2022年高三數(shù)學大一輪復習 9.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教案 理 新人教A版

2022年高三數(shù)學大一輪復習 9.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考1.考查直線與圓的相交、相切問題，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；2.計算弦長、面積，考查與圓有關(guān)的最值；根據(jù)條件求圓的方程復習備考要這樣做1.會用代數(shù)法或幾何法判定點、直線與圓的位置關(guān)系；2.掌握圓的幾何性質(zhì)，通過數(shù)形結(jié)合法解決圓的切線、直線被圓截得的弦長等直線與圓的綜合問題，體會用代數(shù)法處理幾何問題的思想1 直線與圓的位置關(guān)系設直線l：AxByC0 (A2B20)，圓：(xa)2(yb)2r2 (r>0)，d為圓心(a，b)到直線l的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為.幾何法代數(shù)法相交d<r>0相切dr0相離d>r<02. 圓與圓的位置關(guān)系設圓O1：(xa1)2(yb1)2r(r1>0)，圓O2：(xa2)2(yb2)2r (r2>0). 方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況相離d>r1r2無解外切dr1r2一組實數(shù)解相交|r1r2|<d<r1r2兩組不同的實數(shù)解內(nèi)切d|r1r2|(r1r2)一組實數(shù)解內(nèi)含0d<|r1r2|(r1r2)無解難點正本疑點清源1 直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法的結(jié)合，“代數(shù)法”與“幾何法”是從不同的方面和思路來判斷的2 計算直線被圓截得的弦長的常用方法(1)幾何方法運用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計算(2)代數(shù)方法運用根與系數(shù)關(guān)系及弦長公式|AB|xAxB|.1 (xx·重慶)過原點的直線與圓x2y22x4y40相交所得弦的長為2，則該直線的方程為_答案2xy0解析圓的方程化為標準形式為(x1)2(y2)21，又相交所得弦長為2，故相交弦為圓的直徑，由此得直線過圓心(1,2)，故所求直線方程為2xy0.2 若圓x2y21與直線ykx2沒有公共點，則實數(shù)k的取值范圍為_答案(，)解析由圓與直線沒有公共點，可知圓的圓心到直線的距離大于半徑，也就是>1，解得<k<，即k(，)3 在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2y24上有且只有四個點到直線12x5yc0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是_答案(13,13)解析由題設得，若圓上有四個點到直線的距離為1，則需圓心(0,0)到直線的距離d滿足0d<1.d，0|c|<13，即c(13,13)4 從圓x22xy22y10外一點P(3,2)向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為()A. B. C. D0答案B解析圓的方程整理為(x1)2(y1)21，C(1,1)，sinAPC，則cosAPBcos 2APC12×2.5 圓C1：x2y22x2y20與圓C2：x2y24x2y10的公切線有且僅有()A1條 B2條 C3條 D4條答案B解析C1：(x1)2(y1)24，圓心C1(1，1)，半徑r12.C2：(x2)2(y1)24，圓心C2(2,1)，半徑r22.|C1C2|，|r1r2|0<|C1C2|<r1r24，兩圓相交，有兩條公切線.題型一直線與圓的位置關(guān)系例1已知直線l：ykx1，圓C：(x1)2(y1)212.(1)試證明：不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點；(2)求直線l被圓C截得的最短弦長思維啟迪：直線與圓的交點個數(shù)即為直線方程與圓方程聯(lián)立而成的方程組解的個數(shù)；最短弦長可用代數(shù)法或幾何法判定方法一(1)證明由消去y得(k21)x2(24k)x70，因為(24k)228(k21)>0，所以不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點(2)解設直線與圓交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，則直線l被圓C截得的弦長|AB|x1x2|22 ，令t，則tk24k(t3)0，當t0時，k，當t0時，因為kR，所以164t(t3)0，解得1t4，且t0，故t的最大值為4，此時|AB|最小為2.