2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.5直線、平面垂直的判定與性質(zhì)教案 理 新人教A版

2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.5直線、平面垂直的判定與性質(zhì)教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考1.考查垂直關(guān)系的命題的判定；2.考查線線、線面、面面垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)；3.考查平行和垂直的綜合問題；4.考查空間想象能力，邏輯思維能力和轉(zhuǎn)化思想復(fù)習(xí)備考要這樣做1.熟記、理解線面垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)定理；2.解題中規(guī)范使用數(shù)學(xué)語言，嚴(yán)格證題過程；3.重視轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，解題中要以尋找線線垂直作為突破1 直線與平面垂直(1)判定直線和平面垂直的方法定義法利用判定定理：一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線和此平面垂直推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直這個(gè)平面(2)直線和平面垂直的性質(zhì)直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)任意直線垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行垂直于同一條直線的兩平面平行2 斜線和平面所成的角斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫斜線和平面所成的角3 平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的判定方法定義法利用判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直(2)平面與平面垂直的性質(zhì)兩平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面4 二面角的有關(guān)概念(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角(2)二面角的平面角：二面角棱上的一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理，即如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面是作點(diǎn)到平面距離的依據(jù)，要過平面外一點(diǎn)P作平面的垂線，通常是先作(找)一個(gè)過點(diǎn)P并且和垂直的平面，設(shè)l，在內(nèi)作直線al，則a.2 兩平面垂直的判定(1)兩個(gè)平面所成的二面角是直角；(2)一個(gè)平面經(jīng)過另一平面的垂線1 一平面垂直于另一平面的一條平行線，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是_答案垂直解析由線面平行的性質(zhì)定理知，該面必有一直線與已知直線平行，再根據(jù)“兩平行線中一條垂直于一平面，另一條也垂直于該平面”得出結(jié)論2. ABC中，ABC90°，PA平面ABC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是_答案43 、是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面及之外的兩條不同的直線，給出四個(gè)論斷：mn；n；m，以其中三個(gè)論斷作為條件，剩余的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題_答案可填與中的一個(gè)4 設(shè)a，b，c是三條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則ab的一個(gè)充分條件是()Aac，bc B，a，bCa，b Da，b答案C解析對于選項(xiàng)C，在平面內(nèi)作cb，因?yàn)閍，所以ac，故ab；A，B選項(xiàng)中，直線a，b可能是平行直線，也可能是異面直線；D選項(xiàng)中一定有ab.5 (xx·遼寧)如圖，四棱錐SABCD的底面為正方形，SD底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是 ()AACSBBAB平面SCDCSA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角DAB與SC所成的角等于DC與SA所成的角答案D解析易證AC平面SBD，因而ACSB，A正確；ABDC，DC平面SCD，故AB平面SCD，B 正確；由于SA，SC與平面SBD的相對位置一樣，因而所成的角相同.題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中點(diǎn)證明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.思維啟迪：第(1)問通過DC平面PAC證明；也可通過AE平面PCD得到結(jié)論；第(2)問利用線面垂直的判定定理證明直線PD與平面ABE內(nèi)的兩條相交直線垂直證明(1)在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60°，可得ACPA.E是PC的中點(diǎn)，AEPC.由(1)，知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB.又ABAD且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.