2022年高三數(shù)學 專題5 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習

2022年高三數(shù)學 專題5 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習一、前測訓練1(1)若tan，(，)，則sin ，cos 答案：； (2)已知tana 2，則 ，sin2a2sinacosa2 答案：；2 (3)已知sincos，(0，)，則cossin ，tan 答案：；2 (1) 函數(shù)的定義域為 答案：k ，k (2) 函數(shù)的值域為 答案： ，1 (3) 函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為 答案：， (4)函數(shù) 的對稱軸為 ；中心對稱點為 答案：x；(，0)3(1)函數(shù)y2sin2xsinxcosx 3 cos2x的值域為 答案：， (2)函數(shù)y4sin2x12cosx1 x Î ， 的值域為 答案：13，8 (3)函數(shù)ysinxcosx2sinxcosx2(x0，)的值域為 答案：，3 (4)函數(shù)y的值域為 答案：0，)提示：方法一：看作斜率，數(shù)形結(jié)合處理； 方法二：導數(shù)法處理 4(1)已知函數(shù)yAsin(2x)的對稱軸為x，則的值為 答案：k (2)已知函數(shù)ycos(2x)為奇函數(shù)，求的值為 答案：k5已知函數(shù)(其中)的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最低點為，則的解析式 答案：f(x)2sin(2x)二、方法聯(lián)想1三角函數(shù)求值(1) 知一求其余三角函數(shù)值；(2)關于sin與cos的齊次式，同除cosa或cos2a，如果不是齊次，借助1sin2cos2構造齊次(3)sincos，sincos，sincos間關系式sincossincossincossin和costansin2注意 根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值正負無法確定正負時可根據(jù)三角函數(shù)值的正負(或與特殊角的三角函數(shù)值)縮小角的范圍2yAsin(x)的性質(zhì)對于yAsin(x)，將x看成整體，轉(zhuǎn)化為由ysinx，解決其定義域、值域、對稱軸、中心對稱點問題形如yasin2xbsinxcosxccos2x的形式方法 先利用降冪公式化為一次形式，將用輔助角公式化為yAsin(2x)形式求值域形如含有 sin2x，cosx(或sinx)和cos2x，sinx(或cosx)形式；含有sinx±cosx，sinxcosx方法 利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)值域問題形如分子、分母含有sinx，cosx的一次形式方法1 化為sin(x)M形式，再得用三角函數(shù)的有界性(|sinx|1，|cosx|1)求值域方法2 導數(shù)法3求f(x)Asin(wxj)B(A0)的解析式方法 (1)由周期T得w；(2)由得 (3)將點代入求j(盡量代入最高點或最低點)4三角函數(shù)對稱問題方法 對于函數(shù)yAsin(x)或yAcos(x)若xx0為對稱軸Ûf(x0)±A若(x0，0)為中心對稱點Ûf(x0)0推論：對于函數(shù)yAsin(x)或yAcos(x)若函數(shù)yf(x)為偶函數(shù)Ûf(0)±A若函數(shù)yf(x)為奇函數(shù)Ûf(0)0三、例題分析第一層次例1、已知函數(shù)f(x)sin(x)(0，0)是R上的偶函數(shù)，其圖象關于點M對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)(1)求的值；(2)求的值解：(1)(2)或2.教學建議(1)主要問題歸類與方法： 三角函數(shù)圖象軸對稱問題 函數(shù)f(x)sin(x)(0，0)是R上的偶函數(shù)，說明f(x)的圖象關于y軸對稱方法選擇與優(yōu)化建議：從f(x)為偶函數(shù)很容易得到f(0)sin ±1，從而有k，這個結(jié)論要讓學生理解并推理，不需要記憶(2)主要問題歸類與方法： 三角函數(shù)圖象中心對稱問題函數(shù)f(x)sin(x)(0，0)圖象關于點M對稱方法選擇與優(yōu)化建議：從f0，可以得到cos0，于是k，k(kZ)再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導出的值例2、設函數(shù)(1)求的最小正周期 (2)若函數(shù)與的圖像關于直線對稱，求當時的最大值解：(1)的最小正周期為8 (2)最大值為教學建議(1)主要問題歸類與方法： 求三角函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間、最值等性質(zhì)的問題化為yAsin(x)形式，使得函數(shù)式中只含有一個一次的三角函數(shù) 方法選擇與優(yōu)化建議：采用展開、降冪等方法“化一”(2)主要問題歸類與方法： 求三角函數(shù)的最值問題常用的方法有化為只含有一個一次的三角函數(shù)yAsin(x)形式；通過換元等辦法將函數(shù)化為二次函數(shù)處理方法選擇與優(yōu)化建議：由第一問知道，本題可以化為只含有一個一次的三角函數(shù)yAsin(x)形式，所以選擇方便例3、某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD 的頂點A，B 及CD的中點P 處，已知AB20km，CB 10km ，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD 的區(qū)域上(含邊界)，且A，B 與等距離的一點O 處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO，BO，OP ，設排污管道的總長為km(1)設BAO(rad)，將表示成的函數(shù)關系式；(2)請你選用(1)中的函數(shù)關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短解 (1) (2)點P 位于線段AB 的中垂線上，且距離AB 邊km處教學建議(2)主要問題歸類與方法： 求三角函數(shù)的最值問題化為只含有一個一次的三角函數(shù)yAsin(x)形式，或者通過換元等辦法將函數(shù)化為二次函數(shù)等方法都無法解決函數(shù)的最值問題方法選擇與優(yōu)化建議：選擇利用導數(shù)法求最值第二層次例1 已知函數(shù)(1)若，求的最大值和最小值；(2)若，求的值解(1) (2)2教學建議(1)主要問題歸類與方法： 求三角函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間、最值等性質(zhì)的問題化為yAsin(x)形式，使得函數(shù)式中只含有一個一次的三角函數(shù) 方法選擇與優(yōu)化建議：采用輔助角的方法“化一”，在求最值得時候特別要注意角的范圍，要防止學生只是將兩個端點代入計算(2)主要問題歸類與方法： 三角函數(shù)求值 知一求其余三角函數(shù)值； 關于sin與cos的齊次式，同除cosa或cos2a，如果不是齊次，借助1sin2cos2構造齊次方法選擇與優(yōu)化建議：對于方法，從已知的tanx值可以求得sinx、cosx的值，但是由于題目沒有給定角x的范圍，所以采用這個方法的話，就需要分類討論，解決起來比較麻煩，不宜采用由于可以化為sin與cos的齊次式，所以選擇方便 例2 已知向量a(3sin，cos)，b(2sin， 5sin4cos)，()，且ab (1)求tan的值；(2)求cos()的值解 (1) tan(2) 教學建議(1)主要問題歸類與方法： 三角函數(shù)求值 知一求其余三角函數(shù)值； 關于sin與cos的齊次式，同除cosa或cos2a，如果不是齊次，借助1sin2cos2構造齊次方法選擇與優(yōu)化建議：ab化簡后得到sin與cos的齊次式，同除以cos2a求得tan值，所以選擇方法方便(2)主要問題歸類與方法： 三角變換問題 方法選擇與優(yōu)化建議：注意條件已知角與未知角之間的聯(lián)系，從化到例3 已知函數(shù)f(x)sin(x)(0，0)是R上的偶函數(shù)，其圖象關于點M對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)(1)求的值；(2)求的值解 (1) (2)或2.教學建議(1)主要問題歸類與方法： 三角函數(shù)圖象軸對稱問題 函數(shù)f(x)sin(x)(0，0)是R上的偶函數(shù)，說明f(x)的圖象關于y軸對稱方法選擇與優(yōu)化建議：從f(x)為偶函數(shù)很容易得到f(0)sin ±1，從而有k，這個結(jié)論要讓學生理解并推理，不需要記憶(2)主要問題歸類與方法： 三角函數(shù)圖象中心對稱問題函數(shù)f(x)sin(x)(0，0)圖象關于點M對稱方法選擇與優(yōu)化建議：從f0，可以得到cos0，于是k，k(kZ)再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導出的值第三層次例1 已知函數(shù)(1)若，求的最大值和最小值；(2)若，求的值解(1) (2)2教學建議(1)主要問題歸類與方法： 求三角函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間、最值等性質(zhì)的問題化為yAsin(x)形式，使得函數(shù)式中只含有一個一次的三角函數(shù) 方法選擇與優(yōu)化建議：采用輔助角的方法“化一”，在求最值得時候特別要注意角的范圍，要防止學生只是將兩個端點代入計算(2)主要問題歸類與方法： 三角函數(shù)求值 知一求其余三角函數(shù)值； 關于sin與cos的齊次式，同除cosa或cos2a，如果不是齊次，借助1sin2cos2構造齊次方法選擇與優(yōu)化建議：對于方法，從已知的tanx值可以求得sinx、cosx的值，但是由于題目沒有給定角x的范圍，所以采用這個方法的話，就需要分類討論，解決起來比較麻煩，不宜采用由于可以化為sin與cos的齊次式，所以選擇方便 例2 設函數(shù)(1)求的最小正周期 (2)若函數(shù)與的圖像關于直線對稱，求當時的最大值解 (1)的最小正周期為8 (2)最大值為教學建議(1)主要問題歸類與方法： 求三角函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間、最值等性質(zhì)的問題化為yAsin(x)形式，使得函數(shù)式中只含有一個一次的三角函數(shù) 方法選擇與優(yōu)化建議：采用展開、降冪等方法“化一”(2)主要問題歸類與方法： 求三角函數(shù)的最值問題常用的方法有化為只含有一個一次的三角函數(shù)yAsin(x)形式；通過換元等辦法將函數(shù)化為二次函數(shù)處理方法選擇與優(yōu)化建議：由第一問知道，本題可以化為只含有一個一次的三角函數(shù)yAsin(x)形式，所以選擇方便例3 已知函數(shù)f(x)sin(x)(0，0)是R上的偶函數(shù)，其圖象關于點M對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)(1)求的值；(2)求的值解（1）；（2）或2.教學建議(1)主要問題歸類與方法： 三角函數(shù)圖象軸對稱問題 函數(shù)f(x)sin(x)(0，0)是R上的偶函數(shù)，說明f(x)的圖象關于y軸對稱方法選擇與優(yōu)化建議：從f(x)為偶函數(shù)很容易得到f(0)sin ±1，從而有k，這個結(jié)論要讓學生理解并推理，不需要記憶(2)主要問題歸類與方法： 三角函數(shù)圖象中心對稱問題函數(shù)f(x)sin(x)(0，0)圖象關于點M對稱方法選擇與優(yōu)化建議：從f0，可以得到cos0，于是k，k(kZ)再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導出的值四、反饋練習