2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.3圓的方程教案 理 新人教A版

2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.3圓的方程教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考1.考查圓的方程的形式及應(yīng)用；2.利用待定系數(shù)法求圓的方程復(fù)習(xí)備考要這樣做1.熟練掌握圓的方程的兩種形式及其特點；2.會利用代數(shù)法、幾何法求圓的方程，注意圓的方程形式的選擇1 圓的定義在平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的集合叫圓2 確定一個圓最基本的要素是圓心和半徑3 圓的標準方程(xa)2(yb)2r2(r>0)，其中(a，b)為圓心，r為半徑4 圓的一般方程x2y2DxEyF0表示圓的充要條件是D2E24F>0，其中圓心為，半徑r.5 確定圓的方程的方法和步驟確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為：(1)根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程；(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D、E、F的方程組；(3)解出a、b、r或D、E、F代入標準方程或一般方程6 點與圓的位置關(guān)系點和圓的位置關(guān)系有三種圓的標準方程(xa)2(yb)2r2，點M(x0，y0)(1)點在圓上：(x0a)2(y0b)2r2；(2)點在圓外：(x0a)2(y0b)2>r2；(3)點在圓內(nèi)：(x0a)2(y0b)2<r2.難點正本疑點清源1 確定圓的方程時，常用到的圓的三個性質(zhì)(1)圓心在過切點且垂直切線的直線上；(2)圓心在任一弦的中垂線上；(3)兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線2 圓的一般方程的特征圓的一般方程：x2y2DxEyF0，若化為標準式，即為22.由于r2相當于.所以當D2E24F>0時，圓心為，半徑r.當D2E24F0時，表示一個點.當D2E24F<0時，這樣的圓不存在1 若方程x2y2ax2ay2a2a10表示圓，則a的取值范圍是_答案解析方程x2y2ax2ay2a2a10轉(zhuǎn)化為2(ya)2a2a1，所以若方程表示圓，則有a2a1>0，3a24a4<0，2<a<.2 (xx·遼寧)已知圓C經(jīng)過A(5,1)，B(1,3)兩點，圓心在x軸上，則圓C的方程為_答案(x2)2y210解析設(shè)圓心坐標為(a,0)，易知，解得a2，圓心為(2,0)，半徑為，圓C的方程為(x2)2y210.3 (xx·四川)圓x2y24x6y0的圓心坐標是()A(2,3) B(2,3)C(2，3) D(2，3)答案D解析圓x2y24x6y0的圓心坐標為，即(2，3)4 (xx·遼寧)將圓x2y22x4y10平分的直線是()Axy10 Bxy30Cxy10 Dxy30答案C解析因為圓心是(1,2)，所以將圓心坐標代入各選項驗證知選C.5 (xx·湖北)過點P(1,1)的直線，將圓形區(qū)域(x，y)|x2y24分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為 ()Axy20 By10Cxy0 Dx3y40答案A解析當圓心與P的連線和過點P的直線垂直時，符合條件圓心O與P點連線的斜率k1，過點P垂直于OP的直線方程為xy20.題型一求圓的方程例1根據(jù)下列條件，求圓的方程：(1)經(jīng)過P(2,4)、Q(3，1)兩點，并且在x軸上截得的弦長等于6；(2)圓心在直線y4x上，且與直線l：xy10相切于點P(3，2)思維啟迪：(1)求圓心和半徑，確定圓的標準方程(2)設(shè)圓的一般方程，利用待定系數(shù)法求解解(1)設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0，將P、Q點的坐標分別代入得又令y0，得x2DxF0.設(shè)x1，x2是方程的兩根，由|x1x2|6有D24F36，由、解得D2，E4，F(xiàn)8，或D6，E8，F(xiàn)0.