探究提高破解此類問題的關(guān)鍵在于熟練把握空間垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)，注意平面圖形中的一些線線垂直關(guān)系的靈活利用，這是證明空間垂直關(guān)系的基礎(chǔ)由于“線線垂直”、“線面垂直”、“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個(gè)證明過程圍繞著線面垂直這個(gè)核心而展開，這是化解空間垂直關(guān)系難點(diǎn)的技巧所在 (xx·陜西)(1)如圖所示，證明命題“a是平面內(nèi)的一條直線，b是外的一條直線(b不垂直于)，c是直線b在上的投影，若ab，則ac”為真；(2)寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假(不需證明)(1)證明方法一如圖，過直線b上任一點(diǎn)作平面的垂線n，設(shè)直線a，b，c，n的方向向量分別是a，b，c，n，則b，c，n共面根據(jù)平面向量基本定理，存在實(shí)數(shù)，使得cbn，則a·ca·(bn)(a·b)(a·n)因?yàn)閍b，所以a·b0.又因?yàn)閍，n，所以a·n0.故a·c0，從而ac.方法二如圖，記cbA，P為直線b上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，過P作PO，垂足為O，則Oc.因?yàn)镻O，a，所以直線POa.又ab，b平面PAO，PObP，所以a平面PAO.又c平面PAO，所以ac.(2)解逆命題為a是平面內(nèi)的一條直線，b是外的一條直線(b不垂直于)，c是直線b在上的投影，若ac，則ab.逆命題為真命題題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2(xx·江蘇)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C)，且ADDE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)求證：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直線A1F平面ADE.思維啟迪：(1)證明兩個(gè)平面垂直，關(guān)鍵是在一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的一條直線；(2)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)是證明的突破點(diǎn)證明(1)因?yàn)锳BCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1AD.又因?yàn)锳DDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因?yàn)锳1B1A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)，所以A1FB1C1.因?yàn)镃C1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因?yàn)镃C1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.探究提高面面垂直的關(guān)鍵是線面垂直，線面垂直的證明方法主要有判定定理法、平行線法(若兩條平行線中一條垂直于這個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面)、面面垂直性質(zhì)定理法，本題就是用的面面垂直性質(zhì)定理法，這種方法是證明線面垂直、作線面角、二面角的一種核心方法 (xx·江蘇)如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60°，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點(diǎn)求證：(1)直線EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.證明(1)如圖，在PAD中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AP，AD的中點(diǎn)，所以EFPD.又因?yàn)镋F平面PCD，PD平面PCD，所以直線EF平面PCD.(2)連接BD.因?yàn)锳BAD，BAD60°，所以ABD為正三角形因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，所以BFAD.因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因?yàn)锽F平面BEF，所以平面BEF平面PAD.題型三線面、面面垂直的綜合應(yīng)用例3如圖所示，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等邊三角形，已知BD2AD8，AB2DC4.(1)設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，求證：平面MBD平面PAD；(2)求四棱錐PABCD的體積思維啟迪：(1)因?yàn)閮善矫娲怪迸cM點(diǎn)位置無關(guān)，所以在平面MBD內(nèi)一定有一條直線垂直于平面PAD，考慮證明BD平面PAD.(2)四棱錐底面為一梯形，高為P到面ABCD的距離(1)證明在ABD中，AD4，BD8，AB4，AD2BD2AB2.ADBD.又面PAD面ABCD，面PAD面ABCDAD，BD面ABCD，BD面PAD.又BD面BDM，面MBD面PAD.(2)解過P作POAD，面PAD面ABCD，PO面ABCD，即PO為四棱錐PABCD的高又PAD是邊長為4的等邊三角形，PO2.在底面四邊形ABCD中，ABDC，AB2DC，四邊形ABCD為梯形在RtADB中，斜邊AB邊上的高為，此即為梯形的高S四邊形ABCD×24.VPABCD×24×216.