2022年高考數(shù)學二輪專題復習 數(shù)列02檢測試題

2022年高考數(shù)學二輪專題復習 數(shù)列02檢測試題1.若數(shù)列滿足：對于，都有（常數(shù)），則稱數(shù)列是公差為的準等差數(shù)列如：若 則是公差為的準等差數(shù)列（1）求上述準等差數(shù)列的第項、第項以及前項的和；（2）設(shè)數(shù)列滿足：，對于，都有求證：為準等差數(shù)列，并求其通項公式；（3）設(shè)（2）中的數(shù)列的前項和為，若，求的取值范圍【答案】解：（1）， （2分） （4分）（2） -得 所以，為公差為2的準等差數(shù)列 （2分）當為奇數(shù)時，； （2分）當為偶數(shù)時， （2分） （3）解一：在中，有32各奇數(shù)項，31各偶數(shù)項，所以， （4分）， （2分）解二：當為偶數(shù)時， 將上面各式相加，得 （4分）， （2分）2.設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項和為，已知(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項公式；(2)是否存在，使得，若存在，求出的值；若不存在請說明理由；(3)證明：對任意，都有【答案】（文）(1)，當時，兩式相減得， 2分，又，是以為首項，為公差的等差數(shù)列2分 1分(2) 由(1)知， 2分假設(shè)正整數(shù)滿足條件， 則 ， 解得； 3分(3) 2分于是 2分 3分 1分3.設(shè)，等差數(shù)列中，記=，令，數(shù)列的前n項和為.（1）求的通項公式和；（2）求證：；（3）是否存在正整數(shù)，且，使得成等比數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.【答案】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由,.解得，=3 ， 2分 4分， Sn=. 6分（2） 8分 10分（3）由(2)知， ，成等比數(shù)列. 12分 即 當時，7，=1，不合題意；當時，=16，符合題意；當時，無正整數(shù)解；當時，無正整數(shù)解；當時，無正整數(shù)解；當時，無正整數(shù)解；15分當時， ，則，而，所以，此時不存在正整數(shù)m,n,且1<m<n,使得成等比數(shù)列. 17分綜上，存在正整數(shù)m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比數(shù)列. 18分另解： （3）由(2)知， ， 成等比數(shù)列. ， 12分取倒數(shù)再化簡得 當時，=16，符合題意； 14分， 而， 所以，此時不存在正整數(shù)m、n , 且1<m<n,使得成等比數(shù)列. 17分 綜上，存在正整數(shù)m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比數(shù)列. 18分4.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列的前項和為，滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）寫出一個正整數(shù)，使得是數(shù)列的項；（3）設(shè)數(shù)列的通項公式為，問：是否存在正整數(shù)和（），使得，成等差數(shù)列？若存在，請求出所有符合條件的有序整數(shù)對；若不存在，請說明理由【答案】（1）設(shè)數(shù)列的首項為，公差為，由已知，有 ，（2分）解得，（3分）所以的通項公式為（）（4分）（2）當時，所以（1分）由，得，兩式相減，得，故，（2分）所以，是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以（3分），（4分）要使是中的項，只要即可，可?。?分）（只要寫出一個的值就給分，寫出，也給分）（3）由（1）知，（1分）要使，成等差數(shù)列，必須，即，（2分）化簡得（3分）因為與都是正整數(shù)，所以只能取，（4分）當時，；當時，；當時，（5分）綜上可知，存在符合條件的正整數(shù)和，所有符合條件的有序整數(shù)對為：，（6分）5.等比數(shù)列滿足，數(shù)列滿足（1）求的通項公式；（5分）（2）數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項和求；（5分）（3）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有 的值；若不存在，請說明理由（6分）【答案】解：（1）解：，所以公比 2分計算出 3分 4分 5分（2） 6分于是 8分= 10分（3）假設(shè)否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列，則， 12分可得， 由分子為正，解得， 由，得，此時， 當且僅當，時，成等比數(shù)列。 16分6. 