方法二(1)證明圓心C(1，1)到直線l的距離d，圓C的半徑R2，R2d212，而在S11k24k8中，(4)24×11×8<0，故11k24k8>0對kR恒成立，所以R2d2>0，即d<R，所以不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點(2)解由平面幾何知識，知|AB|22 ，下同方法一方法三(1)證明因為不論k為何實數(shù)，直線l總過點P(0，1)，而|PC|<2R，所以點P(0,1)在圓C的內(nèi)部，即不論k為何實數(shù)，直線l總經(jīng)過圓C內(nèi)部的定點P.所以不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點(2)解由平面幾何知識知過圓內(nèi)定點P(0,1)的弦，只有和AC (C為圓心)垂直時才最短，而此時點P(0,1)為弦AB的中點，由勾股定理，知|AB|22，即直線l被圓C截得的最短弦長為2.探究提高(1)利用圓心到直線的距離可判斷直線與圓的位置關(guān)系，也可利用直線的方程與圓的方程聯(lián)立后得到的一元二次方程的判別式來判斷直線與圓的位置關(guān)系；(2)勾股定理是解決有關(guān)弦問題的常用方法 (xx·安徽)若直線xy10與圓(xa)2y22有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是 ()A3，1 B1,3C3,1 D(，31，)答案C解析由題意知，圓心為(a,0)，半徑r.若直線與圓有公共點，則圓心到直線的距離小于或等于半徑，即，|a1|2.3a1.題型二圓與圓的位置關(guān)系例2a為何值時，圓C1：x2y22ax4ya250和圓C2：x2y22x2aya230.(1)外切；(2)相交；(3)外離；(4)內(nèi)切思維啟迪：(1)分別表示出兩圓的圓心坐標和半徑；(2)利用圓心距與兩圓半徑的關(guān)系求解解將兩圓方程寫成標準方程C1：(xa)2(y2)29，C2：(x1)2(ya)24.兩圓的圓心和半徑分別為C1(a，2)，r13，C2(1，a)，r22，設兩圓的圓心距為d，則d2(a1)2(2a)22a26a5.(1)當d5，即2a26a525時，兩圓外切，此時a5或a2.(2)當1<d<5，即1<2a26a5<25時，兩圓相交，此時5<a<2或1<a<2.(3)當d>5，即2a26a5>25時，兩圓外離，此時a>2或a<5.(4)當d1，即2a26a51時，兩圓內(nèi)切，此時a1或a2.探究提高判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法 已知圓C與圓C1：x2y22x0相外切，并且與直線l：xy0相切于點P(3，)，求圓C的方程解設所求圓的圓心為C(a，b)，半徑長為r，則圓C的標準方程為(xa)2(yb)2r2，C(a，b)在過點P且與l垂直的直線上，.又圓C與l相切于點P，r.圓C與圓C1相外切，r1.由得ab40，從而由可得|2a6|1，解得，或，此時，r2或r6.即所求的圓C的方程為(x4)2y24或x2(y4)236.題型三直線與圓的綜合問題例3已知M：x2(y2)21，Q是x軸上的動點，QA，QB分別切M于A，B兩點(1)若|AB|，求|MQ|、Q點的坐標以及直線MQ的方程；(2)求證：直線AB恒過定點思維啟迪：第(1)問利用平面幾何的知識解決；第(2)問設點Q的坐標，從而確定點A、B的坐標與AB的直線方程(1)解設直線MQ交AB于點P，則|AP|，又|AM|1，APMQ，AMAQ，得|MP|，又|MQ|，|MQ|3.設Q(x,0)，而點M(0,2)，由3，得x±，則Q點的坐標為(，0)或(，0)從而直線MQ的方程為2xy20或2xy20.(2)證明設點Q(q,0)，由幾何性質(zhì)，可知A、B兩點在以QM為直徑的圓上，此圓的方程為x(xq)y(y2)0，而線段AB是此圓與已知圓的公共弦，即為qx2y30，所以直線AB恒過定點.探究提高在解決直線與圓的位置關(guān)系時要充分考慮平面幾何知識的運用，如在直線與圓相交的有關(guān)線段長度計算中，要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長度放在一起綜合考慮，不要單純依靠代數(shù)計算，這樣既簡單又不容易出錯 已知點P(0,5)及圓C：x2y24x12y240.(1)若直線l過點P且被圓C截得的線段長為4，求l的方程；(2)求過P點的圓C的弦的中點的軌跡方程解(1)如圖所示，|AB|4，將圓C方程化為標準方程為(x2)2(y6)216，圓C的圓心坐標為(2,6)，半徑r4，設D是線段AB的中點，則CDAB，|AD|2，|AC|4.C點坐標為(2,6)在RtACD中，可得|CD|2.設所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y5kx，即kxy50.由點C到直線AB的距離公式：2，得k.故直線l的方程為3x4y200.又直線l的斜率不存在時，也滿足題意，此時方程為x0.所求直線l的方程為x0或3x4y200.