探究提高當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，常作的輔助線是在其中一個(gè)面內(nèi)作交線的垂線，把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而可以證明線線垂直 如圖所示，已知長方體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD為正方形，E為線段AD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BD1的中點(diǎn)，(1)求證：EF平面ABCD；(2)設(shè)M為線段C1C的中點(diǎn)，當(dāng)?shù)谋戎禐槎嗌贂r(shí)，DF平面D1MB？并說明理由(1)證明E為線段AD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BD1的中點(diǎn)，EFAB.EF平面ABCD，AB平面ABCD，EF平面ABCD.(2)解當(dāng)時(shí)，DF平面D1MB.ABCD是正方形，ACBD.D1D平面ABC，D1DAC.AC平面BB1D1D，ACDF.F，M分別是BD1，CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)MAC.DFFM.D1DAD，D1DBD.矩形D1DBB1為正方形F為BD1的中點(diǎn)，DFBD1.FMBD1F，DF平面D1MB.題型四線面角、二面角的求法例4如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中點(diǎn)(1)求PB和平面PAD所成的角的大?。?2)證明AE平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值思維啟迪：(1)先找出PB和平面PAD所成的角，線面角的定義要能靈活運(yùn)用；(2)可以利用線面垂直根據(jù)二面角的定義作角(1)解在四棱錐PABCD中，因PA底面ABCD，AB平面ABCD，故PAAB.又ABAD，PAADA，從而AB平面PAD，故PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA，從而APB為PB和平面PAD所成的角在RtPAB中，ABPA，故APB45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小為45°.(2)證明在四棱錐PABCD中，因PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA.由條件CDAC，PAACA，CD平面PAC.又AE平面PAC，AECD.由PAABBC，ABC60°，可得ACPA.E是PC的中點(diǎn)，AEPC.又PCCDC，綜上得AE平面PCD.(3)解過點(diǎn)E作EMPD，垂足為M，連接AM，如圖所示由(2)知，AE平面PCD，AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM，則AMPD.因此AME是二面角APDC的平面角由已知，可得CAD30°.設(shè)ACa，可得PAa，ADa，PDa，AEa.在RtADP中，AMPD，AM·PDPA·AD，則AMa.在RtAEM中，sinAME.所以二面角APDC的正弦值為.探究提高(1)求直線與平面所成的角的一般步驟：找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；計(jì)算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解(2)作二面角的平面角可以通過垂線法進(jìn)行，在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角 正方體ABCDA1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為()A. B. C. D.答案D解析如圖，連接BD交AC于O，連接D1O，由于BB1DD1，DD1與平面ACD1所成的角就是BB1與平面ACD1所成的角易知DD1O即為所求設(shè)正方體的棱長為1，則DD11，DO，D1O，cos DD1O.BB1與平面ACD1所成角的余弦值為.解答過程要規(guī)范典例：(12分)如圖所示，M，N，K分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中點(diǎn)求證：(1)AN平面A1MK；(2)平面A1B1C平面A1MK.審題視角(1)要證線面平行，需證線線平行(2)要證面面垂直，需證線面垂直，要證線面垂直，需證線線垂直規(guī)范解答證明(1)如圖所示，連接NK.在正方體ABCDA1B1C1D1中，四邊形AA1D1D，DD1C1C都為正方形，AA1DD1，AA1DD1，C1D1CD，C1D1CD.2分N，K分別為CD，C1D1的中點(diǎn)，DND1K，DND1K，四邊形DD1KN為平行四邊形3分KNDD1，KNDD1，AA1KN，AA1KN.四邊形AA1KN為平行四邊形ANA1K.4分A1K平面A1MK，AN平面A1MK，AN平面A1MK.6分(2)如圖所示，連接BC1.在正方體ABCDA1B1C1D1中，ABC1D1，ABC1D1.M，K分別為AB，C1D1的中點(diǎn)，BMC1K，BMC1K.四邊形BC1KM為平行四邊形MKBC1.8分在正方體ABCDA1B1C1D1中，A1B1平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，A1B1BC1.MKBC1，A1B1MK.四邊形BB1C1C為正方形，BC1B1C.10分MKB1C.A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，A1B1B1CB1，MK平面A1B1C.又MK平面A1MK，平面A1MK平面A1B1C.12分溫馨提醒(1)步驟規(guī)范是答題得滿分的最后保證，包括使用定理的嚴(yán)謹(jǐn)性，書寫過程的流暢性(2)本題證明常犯錯(cuò)誤：定理應(yīng)用不嚴(yán)謹(jǐn)如：要證AN平面A1MK，必須強(qiáng)調(diào)AN平面A1MK.