已知數(shù)列，記, , ，并且對于任意，恒有成立（1）若，且對任意，三個數(shù)組成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；（2）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列【答案】解：（1） ，所以為等差數(shù)列。 （2）（必要性）若數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，則，所以A(n)、B(n)、C(n)組成公比為q的等比數(shù)列。（充分性）：若對于任意，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列，則，于是得即 由有即，從而.因為，所以，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列。 綜上，數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列的充要條件是對任意的，都有A(n)、B(n)、C(n)組成公比為q的等比數(shù)列。7.對于數(shù)列，從中選取若干項，不改變它們在原來數(shù)列中的先后次序，得到的數(shù)列稱為是原來數(shù)列的一個子數(shù)列. 某同學在學習了這一個概念之后，打算研究首項為,公差為的無窮等差數(shù)列的子數(shù)列問題，為此，他取了其中第一項，第三項和第五項.(1) 若成等比數(shù)列,求的值；(2) 在, 的無窮等差數(shù)列中，是否存在無窮子數(shù)列，使得數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，請給出數(shù)列的通項公式并證明；若不存在，說明理由；(3) 他在研究過程中猜想了一個命題：“對于首項為正整數(shù)，公比為正整數(shù)()的無窮等比數(shù) 列,總可以找到一個子數(shù)列,使得構(gòu)成等差數(shù)列”. 于是，他在數(shù)列中任取三項，由與的大小關(guān)系去判斷該命題是否正確. 他將得到什么結(jié)論？【答案】(1)由a32=a1a5， .2分即(a1+2d)2=a1(a1+4d)，得d=0. .4分 (2) 解：an=1+3(n-1)，如bn=4n-1便為符合條件的一個子數(shù)列. .7分因為bn=4n-1=(1+3)n-1=1+3+32+3n-1=1+3M, .9分這里M=+3+3n-2為正整數(shù)，所以,bn=1+3M =1+3 (M+1)-1是an中的第M+1項，得證. .11分 (注：bn的通項公式不唯一) (3) 該命題為假命題. .12分由已知可得,因此,又,故 , .15分由于是正整數(shù)，且，則,又是滿足的正整數(shù)，則,所以，> ,從而原命題為假命題. .18分8.在平面直角坐標系中，點滿足，且；點滿足，且，其中（1）求的坐標，并證明點在直線上；（2）記四邊形的面積為，求的表達式；（3）對于（2）中的，是否存在最小的正整數(shù)，使得對任意都有成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由【答案】（1）由已知條件得，,所以2分，則設(shè)，則，所以；2分即滿足方程，所以點在直線上. 1分（證明在直線上也可以用數(shù)學歸納法證明.）（2）由（1）得 1分 設(shè)，則，所以， 逐差累和得，所以2分設(shè)直線與軸的交點，則，2分（3）由（2），于是， 2分數(shù)列中項的最大值為，則,即最小的正整數(shù)的值為，所以，存在最小的自然數(shù)，對一切都有成立.2分9. 設(shè)數(shù)列滿足且（）,前項和為已知點, ,都在直線上(其中常數(shù)且,， ),又 （1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列； （2）若，求實數(shù)，的值； （3）如果存在、，使得點和點都在直線上問 是否存在正整數(shù)，當時，恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，請說明理由【答案】（1）因為點都在直線上，所以，得， 2分其中 3分因為常數(shù)，且，所以為非零常數(shù)所以數(shù)列是等比數(shù)列 4分（2）由，得， 7分所以，得 8分由在直線上，得， 9分令得 10分（3）由知恒成立等價于因為存在、，使得點和點都在直線上由與做差得： 12分易證是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則有，因為，所以，又由，而得得 即：數(shù)列是首項為正，公差為負的等差數(shù)列，所以一定存在一個最小自然數(shù)， 16分使，, 即 解得因為，所以，即存在自然數(shù)，其最小值為，使得當 時，恒成立 18分10.已知遞增的等差數(shù)列的首項，且、成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列對任意，都有成立，求的值（3）在數(shù)列中，且滿足，求下表中前行所有數(shù)的和. 【答案】（1）是遞增的等差數(shù)列，設(shè)公差為 1分、成等比數(shù)列， 2分由 及得 3分 4分（2）， 對都成立當時，得 5分當時，由，及得，得 7分 8分 10分(3) 又 13分 14分第行各數(shù)之和16分表中前行所有數(shù)的和 18分