2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 7.4基本不等式教案 理 新人教A版

2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 7.4基本不等式教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考1.利用基本不等式求最值、證明不等式；2.利用基本不等式解決實(shí)際問題復(fù)習(xí)備考要這樣做1.注意基本不等式求最值的條件；2.在復(fù)習(xí)過程中注意轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想的應(yīng)用1 基本不等式(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)2 幾個(gè)重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同號(hào))(3)ab2 (a，bR)(4)2 (a，bR)3 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)4 利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值是2.(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值是.(簡(jiǎn)記：和定積最大)難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正各項(xiàng)均為正；二定積或和為定值；三相等等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤2 運(yùn)用公式解題時(shí)，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab； (a，b>0)逆用就是ab2 (a，b>0)等還要注意“添、拆項(xiàng)”技巧和公式等號(hào)成立的條件等3 對(duì)使用基本不等式時(shí)等號(hào)取不到的情況，可考慮使用函數(shù)yx(m>0)的單調(diào)性1 若x>0，y>0，且xy18，則xy的最大值是_答案81解析由于x>0，y>0，則xy2，所以xy281，當(dāng)且僅當(dāng)xy9時(shí)，xy取到最大值81.2 已知t>0，則函數(shù)y的最小值為_答案2解析t>0，yt4242，且在t1時(shí)取等號(hào)3 已知x>0，y>0，且2xy1，則的最小值是_答案8解析因?yàn)?2xy)4428，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)y，x時(shí)成立4 (xx·浙江)若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是 ()A. B. C5 D6答案C解析x>0，y>0，由x3y5xy得1.3x4y(3x4y)×25(當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)取等號(hào))，3x4y的最小值為5.5 圓x2y22x4y10關(guān)于直線2axby20 (a，bR)對(duì)稱，則ab的取值范圍是()A. B.C. D.答案A解析由題可知直線2axby20過圓心(1,2)，故可得ab1，又因ab2 (ab時(shí)取等號(hào))故ab的取值范圍是.題型一利用基本不等式證明簡(jiǎn)單不等式例1已知x>0，y>0，z>0.求證：8.思維啟迪：由題意，先局部運(yùn)用基本不等式，再利用不等式的性質(zhì)即可得證證明x>0，y>0，z>0，>0，>0，>0，8.當(dāng)且僅當(dāng)xyz時(shí)等號(hào)成立探究提高利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問題 已知a>0，b>0，c>0，且abc1.求證：9.證明a>0，b>0，c>0，且abc1，3332229，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，取等號(hào)題型二利用基本不等式求最值例2(1)已知x>0，y>0，且2xy1，則的最小值為_；(2)當(dāng)x>0時(shí)，則f(x)的最大值為_思維啟迪：利用基本不等式求最值可以先對(duì)式子進(jìn)行必要的變換如第(1)問把中的“1”代換為“2xy”，展開后利用基本不等式；第(2)問把函數(shù)式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式答案(1)32(2)1解析(1)x>0，y>0，且2xy1，332.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)(2)x>0，f(x)1，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x1時(shí)取等號(hào) (1)已知x>0，y>0，x2y2xy8，則x2y的最小值是()A3 B4 C. D.(2)已知a>b>0，則a2的最小值是_答案(1)B(2)16解析(1)依題意，得(x1)(2y1)9，(x1)(2y1)26，即x2y4.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立x2y的最小值是4.(2)a>b>0，b(ab)2，當(dāng)且僅當(dāng)a2b時(shí)等號(hào)成立a2a2a2216，當(dāng)且僅當(dāng)a2時(shí)等號(hào)成立當(dāng)a2，b時(shí)，a2取得最小值16.題型三基本不等式的實(shí)際應(yīng)用例3某單位建造一間地面面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長(zhǎng)度x不得超過5 m房屋正面的造價(jià)為400元/m2，房屋側(cè)面的造價(jià)為150元/m2，屋頂和地面的造價(jià)費(fèi)用合計(jì)為5 800元，如果墻高為3 m，且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用當(dāng)側(cè)面的長(zhǎng)度為多少時(shí)，總造價(jià)最低？