解題過程不完整，缺少關(guān)鍵步驟，如第(1)問中，應(yīng)先證四邊形ANKA1為平行四邊形第(2)問中，缺少必要的條件，使思維不嚴(yán)謹(jǐn)，過程不流暢方法與技巧1 證明線面垂直的方法(1)線面垂直的定義：a與內(nèi)任何直線都垂直a；(2)判定定理1：l；(3)判定定理2：ab，ab；(4)面面平行的性質(zhì)：，aa；(5)面面垂直的性質(zhì)：，l，a，ala.2 證明線線垂直的方法(1)定義：兩條直線所成的角為90°；(2)平面幾何中證明線線垂直的方法；(3)線面垂直的性質(zhì)：a，bab；(4)線面垂直的性質(zhì)：a，bab.3 證明面面垂直的方法(1)利用定義：兩個(gè)平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.4 轉(zhuǎn)化思想：垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化在證明兩平面垂直時(shí)一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過作輔助線來解決失誤與防范1在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化2面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依據(jù)我們要作一個(gè)平面的一條垂線，通常是先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面，在這個(gè)垂面中，作交線的垂線即可A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 設(shè)l，m是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是()A若lm，m，則lB若l，lm，則mC若l，m，則lmD若l，m，則lm答案B解析若lm，m，則l與可能平行、相交或l；若l，lm，則m；若l，m，則l與m可能平行或異面；若l，m，則l與m可能平行、相交或異面，故只有B選項(xiàng)正確2 已知平面與平面相交，直線m，則()A內(nèi)必存在直線與m平行，且存在直線與m垂直B內(nèi)不一定存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直C內(nèi)不一定存在直線與m平行，但必存在直線與m垂直D內(nèi)必存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直答案C解析如圖，在平面內(nèi)的直線若與，的交線a平行，則有m與之垂直但卻不一定在內(nèi)有與m平行的直線，只有當(dāng)時(shí)才存在3 已知m是平面的一條斜線，點(diǎn)A，l為過點(diǎn)A的一條動(dòng)直線，那么下列情形可能出現(xiàn)的是 ()Alm，l Blm，lClm，l Dlm，l答案C解析設(shè)m在平面內(nèi)的射影為n，當(dāng)ln且與無公共點(diǎn)時(shí)，lm，l.4 正方體ABCDABCD中，E為AC的中點(diǎn)，則直線CE垂直于()AAC BBD CAD DAA答案B解析連接BD，BDAC，BDCC，且ACCCC，BD平面CCE.而CE平面CCE，BDCE.又BDBD，BDCE.二、填空題(每小題5分，共15分)5. 如圖，BAC90°，PC平面ABC，則在ABC，PAC的邊所在的直線中：與PC垂直的直線有_；與AP垂直的直線有_答案AB，BC，ACAB解析PC平面ABC，PC垂直于直線AB，BC，AC；ABAC，ABPC，AB平面PAC，ABPC.與AP垂直的直線是AB.6. 如圖，PA圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E、F分別是點(diǎn)A在PB、PC上的正投影，給出下列結(jié)論：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中正確結(jié)論的序號是_答案解析由題意知PA平面ABC，PABC.又ACBC，PAACA，BC平面PAC.BCAF.AFPC，BCPCC，AF平面PBC，AFPB，AFBC. 又AEPB，AEAFA，PB平面AEF.PBEF.故正確7 已知平面，和直線m，給出條件：m；m；m；.當(dāng)滿足條件_時(shí)，有m.(填所選條件的序號)答案解析若m，則m.三、解答題(共22分)8 (10分)如圖所示，在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，A1B1A1C1，側(cè)面BB1C1C底面A1B1C1.(1)若D是BC的中點(diǎn)，求證：ADCC1；(2)過側(cè)面BB1C1C的對角線BC1的平面交側(cè)棱于M，若AMMA1，求證：截面MBC1側(cè)面BB1C1C.證明(1)ABAC，D是BC的中點(diǎn)，ADBC.底面ABC側(cè)面BB1C1C，AD側(cè)面BB1C1C，ADCC1.(2)如圖，延長B1A1與BM的延長線交于點(diǎn)N，連接C1N.AMMA1，MA1綊BB1，NA1A1B1.A1B1A1C1，A1C1A1NA1B1，NC1C1B1.底面NB1C1側(cè)面BB1C1C，C1N側(cè)面BB1C1C，截面C1NB側(cè)面BB1C1C，即截面MBC1側(cè)面BB1C1C.9 (12分)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是CD、A1D1的中點(diǎn)(1)求證：AB1BF；(2)求證：AEBF；(3)棱CC1上是否存在點(diǎn)P，使BF平面AEP？若存在，確定點(diǎn)P的位置，若不存在，說明理由(1)證明連接A1B，則AB1A1B，又AB1A1F，且A1BA1FA1，AB1平面A1BF.又BF平面A1BF，AB1BF.(2)證明取AD中點(diǎn)G，連接FG，BG，則FGAE，又BAGADE，ABGDAE.AEBG.