2022年高考數(shù)學二輪專題復習 數(shù)列02檢測試題
2022年高考數(shù)學二輪專題復習 數(shù)列02檢測試題1.若數(shù)列滿足:對于,都有(常數(shù)),則稱數(shù)列是公差為的準等差數(shù)列如:若 則是公差為的準等差數(shù)列(1)求上述準等差數(shù)列的第項、第項以及前項的和;(2)設(shè)數(shù)列滿足:,對于,都有求證:為準等差數(shù)列,并求其通項公式;(3)設(shè)(2)中的數(shù)列的前項和為,若,求的取值范圍【答案】解:(1), (2分) (4分)(2) -得 所以,為公差為2的準等差數(shù)列 (2分)當為奇數(shù)時,; (2分)當為偶數(shù)時, (2分) (3)解一:在中,有32各奇數(shù)項,31各偶數(shù)項,所以, (4分), (2分)解二:當為偶數(shù)時, 將上面各式相加,得 (4分), (2分)2.設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù),前項和為,已知(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列,并求其通項公式;(2)是否存在,使得,若存在,求出的值;若不存在請說明理由;(3)證明:對任意,都有【答案】(文)(1),當時,兩式相減得, 2分,又,是以為首項,為公差的等差數(shù)列2分 1分(2) 由(1)知, 2分假設(shè)正整數(shù)滿足條件, 則 , 解得; 3分(3) 2分于是 2分 3分 1分3.設(shè),等差數(shù)列中,記=,令,數(shù)列的前n項和為.(1)求的通項公式和;(2)求證:;(3)是否存在正整數(shù),且,使得成等比數(shù)列?若存在,求出的值,若不存在,說明理由.【答案】解:(1)設(shè)數(shù)列的公差為,由,.解得,=3 , 2分 4分, Sn=. 6分(2) 8分 10分(3)由(2)知, ,成等比數(shù)列. 12分 即 當時,7,=1,不合題意;當時,=16,符合題意;當時,無正整數(shù)解;當時,無正整數(shù)解;當時,無正整數(shù)解;當時,無正整數(shù)解;15分當時, ,則,而,所以,此時不存在正整數(shù)m,n,且1<m<n,使得成等比數(shù)列. 17分綜上,存在正整數(shù)m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比數(shù)列. 18分另解: (3)由(2)知, , 成等比數(shù)列. , 12分取倒數(shù)再化簡得 當時,=16,符合題意; 14分, 而, 所以,此時不存在正整數(shù)m、n , 且1<m<n,使得成等比數(shù)列. 17分 綜上,存在正整數(shù)m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比數(shù)列. 18分4.設(shè)等差數(shù)列的前項和為,且,數(shù)列的前項和為,滿足(1)求數(shù)列的通項公式;(2)寫出一個正整數(shù),使得是數(shù)列的項;(3)設(shè)數(shù)列的通項公式為,問:是否存在正整數(shù)和(),使得,成等差數(shù)列?若存在,請求出所有符合條件的有序整數(shù)對;若不存在,請說明理由【答案】(1)設(shè)數(shù)列的首項為,公差為,由已知,有 ,(2分)解得,(3分)所以的通項公式為()(4分)(2)當時,所以(1分)由,得,兩式相減,得,故,(2分)所以,是首項為,公比為的等比數(shù)列,所以(3分),(4分)要使是中的項,只要即可,可?。?分)(只要寫出一個的值就給分,寫出,也給分)(3)由(1)知,(1分)要使,成等差數(shù)列,必須,即,(2分)化簡得(3分)因為與都是正整數(shù),所以只能取,(4分)當時,;當時,;當時,(5分)綜上可知,存在符合條件的正整數(shù)和,所有符合條件的有序整數(shù)對為:,(6分)5.等比數(shù)列滿足,數(shù)列滿足(1)求的通項公式;(5分)(2)數(shù)列滿足,為數(shù)列的前項和求;(5分)(3)是否存在正整數(shù),使得成等比數(shù)列?若存在,求出所有 的值;若不存在,請說明理由(6分)【答案】解:(1)解:,所以公比 2分計算出 3分 4分 5分(2) 6分于是 8分= 10分(3)假設(shè)否存在正整數(shù),使得成等比數(shù)列,則, 12分可得, 由分子為正,解得, 由,得,此時, 當且僅當,時,成等比數(shù)列。 16分6. 已知數(shù)列,記, , ,并且對于任意,恒有成立(1)若,且對任意,三個數(shù)組成等差數(shù)列,求數(shù)列的通項公式;(2)證明:數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是:對任意,三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列【答案】解:(1) ,所以為等差數(shù)列。 (2)(必要性)若數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列,則,所以A(n)、B(n)、C(n)組成公比為q的等比數(shù)列。(充分性):若對于任意,三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列,則,于是得即 由有即,從而.因為,所以,故數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列。 綜上,數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列的充要條件是對任意的,都有A(n)、B(n)、C(n)組成公比為q的等比數(shù)列。7.對于數(shù)列,從中選取若干項,不改變它們在原來數(shù)列中的先后次序,得到的數(shù)列稱為是原來數(shù)列的一個子數(shù)列. 某同學在學習了這一個概念之后,打算研究首項為,公差為的無窮等差數(shù)列的子數(shù)列問題,為此,他取了其中第一項,第三項和第五項.(1) 若成等比數(shù)列,求的值;(2) 在, 的無窮等差數(shù)列中,是否存在無窮子數(shù)列,使得數(shù)列為等比數(shù)列?若存在,請給出數(shù)列的通項公式并證明;若不存在,說明理由;(3) 他在研究過程中猜想了一個命題:“對于首項為正整數(shù),公比為正整數(shù)()的無窮等比數(shù) 列,總可以找到一個子數(shù)列,使得構(gòu)成等差數(shù)列”. 于是,他在數(shù)列中任取三項,由與的大小關(guān)系去判斷該命題是否正確. 他將得到什么結(jié)論?【答案】(1)由a32=a1a5, .2分即(a1+2d)2=a1(a1+4d),得d=0. .4分 (2) 解:an=1+3(n-1),如bn=4n-1便為符合條件的一個子數(shù)列. .7分因為bn=4n-1=(1+3)n-1=1+3+32+3n-1=1+3M, .9分這里M=+3+3n-2為正整數(shù),所以,bn=1+3M =1+3 (M+1)-1是an中的第M+1項,得證. .11分 (注:bn的通項公式不唯一) (3) 該命題為假命題. .12分由已知可得,因此,又,故 , .15分由于是正整數(shù),且,則,又是滿足的正整數(shù),則,所以,> ,從而原命題為假命題. .18分8.在平面直角坐標系中,點滿足,且;點滿足,且,其中(1)求的坐標,并證明點在直線上;(2)記四邊形的面積為,求的表達式;(3)對于(2)中的,是否存在最小的正整數(shù),使得對任意都有成立?若存在,求的值;若不存在,請說明理由【答案】(1)由已知條件得,,所以2分,則設(shè),則,所以;2分即滿足方程,所以點在直線上. 1分(證明在直線上也可以用數(shù)學歸納法證明.)(2)由(1)得 1分 設(shè),則,所以, 逐差累和得,所以2分設(shè)直線與軸的交點,則,2分(3)由(2),于是, 2分數(shù)列中項的最大值為,則,即最小的正整數(shù)的值為,所以,存在最小的自然數(shù),對一切都有成立.2分9. 設(shè)數(shù)列滿足且(),前項和為已知點, ,都在直線上(其中常數(shù)且,, ),又 (1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列; (2)若,求實數(shù),的值; (3)如果存在、,使得點和點都在直線上問 是否存在正整數(shù),當時,恒成立?若存在,求出的最小值,若不存在,請說明理由【答案】(1)因為點都在直線上,所以,得, 2分其中 3分因為常數(shù),且,所以為非零常數(shù)所以數(shù)列是等比數(shù)列 4分(2)由,得, 7分所以,得 8分由在直線上,得, 9分令得 10分(3)由知恒成立等價于因為存在、,使得點和點都在直線上由與做差得: 12分易證是等差數(shù)列,設(shè)其公差為,則有,因為,所以,又由,而得得 即:數(shù)列是首項為正,公差為負的等差數(shù)列,所以一定存在一個最小自然數(shù), 16分使,, 即 解得因為,所以,即存在自然數(shù),其最小值為,使得當 時,恒成立 18分10.已知遞增的等差數(shù)列的首項,且、成等比數(shù)列(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列對任意,都有成立,求的值(3)在數(shù)列中,且滿足,求下表中前行所有數(shù)的和. 【答案】(1)是遞增的等差數(shù)列,設(shè)公差為 1分、成等比數(shù)列, 2分由 及得 3分 4分(2), 對都成立當時,得 5分當時,由,及得,得 7分 8分 10分(3) 又 13分 14分第行各數(shù)之和16分表中前行所有數(shù)的和 18分