思維啟迪：用長(zhǎng)度x表示出造價(jià)，利用基本不等式求最值即可還應(yīng)注意定義域0<x5；函數(shù)取最小值時(shí)的x是否在定義域內(nèi)，若不在定義域內(nèi)，不能用基本不等式求最值，可以考慮單調(diào)性解由題意可得，造價(jià)y3(2x×150×400)5 8009005 800 (0<x5)，則y9005 800900×25 80013 000(元)，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x4時(shí)取等號(hào)故當(dāng)側(cè)面的長(zhǎng)度為4米時(shí)，總造價(jià)最低 (xx·北京)某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲(chǔ)時(shí)間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲(chǔ)費(fèi)用為1元為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品 ()A60件 B80件 C100件 D120件答案B解析設(shè)每件產(chǎn)品的平均費(fèi)用為y元，由題意得y220.當(dāng)且僅當(dāng)(x>0)，即x80時(shí)“”成立，故選B.忽視最值取得的條件致誤典例：(12分)已知a、b均為正實(shí)數(shù)，且ab1，求y的最小值易錯(cuò)分析在求最值時(shí)兩次使用基本不等式，其中的等號(hào)不能同時(shí)成立，導(dǎo)致最小值不能取到審題視角(1)求函數(shù)最值問題，可以考慮利用基本不等式，但是利用基本不等式，必須保證“正、定、等”，而且還要符合已知條件(2)可以考慮利用函數(shù)的單調(diào)性，但要注意變量的取值范圍規(guī)范解答解方法一y22222.10分當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，y取最小值，最小值為.12分方法二yabababab2.6分令tab2，即t.又f(t)t在上是單調(diào)遞減的，10分當(dāng)t時(shí)，f(t)min，此時(shí)，ab.當(dāng)ab時(shí)，y有最小值.12分溫馨提醒(1)這類題目考生總感到比較容易下手但是解這類題目卻又常常出錯(cuò)(2)利用基本不等式求最值，一定要注意應(yīng)用條件：即一正、二定、三相等否則求解時(shí)會(huì)出現(xiàn)等號(hào)成立、條件不具備而出錯(cuò)(3)本題出錯(cuò)的原因前面已分析，關(guān)鍵是忽略了等號(hào)成立的條件.方法與技巧1 基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式，解決問題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇好利用基本不等式的切入點(diǎn)2 恒等變形：為了利用基本不等式，有時(shí)對(duì)給定的代數(shù)式要進(jìn)行適當(dāng)變形比如：(1)當(dāng)x>2時(shí)，x(x2)2224.(2)0<x<，x(83x)(3x)(83x)2.失誤與防范1使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對(duì)其前提“一正、二定、三相等”的忽視要利用基本不等式求最值，這三個(gè)條件缺一不可2在運(yùn)用重要不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足重要不等式中“正”“定”“等”的條件3連續(xù)使用公式時(shí)取等號(hào)的條件很嚴(yán)格，要求同時(shí)滿足任何一次的字母取值存在且一致A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 (xx·陜西)設(shè)0<a<b，則下列不等式中正確的是()Aa<b<< Ba<<<bCa<<b< D.<a<<b答案B解析0<a<b，a<<b，A、C錯(cuò)誤；a()>0，即>a，D錯(cuò)誤，故選B.2 (xx·福建)下列不等式一定成立的是()Alg>lg x(x>0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.>1(xR)答案C解析當(dāng)x>0時(shí)，x22·x·x，所以lglg x(x>0)，故選項(xiàng)A不正確；而當(dāng)xk，kZ時(shí)，sin x的正負(fù)不定，故選項(xiàng)B不正確；由基本不等式可知，選項(xiàng)C正確；當(dāng)x0時(shí)，有1，故選項(xiàng)D不正確3 設(shè)x，yR，a>1，b>1，若axby3，ab2，則的最大值為()A2 B. C1 D.答案C解析由axby3，得：xloga3，ylogb3，由a>1，b>1知x>0，y>0，log3alog3blog3ablog321，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)“”成立，則的最大值為1.4 已知0<x<1，則x(33x)取得最大值時(shí)x的值為 ()A. B. C. D.答案B解析0<x<1，1x>0.x(33x)3x(1x)32.當(dāng)x1x，即x時(shí)取等號(hào)二、填空題(每小題5分，共15分)5 已知x，yR，且滿足1，則xy的最大值為_答案3解析x>0，y>0且12，xy3.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)6 (xx·湖南)設(shè)x，yR，且xy0，則·的最小值為_答案9解析54x2y2529，當(dāng)且僅當(dāng)x2y2時(shí)“”成立7 某公司一年需購(gòu)買某種貨物200噸，平均分成若干次進(jìn)行購(gòu)買，每次購(gòu)買的運(yùn)費(fèi)為2萬元，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用數(shù)值(單位：萬元)恰好為每次的購(gòu)買噸數(shù)數(shù)值，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則每次購(gòu)買該種貨物的噸數(shù)是_答案20解析設(shè)每次購(gòu)買該種貨物x噸，則需要購(gòu)買次，則一年的總運(yùn)費(fèi)為×2，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為x，所以一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用為x240，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x20時(shí)等號(hào)成立，故要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每次應(yīng)購(gòu)買該種貨物20噸三、解答題(共22分)8 (10分)已知a>0，b>0，ab1，求證：(1)8；(2)9.