為. 4．設(shè)直線y＝2x在矩陣所確定的變換的作用下得到曲線F，求曲線F的解析式． 解：因為→＝ ＝， 所以? 代入y＝2x，整理得2x′－7y′＝0. 所以直線y＝2x在矩陣所確定的變換的作用下的結(jié)果是直線2x－7y＝0. 5．已知曲線F在矩陣確定的變換作用下所得到的曲線的方程為x＋y＝1，求曲線F的方程． 解：由＝ ＝ 得 代入直線x＋y＝1得曲線F的方程． 所以曲線F的方程為2x＋y＝1. 6．已知△ABC在變換T作用下變成△A′B′C′，其中A(－1,0)，B(1,0)，C(－1,1)，A′(－1,0)，B′(1,0)，C′(2,1)，試求變換T對應(yīng)的矩陣M. 解：由題意知，變換T是切變變換， 設(shè)M＝， 則 ＝， 即k＝3.所以M＝. 7.圖中的正方形，每接受一個矩陣命令就作一次圖形變換，從現(xiàn)在圖中位置，按M→N→P的順序依次完成一組變換，畫出每一次變換后的示意圖，這里M＝，N＝，P＝. 解： 8．對于一個平面圖形來說，在切變變換前后，它的幾何性質(zhì)(如線段長度、角度、周長、面積)有變化嗎？試以切變變換對應(yīng)的矩陣和平行四邊形ABCD為例加以說明，其中A(0,0)，B(2,2)，C(6,2)，D(4,0)． 解：設(shè)A、B、C、D四點在矩陣對應(yīng)的切變變換作用下依次得到A1，B1，C1，D1，則有： ＝， ＝， ＝， ＝， 所以平行四邊形ABCD在矩陣對應(yīng)的切變變換作用下得到平行四邊形A1B1C1D1(如圖所示)，其中A1(0，0)，B1(4,2)，C1(8,2)，D1(4,0)． 觀察圖形可知，切變變換后線段AD、BC的長度不變，線段AB和CD的長度改變，平行四邊形ABCD的四個角大小改變，周長也改變，但是面積沒有改變． 7