2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示教案 理 新人教A版

2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考1.考查平面向量基本定理的應(yīng)用；2.考查向量的坐標(biāo)表示和向量共線的應(yīng)用復(fù)習(xí)備考要這樣做1.理解平面向量基本定理的意義、作用；2.運(yùn)用定理表示向量，然后再進(jìn)行向量運(yùn)算1 平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.3 平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 基底的不唯一性只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對(duì)基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意向量a都可被這個(gè)平面的一組基底e1，e2線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的2 向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量a，點(diǎn)A的位置被向量a唯一確定，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點(diǎn)A(x，y)，向量a(x，y)當(dāng)平面向量平行移動(dòng)到時(shí)，向量不變即(x，y)，但的起點(diǎn)O1和終點(diǎn)A1的坐標(biāo)都發(fā)生了變化1 在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若，其中，R，則_.答案解析因?yàn)?，又，所以，得?，1，兩式相加得.2 在ABCD中，AC為一條對(duì)角線，(2,4)，(1,3)，則向量的坐標(biāo)為_(kāi)答案(3，5)解析，(1，1)，(3，5)3 已知向量a(1,2)，b(3,2)，若kab與b平行，則k_.答案0解析由kab與b平行得3(2k2)2(k3)，k0.4 若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，則c等于()A3ab B3abCa3b Da3b答案B解析由已知可設(shè)cxayb，則，.5 (xx·廣東)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若為實(shí)數(shù)，(ab)c，則等于()A. B. C1 D2答案B解析ab(1,2)(1,0)(1，2)，而c(3,4)，由(ab)c得4(1)60，解得.題型一平面向量基本定理的應(yīng)用例1已知點(diǎn)G為ABC的重心，過(guò)G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)，且x，y，求的值思維啟迪：以，為基底來(lái)表示向量，建立x，y的關(guān)系解根據(jù)題意知G為三角形的重心，故()，()x，yy()，由于與共線，根據(jù)共線向量定理知，不共線，xy3xy0，兩邊同除以xy得3.探究提高利用基底表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用向量的加、減法及數(shù)乘進(jìn)行線性運(yùn)算；向量的表示是向量應(yīng)用的前提 如圖，在ABC中，P是BN上的一點(diǎn)，若m，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)答案解析設(shè)|y，|x，則，×y×x得，令，得yx，代入得m.題型二向量坐標(biāo)的基本運(yùn)算例2已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求滿(mǎn)足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；(3)求M、N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)(9，18)探究提高向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則 已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(4,2)，B(5,7)，C(3,4)，則第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是_答案(4，1)或(12,5)或(2,9)解析設(shè)頂點(diǎn)D(x，y)若平行四邊形為ABCD，則由(1,5)，(3x,4y)，得所以若平行四邊形為ACBD，則由(7,2)，(5x,7y)，得所以若平行四邊形為ABDC，則由(1,5)，(x3，y4)，得所以綜上所述，第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，1)或(12,5)或(2,9)題型三共線向量的坐標(biāo)表示例3平面內(nèi)給定三個(gè)向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)求滿(mǎn)足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；(2)若(akc)(2ba)，求實(shí)數(shù)k；(3)若d滿(mǎn)足(dc)(ab)，且|dc|，求d.思維啟迪：(1)向量相等對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等，列方程解之(2)由兩向量平行的條件列方程解之(3)設(shè)出d(x，y)，由平行關(guān)系列方程，由模為列方程，聯(lián)立方程組求解解(1)由題意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以，得.(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，(akc)(2ba)，2×(34k)(5)(2k)0，k.(3)設(shè)d(x，y)，dc(x4，y1)，ab(2,4)，由題意得，解得或，d(3，1)或d(5,3)探究提高(1)運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，使向量的運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形有機(jī)的結(jié)合(2)根據(jù)平行的條件建立方程求參數(shù)，是解決這類(lèi)題目的常用方法，充分體現(xiàn)了方程思想在向量中的應(yīng)用 (xx·北京)已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)若(a2b)與c共線，則k_.答案1解析a2b(，1)2(0，1)(，3)，又(a2b)與c共線，(a2b)c，×3×k0，解得k1.忽視平面向量基本定理的使用條件致誤典例：(12分)已知a，b，c，d，e，設(shè)tR，如果3ac,2bd，et(ab)，那么t為何值時(shí)，C，D，E三點(diǎn)在一條直線上？易錯(cuò)分析本題可以根據(jù)向量共線的充要條件列出等式解決，但在得出等式后根據(jù)平面向量基本定理列式解決時(shí)，容易忽視平面向量基本定理的使用條件，出現(xiàn)漏解，漏掉了當(dāng)a，b共線時(shí)，t可為任意實(shí)數(shù)這個(gè)解規(guī)范解答解由題設(shè)，知dc2b3a，ec(t3)atb，C，D，E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.4分若a，b共線，則t可為任意實(shí)數(shù)；7分若a，b不共線，則有解之得t.10分綜上，可知a，b共線時(shí)，t可為任意實(shí)數(shù)；a，b不共線時(shí)，t.12分溫馨提醒平面向量基本定理是平面向量知識(shí)體系的基石，在解題中有至關(guān)重要的作用，在使用時(shí)一定要注意兩個(gè)基向量不共線這個(gè)條件.