證明(1)2，ab1，a>0，b>0，2224，8(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立)(2)方法一a>0，b>0，ab1，112，同理，12，52549.9(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立)方法二1.由(1)知，8，故19.9 (12分)為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬為2 m的無蓋長(zhǎng)方體沉淀箱(如圖所示)，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱的底長(zhǎng)為a m，高度為b m已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分別與a，b的乘積成反比，現(xiàn)有制箱材料60 m2.問：當(dāng)a，b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小(A，B孔的面積忽略不計(jì))?解方法一設(shè)y為流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則y，其中k>0為比例系數(shù)，依題意，求使y值最小的a，b的值根據(jù)題設(shè)，有4b2ab2a60 (a>0，b>0)，解得b (0<a<30)于是y，當(dāng)且僅當(dāng)a2時(shí)等號(hào)成立，y取得最小值這時(shí)a6或a10(舍)，將其代入式，得b3.故當(dāng)a為6 m，b為3 m時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小方法二依題意，求使ab值最大的a，b的值由題設(shè)，知4b2ab2a60 (a>0，b>0)，即a2bab30 (a>0，b>0)因?yàn)閍2b2，所以2·ab30，當(dāng)且僅當(dāng)a2b時(shí)，上式取等號(hào)由a>0，b>0，解得0<ab18，即當(dāng)a2b時(shí)，ab取得最大值，其最大值為18.所以2b218，解得b3，進(jìn)而求得a6.故當(dāng)a為6 m，b為3 m時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 不等式a2b22|ab|成立時(shí)，實(shí)數(shù)a，b一定是()A正數(shù) B非負(fù)數(shù) C實(shí)數(shù) D不存在答案C解析原不等式可變形為a2b22|ab|a|2|b|22|ab|(|a|b|)20，對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立2 如果0<a<b<1，Plog，Q(logalogb)，Mlog(ab)，那么P，Q，M的大小順序是 ()AP>Q>M BQ>P>MCQ>M>P DM>Q>P答案B解析因?yàn)镻log，Q(logalogb)，Mlog(ab)，所以只需比較，的大小，顯然>.又因?yàn)?lt;(因?yàn)閍b>，也就是<1)，所以>>，而對(duì)數(shù)函數(shù)當(dāng)?shù)讛?shù)大于0且小于1時(shí)為減函數(shù)，故Q>P>M.3 函數(shù)yloga(x3)1 (a>0，且a1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mxny10上，其中m，n均大于0，則的最小值為()A2 B4 C8 D16答案C解析點(diǎn)A(2，1)，所以2mn1.所以(2mn)48，當(dāng)且僅當(dāng)n2m，即m，n時(shí)等號(hào)成立二、填空題(每小題5分，共15分)4 若正實(shí)數(shù)x，y滿足2xy6xy，則xy的最小值是_答案18解析由x>0，y>0,2xy6xy，得xy26(當(dāng)且僅當(dāng)2xy時(shí)，取“”)，即()2260，(3)·()0.又>0，3，即xy18.xy的最小值為18.5 已知m、n、s、tR，mn2，9，其中m、n是常數(shù)，且st的最小值是，滿足條件的點(diǎn)(m，n)是圓(x2)2(y2)24中一弦的中點(diǎn)，則此弦所在的直線方程為_答案xy20解析因(st)mnmn2，所以mn24，從而mn1，得mn1，即點(diǎn)(1,1)，而已知圓的圓心為(2,2)，所求弦的斜率為1，從而此弦的方程為xy20.6 定義“*”是一種運(yùn)算，對(duì)于任意的x，y，都滿足x*yaxyb(xy)，其中a，b為正實(shí)數(shù)，已知1.答案1解析12a3b2，ab.當(dāng)且僅當(dāng)2a3b，即a1時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)a1時(shí)，ab取最大值.三、解答題7 (13分)甲、乙兩地相距s千米，一船由甲地逆水勻速行駛至乙地，水速為常量p(單位：千米/小時(shí))，船在靜水中的最大速度為q千米/小時(shí)(q>p)已知船每小時(shí)的燃料費(fèi)用(單位：元)與船在靜水中的速度v(單位：千米/小時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為k.(1)把全程燃料費(fèi)用y(單位：元)表示為船在靜水中的速度v的函數(shù)，并求出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)為了使全程燃料費(fèi)用最小，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為多少？解(1)由題意，知船每小時(shí)的燃料費(fèi)用是kv2，全程航行時(shí)間為，于是全程燃料費(fèi)用ykv2· (p<vq)(2)由(1)，知ykv2·ks·ksvpksvp2pks22p4ksp(當(dāng)且僅當(dāng)vp，即v2p時(shí)等號(hào)成立)當(dāng)2p(p，q，即2pq時(shí)，ymin4ksp，此時(shí)船的前進(jìn)速度為2ppp；當(dāng)2p(p，q，即2p>q時(shí)，函數(shù)ykv2·在(p，q內(nèi)單調(diào)遞減，所以yminks·，此時(shí)船的前進(jìn)速度為qp.故為了使全程燃料費(fèi)用最小，當(dāng)2pq時(shí)，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為p千米/小時(shí)；當(dāng)2p>q時(shí)，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為(qp)千米/小時(shí)