2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例學(xué)案 新人教A版選修4-5

二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例1.掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的常用方法與技巧2.理解貝努利不等式3能綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法與數(shù)列、三角函數(shù)等知識(shí)進(jìn)行不等式的證明,學(xué)生用書P57)1數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的不等式的步驟證明：當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)nk(kN，且kn0)時(shí)結(jié)論成立，證明當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論也成立由可知命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的重點(diǎn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的重點(diǎn)在第二步(同時(shí)也是難點(diǎn)所在)，即假設(shè)f(k)>g(k)成立，證明f(k1)>g(k1)成立2貝努利不等式(1)定義：如果x是實(shí)數(shù)，且x>1，x0，n為大于1的自然數(shù)，那么有(1x)n>1nx(2)貝努利不等式的一般形式當(dāng)是實(shí)數(shù)，并且滿足>1或<0時(shí)，有(1x)1x(x>1)；當(dāng)是實(shí)數(shù)，并且滿足0<<1時(shí)，有(1x)1x(x>1)1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n1n2n2(nN)”，第一步的驗(yàn)證為2111212.()(2)設(shè)x>1，且x0，n為大于1的自然數(shù)，則(1x)n<1nx.()(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“>”，當(dāng)n1時(shí)，不等式左邊的項(xiàng)為.()答案：(1)(2)×(3)2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式>的過程中，由nk遞推到nk1時(shí)不等式左邊應(yīng)()A增加了一項(xiàng)B增加了兩項(xiàng)C增加了B中兩項(xiàng)但減少了一項(xiàng)D以上各種情況均不對(duì)答案：C3用數(shù)學(xué)歸納法證明：1<2(n2，nN)時(shí)第一步需要證明()A1<2B1<2C1<2D1<2答案：C4用數(shù)學(xué)歸納法證明“1<n(nN，n>1)”時(shí)，由nk(k>1)不等式成立，推證nk1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是_解析：左邊的特點(diǎn)：分母逐項(xiàng)增加1，末項(xiàng)為；由nk，末項(xiàng)為到nk1，末項(xiàng)為，所以應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)為2k.答案：2k用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)函數(shù)中的不等關(guān)系學(xué)生用書P58已知f(x).對(duì)于nN，試比較f()與的大小并說明理由【解】據(jù)題意f(x)1，所以f()1，又1，所以要比較f()與的大小，只需比較2n與n2的大小即可，當(dāng)n1時(shí)，212>121，當(dāng)n2時(shí)，22422，當(dāng)n3時(shí)，238<329，當(dāng)n4時(shí)，241642，當(dāng)n5時(shí)，2532>5225，當(dāng)n6時(shí)，2664>6236.故猜測(cè)當(dāng)n5(nN)時(shí)，2n>n2，下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明(1)當(dāng)n5時(shí)，命題顯然成立(2)假設(shè)nk(k5，且kN)時(shí)，不等式成立即2k>k2(k5)，則當(dāng)nk1時(shí)，2k12·2k>2·k2k2k22k12k1(k1)2(k1)22>(k1)2，(k1)2>2)由(1)(2)可知，對(duì)一切n5，nN，2n>n2成立綜上所述，當(dāng)n1或n5時(shí)，f()>；當(dāng)n2或4時(shí)，f()；當(dāng)n3時(shí)，f()<.利用數(shù)學(xué)歸納法解決比較大小問題的方法利用數(shù)學(xué)歸納法比較大小，關(guān)鍵是先用不完全歸納法歸納出兩個(gè)量的大小關(guān)系，猜測(cè)出證明的方向，再用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立 已知函數(shù)f(x)x3x，數(shù)列an滿足條件：a11，an1f(an1)試比較與1的大小，并說明理由解：<1.理由如下：因?yàn)閒(x)x21，an1f(an1)，所以an1(an1)21.因?yàn)楹瘮?shù)g(x)(x1)21x22x在區(qū)間1，)上單調(diào)遞增，所以由a11，得a2(a11)21221，進(jìn)而得a3(a21)21241>231，由此猜想：an2n1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想：當(dāng)n1時(shí)，a12111，猜想成立；假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)猜想成立，即ak2k1，則當(dāng)nk1時(shí)，由g(x)(x1)21在區(qū)間1，)上單調(diào)遞增知，ak1(ak1)2122k12k11，即nk1時(shí)，猜想也成立由，知，對(duì)任意nN*，都有an2n1，即1an2n.所以.所以1<1.用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式學(xué)生用書P59已知an是等差數(shù)列，首項(xiàng)a13，前n項(xiàng)和為Sn，令cn(1)nSn(nN*)，cn的前20項(xiàng)和T20330.數(shù)列bn是公比為q的等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Wn，且b12，q3a9.