又BGFGG，AE平面BFG.又BF平面BFG，AEBF.(3)解存在取CC1中點(diǎn)P，即為所求連接EP，AP，C1D，EPC1D，C1DAB1，EPAB1.由(1)知AB1BF，BFEP.又由(2)知AEBF，且AEEPE，BF平面AEP.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 已知l，m是不同的兩條直線，是不重合的兩個(gè)平面，則下列命題中為真命題的是()A若l，則lB若l，則lC若lm，m，則lD若l，m，則lm答案D解析l，l.又m，lm.2 (xx·浙江)已知矩形ABCD，AB1，BC，將ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中 ()A存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直B存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直C存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直D對任意位置，三對直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直答案B解析找出圖形在翻折過程中變化的量與不變的量對于選項(xiàng)A，過點(diǎn)A作AEBD，垂足為E，過點(diǎn)C作CFBD，垂足為F，在圖(1)中，由邊AB，BC不相等可知點(diǎn)E，F(xiàn)不重合在圖(2)中，連接CE，若直線AC與直線BD垂直，又ACAEA，BD面ACE，BDCE，與點(diǎn)E，F(xiàn)不重合相矛盾，故A錯(cuò)誤對于選項(xiàng)B，若ABCD，又ABAD，ADCDD，AB面ADC，ABAC，由AB<BC可知存在這樣的等腰直角三角形，使得直線AB與直線CD垂直，故B正確對于選項(xiàng)C，若ADBC，又DCBC，ADDCD，BC面ADC，BCAC.已知BC，AB1，BC>AB，不存在這樣的直角三角形C錯(cuò)誤由上可知D錯(cuò)誤，故選B.3 已知三棱錐SABC中，底面ABC為邊長等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC，SA3，那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為 ()A. B. C. D.答案D解析如圖所示，過點(diǎn)A作ADBC于點(diǎn)D，連接SD；作AGSD于點(diǎn)G，連接GB.SA底面ABC，ABC為等邊三角形，BCSA，BCAD.BC平面SAD.又AG平面SAD，AGBC.又AGSD，AG平面SBC.ABG即為直線AB與平面SBC所成的角AB2，SA3，AD，SD2.在RtSAD中，AG，sinABG.二、填空題(每小題5分，共15分)4 已知P為ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA、PB、PC兩兩垂直，則下列命題：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正確的個(gè)數(shù)是_答案3解析如圖所示PAPC、PAPB，PCPBP，PA平面PBC.又BC平面PBC，PABC.同理PBAC、PCAB.但AB不一定垂直于BC.5 在正四棱錐PABCD中，PAAB，M是BC的中點(diǎn)，G是PAD的重心，則在平面PAD中經(jīng)過G點(diǎn)且與直線PM垂直的直線有_條答案無數(shù)解析設(shè)正四棱錐的底面邊長為a，(如圖)則側(cè)棱長為a.由PMBC，PMa.連接PG并延長與AD相交于N點(diǎn)，則PNa，MNABa，PM2PN2MN2，PMPN，又PMAD，PNADN，PM面PAD，在平面PAD中經(jīng)過G點(diǎn)的任意一條直線都與PM垂直6 已知a、b、l表示三條不同的直線，、表示三個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：若a，b，且ab，則；若a、b相交，且都在、外，a，a，b，b，則；若，a，b，ab，則b；若a，b，la，lb，l，則l.其中正確命題的序號是_答案解析在正方體A1B1C1D1ABCD中，可令平面A1B1CD為，平面DCC1D1為，平面A1B1C1D1為，又平面A1B1CD平面DCC1D1CD，平面A1B1C1D1平面DCC1D1C1D1，則CD與C1D1所在的直線分別表示a，b，因?yàn)镃DC1D1，但平面A1B1CD與平面A1B1C1D1不平行，即與不平行，故錯(cuò)誤因?yàn)閍、b相交，假設(shè)其確定的平面為，根據(jù)a，b，可得.同理可得，因此，正確由兩平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線和另一個(gè)平面垂直，易知正確當(dāng)ab時(shí)，l垂直于平面內(nèi)兩條不相交直線，不可得出l，錯(cuò)誤三、解答題7 (13分)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BC，A1AC60°，A1AACBC1，A1B.(1)求證：平面A1BC平面ACC1A1；(2)如果D為AB中點(diǎn)，求證：BC1平面A1CD.證明(1)因?yàn)锳1AC60°，A1AAC1，所以A1AC為等邊三角形所以A1C1.因?yàn)锽C1，A1B，所以A1C2BC2A1B2.所以A1CB90°，即A1CBC.因?yàn)锽CA1A，BCA1C，AA1A1CA1，所以BC平面ACC1A1.因?yàn)锽C平面A1BC，所以平面A1BC平面ACC1A1.(2)連接AC1交A1C于點(diǎn)O，連接OD.因?yàn)锳CC1A1為平行四邊形，所以O(shè)為AC1的中點(diǎn)因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)DBC1.因?yàn)镺D平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.