故所求圓的方程為x2y22x4y80，或x2y26x8y0.(2)方法一如圖，設(shè)圓心(x0，4x0)，依題意得1，x01，即圓心坐標為(1，4)，半徑r2，故圓的方程為(x1)2(y4)28.方法二設(shè)所求方程為(xx0)2(yy0)2r2，根據(jù)已知條件得解得因此所求圓的方程為(x1)2(y4)28.探究提高求圓的方程時，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程一般來說，求圓的方程有兩種方法：幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進而求出圓的基本量代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解 (1)已知圓C與直線xy0及xy40都相切，圓心在直線xy0上，則圓C的方程為()A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22(2)經(jīng)過點A(5,2)，B(3,2)，圓心在直線2xy30上的圓的方程為_答案(1)B(2)(x4)2(y5)210解析(1)設(shè)圓心坐標為(a，a)，則，即|a|a2|，解得a1，故圓心坐標為(1，1)，半徑r，故圓的方程為(x1)2(y1)22.(2)設(shè)圓的方程為(xa)2(yb)2r2，則，可得a4，b5，r210.題型二與圓有關(guān)的最值問題例2已知實數(shù)x、y滿足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值思維啟迪：根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助圖形來求最值解(1)原方程化為(x2)2y23，表示以點(2,0)為圓心，以為半徑的圓設(shè)k，即ykx，當直線ykx與圓相切時，斜率k取最大值和最小值，此時，解得k±.故的最大值為，最小值為.(2)設(shè)yxb，即yxb，當yxb與圓相切時，縱截距b取得最大值和最小值，此時，即b2±.故yx的最大值為2，最小值為2.探究提高與圓有關(guān)的最值問題，常見的有以下幾種類型：(1)形如形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；(2)形如taxby形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題 已知M為圓C：x2y24x14y450上任意一點，且點Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值解(1)由C：x2y24x14y450可得(x2)2(y7)28，圓心C的坐標為(2,7)，半徑r2.又|QC|4.|MQ|max426，|MQ|min422.(2)可知表示直線MQ的斜率，設(shè)直線MQ的方程為y3k(x2)，即kxy2k30，則k.由直線MQ與圓C有交點，所以2.可得2k2，所以的最大值為2，最小值為2.題型三與圓有關(guān)的軌跡問題例3設(shè)定點M(3,4)，動點N在圓x2y24上運動，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡思維啟迪：結(jié)合圖形尋求點P和點M坐標的關(guān)系，用相關(guān)點法(代入法)解決解如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點坐標為，線段MN的中點坐標為.由于平行四邊形的對角線互相平分，故，.從而.N(x3，y4)在圓上，故(x3)2(y4)24.因此所求軌跡為圓：(x3)2(y4)24，但應(yīng)除去兩點和(點P在直線OM上時的情況)探究提高求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等 點P(4，2)與圓x2y24上任一點連線的中點軌跡方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24D(x2)2(y1)21答案A解析設(shè)圓上任一點坐標為(x0，y0)，xy4，連線中點坐標為(x，y)，則，代入xy4中得(x2)2(y1)21.