(1)求數(shù)列an、bn的通項(xiàng)公式；(2)證明：(3n1)WnnWn1(nN)【解】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因?yàn)閏n(1)nSn，所以T20S1S2S3S4S20330.則a2a4a6a20330.則10(3d)×2d330，解得d3，所以an33(n1)3n，所以q3a927，q3，所以bn2×3n1.(2)證明：由(1)知，Wn3n1，要證(3n1)WnnWn1，只需證(3n1)(3n1)n(3n11)，即證3n2n1.當(dāng)n1時(shí)，3n2n1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n2時(shí)，3n>2n1.當(dāng)n2時(shí)，左邊9，右邊5，左邊>右邊，不等式成立假設(shè)nk(k2，kN)時(shí)，3k>2k1，則nk1時(shí)，3k13×3k>3(2k1)6k3>2(k1)1，所以nk1時(shí)不等式成立根據(jù)可知：當(dāng)n2時(shí)，3n>2n1.綜上可知，3n2n1對(duì)于nN*成立，所以(3n1)WnnWn1(nN*)利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列型不等式的關(guān)鍵是由nk到nk1的變形為了滿足題目的要求，常常要采用“放”與“縮”等手段，但是放縮要有度，這是一個(gè)難點(diǎn)，解決這個(gè)難點(diǎn)一是要仔細(xì)觀察題目結(jié)構(gòu)，二是要用分析法找到放縮的結(jié)果，才能順利地證題 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1，an2SnSn10(n2)(1)判斷是否為等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論；(2)證明SSS(n1且nN)解：(1)是等差數(shù)列，證明如下：S1a1，所以2.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，即SnSn12SnSn1.所以2.故是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列(2)證明：當(dāng)n1時(shí)，S，不等式成立假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)，不等式成立，即SSS成立，則當(dāng)nk1時(shí)，SSSS·<·.即當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立由，可知對(duì)任意nN不等式都成立1關(guān)于用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四點(diǎn)注意(1)在從nk到nk1的過程中，應(yīng)分析清楚不等式兩端(一般是左端)項(xiàng)數(shù)的變化，也就是要認(rèn)清不等式的結(jié)構(gòu)特征(2)瞄準(zhǔn)當(dāng)nk1時(shí)的遞推目標(biāo)，從中分離出nk時(shí)的相應(yīng)式子，借助不等式性質(zhì)用上歸納假設(shè)(3)明確用上歸納假設(shè)后要證明的不等式應(yīng)是怎樣的，然后通過運(yùn)用放縮法、分析法、比較法、綜合法等方法進(jìn)行證明(4)有些不等式先用分析法轉(zhuǎn)化為另一個(gè)較為簡(jiǎn)單的不等式然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明2關(guān)于貝努利不等式(1)(1x)n>1nx成立的兩個(gè)條件：nN且n2；x的取值范圍是x>1且x0.于是有命題：當(dāng)nN且n2時(shí)不等式(1x)n>1nx對(duì)一切x(1，0)(0，)恒成立(2)常用特例：當(dāng)x>1且x0時(shí)，(1x)2>12x；當(dāng)x>1且x0時(shí)，(1x)3>13x.【規(guī)范解答】歸納猜想證明(本題滿分12分)設(shè)f(n)nn1，g(n)(n1)n，nN.(1)當(dāng)n1，2，3，4時(shí)，比較f(n)與g(n)的大??；(2)根據(jù)(1)的結(jié)果猜測(cè)一個(gè)一般性結(jié)論，并加以證明【解】(1)當(dāng)n1時(shí)，nn11，(n1)n2，此時(shí)，nn1<(n1)n，當(dāng)n2時(shí)，nn18，(n1)n9，此時(shí)，nn1<(n1)n，當(dāng)n3時(shí)，nn181，(n1)n64，此時(shí)，nn1>(n1)n，當(dāng)n4時(shí)，nn11 024，(n1)n625，此時(shí)，nn1>(n1)n.(2分)(2)根據(jù)上述結(jié)論，我們猜想：當(dāng)n3時(shí)，nn1>(n1)n(nN*)恒成立(4分)證明如下：當(dāng)n3時(shí)，nn13481>(n1)n4364，即nn1>(n1)n成立(5分)假設(shè)當(dāng)nk(k3，kN)時(shí)，kk1>(k1)k成立，即>1，(6分)則當(dāng)nk1時(shí)，(k1)·>(k1)·>1，(10分)即(k1)k2>(k2)k1成立，即當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立，(11分)所以當(dāng)n3時(shí)，nn1>(n1)n(nN)恒成立(12分)歸納猜想證明的思想方法數(shù)學(xué)歸納法作為一種重要的證明方法，常常體現(xiàn)在“歸納猜想證明”這一基本思想方法中一方面可用數(shù)學(xué)歸納法證明已有的與自然數(shù)有關(guān)的結(jié)論；更重要的是，要用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)某些結(jié)論、規(guī)律并用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，形成“觀察歸納猜想證明”的思想方法1用數(shù)學(xué)歸納法證明：1<2(n2，nN)證明：當(dāng)n2時(shí)，1<2，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k2，且kN)時(shí)不等式成立，即1<2，當(dāng)nk1時(shí)，1<2<222，即當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立由知原不等式在n2且nN時(shí)均成立2已知m，n為正整數(shù)，對(duì)于n6，已知<，利用貝努利不等式求證：<，m1，2，n.證明：當(dāng)n6，mn時(shí)，由貝努利不等式得1>0，于是<，m1，2，n.9