方法與技巧1平面向量基本定理的本質(zhì)是運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，將向量進(jìn)行分解2向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算可將一些幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題處理，從而向量可以解決平面解析幾何中的許多相關(guān)問(wèn)題3在向量的運(yùn)算中要注意待定系數(shù)法、方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用失誤與防范1要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)和向量坐標(biāo)的不同，向量的坐標(biāo)等于表示向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減始點(diǎn)坐標(biāo)；向量坐標(biāo)中既有大小的信息，又有方向的信息2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2x2y10.A組專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿(mǎn)分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 與向量a(12,5)平行的單位向量為()A.B.C.或D.答案C解析設(shè)e為所求的單位向量，則e±±.2. 如圖，在OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，xy，且2，則 ()Ax，y Bx，yCx，y Dx，y答案A解析由題意知，又2，所以()，所以x，y.3 已知a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，則c等于()Aab B.abCab Dab答案B解析設(shè)cab，(1,2)(1,1)(1，1)，cab.4 在ABC中，點(diǎn)P在BC上，且2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若(4,3)，(1,5)，則等于 ()A(2,7) B(6,21)C(2，7) D(6，21)答案B解析33(2)63(6,30)(12,9)(6,21)二、填空題(每小題5分，共15分)5 若三點(diǎn)A(2,2)，B(a,0)，C(0，b) (ab0)共線，則的值為_(kāi)答案解析(a2，2)，(2，b2)，依題意，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以.6 已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，則實(shí)數(shù)x的值為_(kāi)答案解析因?yàn)閍(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，所以u(píng)(1,2)2(x,1)(2x1,4)，v2(1,2)(x,1)(2x,3)，又因?yàn)閡v，所以3(2x1)4(2x)0，即10x5，解得x.7 在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)滿(mǎn)足，則_.答案解析OC，()，.三、解答題(共22分)8 (10分)已知a(1,2)，b(3,2)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得kab與a3b共線，且方向相反？解若存在實(shí)數(shù)k，則kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)a3b(1,2)3(3,2)(10，4)若向量kab與向量a3b共線，則必有(k3)×(4)(2k2)×100，解得k.這時(shí)kab，所以kab(a3b)即兩個(gè)向量恰好方向相反，故題設(shè)的實(shí)數(shù)k存在9 (12分)如圖所示，M是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足條件230，延長(zhǎng)CM交AB于N，令a，試用a表示.解因?yàn)?，所以?30，得()2()30，所以3230.又因?yàn)锳，N，B三點(diǎn)共線，C，M，N三點(diǎn)共線，由平面向量基本定理，設(shè)，所以3230.所以(2)(33)0.由于和不共線，由平面向量基本定理，得所以所以，22a.B組專(zhuān)項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿(mǎn)分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 若平面向量b與向量a(1，2)的夾角是180°，且|b|3，則b等于()A(3,6) B(3，6)C(6，3) D(6,3)答案A解析方法一設(shè)b(x，y)，由已知條件整理得解得b(3,6)方法二設(shè)b(x，y)，由已知條件解得或(舍去)，b(3,6)方法三|a|，a，則b3(3,6)2 已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，則2a3b等于 ()A(2，4) B(3，6)C(4，8) D(5，10)答案C解析由a(1,2)，b(2，m)，且ab，得1×m2×(2)m4，從而b(2，4)，那么2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)3 已知A(3,0)，B(0,2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在AOB內(nèi)，|OC|2，且AOC，設(shè) (R)，則的值為 ()A1 B. C. D.答案D解析過(guò)C作CEx軸于點(diǎn)E(圖略)由AOC，知|OE|CE|2，所以，即，所以(2,0)(3,0)，故.二、填空題(每小題5分，共15分)4 ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若p(ac，b)，q(ba，ca)，且pq，則角C_.答案60°解析因?yàn)閜q，則(ac)(ca)b(ba)0，所以a2b2c2ab，結(jié)合余弦定理知，cos C，又0°<C<180°，C60°.5 已知A(7,1)、B(1,4)，直線yax與線段AB交于C，且2，則實(shí)數(shù)a_.答案2解析設(shè)C(x，y)，則(x7，y1)，(1x,4y)，2，解得.C(3,3)又C在直線yax上，3a·3，a2.6 設(shè)(1，2)，(a，1)，(b,0)，a>0，b>0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A、B、C三點(diǎn)共線，則的最小值是_答案8解析據(jù)已知得，又(a1,1)，(b1,2)，2(a1)(b1)0，2ab1，4428，當(dāng)且僅當(dāng)，即a，b時(shí)取等號(hào)，的最小值是8.三、解答題7 (13分)已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件；(2)求證：當(dāng)t11時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A、B、M三點(diǎn)都共線；(3)若t1a2，求當(dāng)且ABM的面積為12時(shí)a的值(1)解t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時(shí)，有故所求的充要條件為t2<0且t12t20.(2)證明當(dāng)t11時(shí)，由(1)知(4t2,4t22)(4,4)，(4t2,4t2)t2(4,4)t2，A、B、M三點(diǎn)共線(3)解當(dāng)t1a2時(shí)，(4t2,4t22a2)又(4,4)，4t2×4(4t22a2)×40，t2a2，故(a2，a2)又|4，點(diǎn)M到直線AB：xy20的距離d|a21|.SABM12，|AB|·d×4×|a21|12，解得a±2，故所求a的值為±2.