利用方程思想求解圓的問題典例：(12分)已知圓x2y2x6ym0和直線x2y30交于P，Q兩點，且OPOQ(O為坐標原點)，求該圓的圓心坐標及半徑審題視角(1)求圓心及半徑，關(guān)鍵是求m.(2)利用OPOQ，建立關(guān)于m的方程求解(3)利用x1x2y1y20和根與系數(shù)的關(guān)系或利用圓的幾何性質(zhì)規(guī)范解答解方法一將x32y，代入方程x2y2x6ym0，得5y220y12m0.2分設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1、y2滿足條件：y1y24，y1y2.4分OPOQ，x1x2y1y20.而x132y1，x232y2.x1x296(y1y2)4y1y2.6分故0，解得m3，9分此時>0，圓心坐標為，半徑r.12分方法二如圖所示，設(shè)弦PQ中點為M，O1MPQ，kO1M2.2分O1M的方程為y32，即y2x4.4分由方程組.解得M的坐標為(1,2)6分則以PQ為直徑的圓可設(shè)為(x1)2(y2)2r2.OPOQ，點O在以PQ為直徑的圓上(01)2(02)2r2，即r25，|MQ|2r2.在RtO1MQ中，|O1Q|2|O1M|2|MQ|2.2(32)25.m3.9分半徑為，圓心為.12分方法三設(shè)過P、Q的圓系方程為x2y2x6ym(x2y3)0.2分由OPOQ知，點O(0,0)在圓上m30，即m3.4分圓系方程可化為x2y2x6y3x2y30.即x2(1)xy22(3)y0.6分圓心M，又圓心在PQ上2(3)30，1，m3.9分圓心為，半徑為.12分溫馨提醒(1)在解決與圓有關(guān)的問題中，借助于圓的幾何性質(zhì)，往往會使得思路簡捷明了，簡化思路，簡便運算(2)本題中三種解法都是用方程思想求m值，即三種解法圍繞“列出m的方程”求m值(3)本題的易錯點：不能正確構(gòu)建關(guān)于m的方程，找不到解決問題的突破口，或計算錯誤方法與技巧1 確定一個圓的方程，需要三個獨立條件“選形式、定參數(shù)”是求圓的方程的基本方法，是指根據(jù)題設(shè)條件恰當選擇圓的方程的形式，進而確定其中的三個參數(shù)2 解答圓的問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運用圓的幾何性質(zhì)，簡化運算失誤與防范1 求圓的方程需要三個獨立條件，所以不論是設(shè)哪一種圓的方程都要列出系數(shù)的三個獨立方程2 過圓外一定點，求圓的切線，應(yīng)該有兩個結(jié)果，若只求出一個結(jié)果，應(yīng)該考慮切線斜率不存在的情況A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 若圓x2y22ax3by0的圓心位于第三象限，那么直線xayb0一定不經(jīng)過()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D解析圓x2y22ax3by0的圓心為，則a<0，b>0.直線yx，k>0，>0，直線不經(jīng)過第四象限2若點(1,1)在圓(xa)2(ya)24的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是()A1<a<1 B0<a<1Ca>1或a<1 Da±1答案A解析因為點(1,1)在圓的內(nèi)部，(1a)2(1a)2<4，1<a<1.3 (xx·安徽)若直線3xya0過圓x2y22x4y0的圓心，則a的值為()A1 B1 C3 D3答案B解析化圓為標準形式(x1)2(y2)25，圓心為(1,2)直線過圓心，3×(1)2a0，a1.4 圓心在y軸上，半徑為1，且過點(1,2)的圓的方程為()Ax2(y2)21 Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21答案A解析設(shè)圓心坐標為(0，b)，則由題意知1，解得b2，故圓的方程為x2(y2)21.二、填空題(每小題5分，共15分)5 若圓x2y24x2mym60與y軸的兩交點A，B位于原點的同側(cè)，則實數(shù)m的取值范圍是_答案6<m<2或m>3解析令x0，可得y22mym60，由題意知，此方程有兩個不相等且同號的實數(shù)根，即解得6<m<2或m>3.6 以直線3x4y120夾在兩坐標軸間的線段為直徑的圓的方程為_答案(x2)22解析直線3x4y120與兩坐標軸的交點分別為A(4,0)、B(0,3)，所以線段AB的中點為C，|AB|5.