(2)設過P點的圓C的弦的中點為D(x，y)，則CDPD，即·0，(x2，y6)·(x，y5)0，化簡得所求軌跡方程為x2y22x11y300.與圓有關(guān)的探索問題典例：(12分)已知圓C：x2y22x4y40.問在圓C上是否存在兩點A、B關(guān)于直線ykx1對稱，且以AB為直徑的圓經(jīng)過原點？若存在，寫出直線AB的方程；若不存在，說明理由審題視角(1)假設存在兩點A、B關(guān)于直線對稱，則直線過圓心(2)若以AB為直徑的圓過原點，則OAOB，轉(zhuǎn)化為·0.規(guī)范解答解圓C的方程可化為(x1)2(y2)29，圓心為C(1，2)假設在圓C上存在兩點A、B滿足條件，則圓心C(1，2)在直線ykx1上，即k1.3分于是可知，kAB1.設lAB：yxb，代入圓C的方程，整理得2x22(b1)xb24b40，則4(b1)28(b24b4)>0，即b26b9<0.解得33<b<33.7分設點A、B的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2b1，x1x2b22b2.由題意知OAOB，則有x1x2y1y20，也就是x1x2(x1b)(x2b)0.2x1x2b(x1x2)b20.10分b24b4b2bb20，化簡得b23b40.解得b4或b1，均滿足>0，即直線AB的方程為xy40，或xy10.12分答題模板第一步：假設符合要求的結(jié)論存在第二步：從條件出發(fā)(即假設)利用直線與圓的關(guān)系求解第三步：確定符合要求的結(jié)論存在或不存在第四步：給出明確結(jié)果第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點，易錯點及答題規(guī)范溫馨提醒(1)本題是與圓有關(guān)的探索類問題，要注意充分利用圓的幾何性質(zhì)答題(2)要注意解答這類題目的答題格式使答題過程完整規(guī)范(3)本題的易錯點是轉(zhuǎn)化方向不明確，思路不清晰方法與技巧1 過圓上一點(x0，y0)的圓的切線方程的求法先求切點與圓心連線的斜率k，由垂直關(guān)系知切線斜率為，由點斜式方程可求切線方程若切線斜率不存在，則由圖形寫出切線方程xx0.2 過圓外一點(x0，y0)的圓的切線方程的求法(1)幾何方法當斜率存在時，設為k，切線方程為yy0k(xx0)，即kxyy0kx00.由圓心到直線的距離等于半徑，即可得出切線方程(2)代數(shù)方法設切線方程為yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圓方程，得一個關(guān)于x的一元二次方程，由0，求得k，切線方程即可求出3 兩圓公共弦所在直線方程求法若兩圓相交時，把兩圓的方程作差消去x2和y2就得到兩圓的公共弦所在的直線方程4 圓的弦長的求法(1)幾何法：設圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則2r2d2.(2)代數(shù)法：設直線與圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，解方程組消y后得關(guān)于x的一元二次方程，從而求得x1x2，x1x2，則弦長為|AB|(k為直線斜率)失誤與防范1 求圓的弦長問題，注意應用圓的性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點連線與弦垂直的性質(zhì)，可以用勾股定理或斜率之積為1列方程來簡化運算2 過圓上一點作圓的切線有且只有一條；過圓外一點作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解A組專項基礎(chǔ)訓練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 “a3”是“直線yx4與圓(xa)2(y3)28相切”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案A解析若直線yx4與圓(xa)2(y3)28相切，則有2，即|a1|4，所以a3或5.但當a3時，直線yx4與圓(xa)2(y3)28一定相切，故“a3”是“直線yx4與圓(xa)2(y3)28相切”的充分不必要條件2 (xx·重慶)對任意的實數(shù)k，直線ykx1與圓x2y22的位置關(guān)系一定是()A相離 B相切C相交但直線不過圓心 D相交且直線過圓心答案C解析x2y22的圓心(0,0)到直線ykx1的距離d1，又r，0<d<r.直線與圓相交但直線不過圓心3 過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2y24y0所截得的弦長為()A. B2 C. D2答案D解析過原點且傾斜角為60°的直線方程為xy0，圓x2(y2)24的圓心(0,2)到直線的距離為d1，因此弦長為222.4 直線ykx3與圓(x2)2(y3)24相交于M，N兩點，若|MN|2，則k的取值范圍是()A. B.C. D.答案B解析如圖，若|MN|2，則由圓與直線的位置關(guān)系可知圓心到直線的距離滿足d222()21.