故所求圓的方程為(x2)222.7 已知點M(1,0)是圓C：x2y24x2y0內(nèi)的一點，那么過點M的最短弦所在直線的方程是_答案xy10解析過點M的最短弦與CM垂直，圓C：x2y24x2y0的圓心為C(2,1)，kCM1，最短弦所在直線的方程為y01(x1)，即xy10.三、解答題(共22分)8 (10分)根據(jù)下列條件求圓的方程：(1)經(jīng)過點P(1,1)和坐標原點，并且圓心在直線2x3y10上；(2)過三點A(1,12)，B(7,10)，C(9,2)解(1)設(shè)圓的標準方程為(xa)2(yb)2r2，由題意列出方程組，解之得圓的標準方程是(x4)2(y3)225.(2)方法一設(shè)圓的一般方程為x2y2DxEyF0，則解得D2，E4，F(xiàn)95.所求圓的方程為x2y22x4y950.方法二由A(1,12)，B(7,10)，得AB的中點坐標為(4,11)，kAB，則AB的中垂線方程為3xy10.同理得AC的中垂線方程為xy30.聯(lián)立，得，即圓心坐標為(1,2)，半徑r10.所求圓的方程為(x1)2(y2)2100.9 (12分)一圓經(jīng)過A(4,2)，B(1,3)兩點，且在兩坐標軸上的四個截距的和為2，求此圓的方程解設(shè)圓心為(a，b)，圓與x軸分別交于(x1,0)，(x2,0)，與y軸分別交于(0，y1)，(0，y2)，根據(jù)題意知x1x2y1y22，a，b，ab1.又點(a，b)在線段AB的中垂線上，5ab50.聯(lián)立解得圓心為(1,0)，半徑為.所求圓的方程為(x1)2y213.B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 若直線axby1與圓x2y21相交，則P(a，b)()A在圓上 B在圓外C在圓內(nèi) D以上都有可能答案B解析由已知條件<1，即a2b2>1.因此點P(a，b)在圓外2 已知圓C：x2y2mx40上存在兩點關(guān)于直線xy30對稱，則實數(shù)m的值為()A8 B4 C6 D無法確定答案C解析圓上存在關(guān)于直線xy30對稱的兩點，則xy30過圓心，即30，m6.3 已知圓的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，且與直線3x4y40相切，則圓的方程是 ()Ax2y24x0 Bx2y24x0Cx2y22x30 Dx2y22x30答案A解析設(shè)圓心為C(m,0) (m>0)，因為所求圓與直線3x4y40相切，所以2，整理得：|3m4|10，解得m2或m(舍去)，故所求圓的方程為(x2)2y222，即x2y24x0，故選A.二、填空題(每小題5分，共15分)4 已知圓x2y22x4ya0關(guān)于直線y2xb成軸對稱，則ab的取值范圍是_答案(，1)解析圓的方程化為(x1)2(y2)25a，其圓心為(1,2)，且5a>0，即a<5.又圓關(guān)于直線y2xb成軸對稱，22b，b4.aba4<1.5 若PQ是圓O：x2y29的弦，PQ的中點是M(1,2)，則直線PQ的方程是_答案x2y50解析由圓的幾何性質(zhì)知kPQkOM1.kOM2，kPQ，故直線PQ的方程為y2(x1)，即x2y50.6 已知AC、BD為圓O：x2y24的兩條相互垂直的弦，垂足為M(1，)，則四邊形ABCD的面積的最大值為_答案5解析如圖，取AC的中點F，BD的中點E，則OEBD，OFAC.又ACBD，四邊形OEMF為矩形，設(shè)|OF|d1，|OE|d2，dd|OM|23.又|AC|2，|BD|2，S四邊形ABCD|AC|·|BD|2·22.0d3.當d時，S四邊形ABCD有最大值是5.三、解答題7 (13分)圓C通過不同的三點P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圓C在點P處的切線斜率為1，試求圓C的方程解設(shè)圓C的方程為x2y2DxEyF0，則k、2為x2DxF0的兩根，k2D,2kF，即D(k2)，F(xiàn)2k，又圓過R(0,1)，故1EF0.E2k1.故所求圓的方程為x2y2(k2)x(2k1)y2k0，圓心坐標為.圓C在點P處的切線斜率為1，kCP1，k3.D1，E5，F(xiàn)6.所求圓C的方程為x2y2x5y60.