直線方程為ykx3，d1，解得k±.若|MN|2，則k.二、填空題(每小題5分，共15分)5 設直線axy30與圓(x1)2(y2)24相交于A、B兩點，且弦AB的長為2，則a_.答案0解析d，由已知條件d234，即d1，1，解得a0.6 若圓x2y24與圓x2y22ay60 (a>0)的公共弦長為2，則a_.答案1解析方程x2y22ay60與x2y24.相減得2ay2，則y.由已知條件，即a1.7 (xx·江蘇)在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2y28x150，若直線ykx2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是_答案解析圓C的標準方程為(x4)2y21，圓心為(4,0)由題意知(4,0)到kxy20的距離應不大于2，即2.整理，得3k24k0.解得0k.故k的最大值是.三、解答題(共22分)8 (10分)求過點P(4，1)且與圓C：x2y22x6y50切于點M(1,2)的圓的方程解設所求圓的圓心為A(m，n)，半徑為r，則A，M，C三點共線，且有|MA|AP|r，因為圓C：x2y22x6y50的圓心為C(1,3)，則，解得m3，n1，r，所以所求圓的方程為(x3)2(y1)25.9 (12分)已知點A(1，a)，圓x2y24.(1)若過點A的圓的切線只有一條，求a的值及切線方程；(2)若過點A且在兩坐標軸上截距相等的直線與圓相切，求a的值及切線方程解(1)由于過點A的圓的切線只有一條，則點A在圓上，故12a24，a±.當a時，A(1，)，切線方程為xy40；當a時，A(1，)，切線方程為xy40，a時，切線方程為xy40，a時，切線方程為xy40.(2)設直線方程為xyb，由于直線過點A，1ab，直線方程為xy1a，即xya10.又直線與圓相切，d2，a±21.切線方程為xy20或xy20.B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 (xx·天津)設m，nR，若直線(m1)x(n1)y20與圓(x1)2(y1)21相切，則mn的取值范圍是()A1，1B(，11，)C22，22D(，2222，)答案D解析圓心(1,1)到直線(m1)x(n1)y20的距離為1，所以mn1mn(mn)2，所以mn22或mn22.2 (xx·江西)若曲線C1：x2y22x0與曲線C2：y(ymxm)0有四個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是 ()A(，) B(，0)(0，)C， D(，)(，)答案B解析C1：(x1)2y21，C2：y0或ymxmm(x1)當m0時，C2：y0，此時C1與C2顯然只有兩個交點；當m0時，要滿足題意，需圓(x1)2y21與直線ym(x1)有兩交點，當圓與直線相切時，m±，即直線處于兩切線之間時滿足題意，則<m<0或0<m<.綜上知<m<0或0<m<.3 (xx·大綱全國)設兩圓C1、C2都和兩坐標軸相切，且都過點(4,1)，則兩圓心的距離|C1C2|等于 ()A4 B4 C8 D8答案C解析兩圓與兩坐標軸都相切，且都經(jīng)過點(4,1)，兩圓圓心均在第一象限且橫、縱坐標相等設兩圓的圓心分別為(a，a)，(b，b)，則有(4a)2(1a)2a2，(4b)2(1b)2b2，即a，b為方程(4x)2(1x)2x2的兩個根，整理得x210x170，ab10，ab17.(ab)2(ab)24ab1004×1732，|C1C2|8.二、填空題(每小題5分，共15分)4 若過點A(a，a)可作圓x2y22axa22a30的兩條切線，則實數(shù)a的取值范圍為_答案(，3)解析圓方程可化為(xa)2y232a，由已知可得，解得a<3或1<a<.5 若過定點M(1,0)且斜率為k的直線與圓C：x24xy250在第一象限內(nèi)的部分有交點，則k的取值范圍是_答案(0，)解析圓的標準方程為(x2)2y29，令x0得圓與y軸的兩個交點為(0，±)，如圖，直線kAM.若過定點M(1,0)且斜率為k的直線與圓x24xy250在第一象限內(nèi)的部分有交點，則k的取值范圍是0<k<.6 過點M的直線l與圓C：(x1)2y24交于A、B兩點，C為圓心，當ACB最小時，直線l的方程為_答案2x4y30解析由題意得，當CMAB時，ACB最小，從而直線方程y1，即2x4y30.三、解答題7 (13分)已知以點A(1,2)為圓心的圓與直線l1：x2y70相切過點B(2，0)的動直線l與圓A相交于M，N兩點，Q是MN的中點(1)求圓A的方程；(2)當|MN|2時，求直線l的方程解(1)設圓A的半徑為R，由于圓A與直線l1：x2y70相切，R2.圓A的方程為(x1)2(y2)220.(2)當直線l與x軸垂直時，易知x2符合題意；當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為yk(x2)，即kxy2k0.連接AQ，則AQMN.|MN|2，|AQ|1，則由|AQ|1，得k，直線l：3x4y60.故直線l的方程為x2或3x4y60.