2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第四次月考試題 理 新人教A版

2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第四次月考試題 理 新人教A版 考生注意：本試卷共21道小題，滿分150分，時量120分鐘. 一、 選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個答案中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。請將你認(rèn)為正確的選項(xiàng)填在答題卡的相應(yīng)的位置上。） 1．已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ） A. B. C. D. 2．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ＝（ ） A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 3．若集合，集合，則集合的子集的個數(shù)為 （ ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前8項(xiàng)和等于 （ ） A．6 B．5 C．4 D．3 5. “a≤0”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的（ ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 6．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的圖像是如圖所示的一條直線，與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，則與的大小關(guān)系為（ ） A． B． C． D．無法確定 7．為得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，或向右平移個單位長度（，均為正數(shù)），則的最小值是( ) A． B． C． D． 8．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且且，則下列各值中可以為的值的是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．已知關(guān)于的方程在有且僅有兩根，記為，則下列的四個命題正確的是（ ） A． B． C． D． 10．已知函數(shù)，分別為的內(nèi)角A,B,C所對的邊，且，則下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.） 11．不等式的解集為_______ ___ 12．已知點(diǎn)在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)運(yùn)動，為過點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)的直線，則的斜率的取值范圍為 ． 13． 已知點(diǎn)C在直線AB上運(yùn)動，O為平面上任意一點(diǎn)，且 ()，則的最大值是 ． 14．設(shè),對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ． 15．已知數(shù)列：中， 令，表示集合中元素的個數(shù)． （例如，則3.）若（為常數(shù)，且，）則 ． 三、解答題（本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 16．（本小題滿分12分） 已知中，，記． （1）求解析式并標(biāo)出其定義域； （2）設(shè)，若的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的值． 17.（本小題滿分12分） 如圖，四棱柱的底面是平行四邊形，且底面， ，，°，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn). A B C D A1 B1 C1 D1 E F （1）求證：平面平面； （2）設(shè)二面角的大小為，直線與平面 所成的角為，求的值. 18．（本小題滿分12分） 已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，表示數(shù)列的前n項(xiàng)的和，且. （1）試求數(shù)列的通項(xiàng)； （2）設(shè)，求的前n項(xiàng)和． 19．（本小題滿分13分） 省環(huán)保研究所對市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)與時刻（時）的關(guān)系為， 其中是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且，若用每天的最大值為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作． （1）令，，求t的取值范圍； （2）省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2，試問目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)？ 20．（本小題滿分13分） 等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知]任意的n∈N*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上． (1)求r的值； (2)當(dāng)b＝2時，記 (n∈N*)． 證明：對任意的n∈N*，不等式··…·＞成立． 21．（本小題滿分13分） 設(shè)，，其中是常數(shù)，且． （1）求函數(shù)的最值； （2）證明：對任意正數(shù)，存在正數(shù)，使不等式成立； （3）設(shè)，且，證明：對任意正數(shù)都有：． 衡陽市八中xx屆高三第四次月考 數(shù)學(xué)（理科）參考答案 二、 選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個答案中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。請將你認(rèn)為正確的選項(xiàng)填在答題卡的相應(yīng)的位置上。） 1．已知復(fù)數(shù)滿足，則（ A ） A. B. C. D. 由復(fù)數(shù)相等得，解得，因此，故選A. 2. 已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ＝( B ) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 3．若集合，集合，則集合的子集的個數(shù)為 （ C ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前8項(xiàng)和等于 （ C ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C． 【解析】由已知得為等比數(shù)列，為等差數(shù)列，∴所求和為，故選C． 5. “a≤0”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的( D ) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 6．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的圖像是如圖所示的一條直線，與軸交 點(diǎn)坐標(biāo)為，則與的大小關(guān)系為（ C ） A． B． C． D．無法確定 7．為得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，或向右平移個單位長度（，均為正數(shù)），則的最小值是( B ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由條件可得，則 ，易知時 8．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且且，則下列各值中可以為的值的是（ D ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】由已知，設(shè)，則 兩式相減得，，故。 ，故只有D符合。 9．已知關(guān)于的方程在有且僅有兩根，記為，則下列的四個命題正確的是（ C ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】即方程在上有兩個不同的解，作出的圖象，可見，直線 與在時相切才符合，此時 有，又， 10．已知函數(shù)，分別為的內(nèi)角A,B,C所對的邊，且，則下列不等式一定成立的是（ B ） A. B. C. D. 解析：由可得， ，， ， 二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.） 11. 不等式的解集為__________ 12．已知點(diǎn)在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)運(yùn)動，為過點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)的直線，則的斜率的取值范圍為 ．[1,2] 13． 已知點(diǎn)C在直線AB上運(yùn)動，O為平面上任意一點(diǎn)，且 ()，則的最大值是 ． 解：由題易知， ，當(dāng)且僅當(dāng)x=4y=時取等號. 14．設(shè),對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 15．已知數(shù)列：中， 令，表示集合中元素的個數(shù)． （例如，則3.）若（為常數(shù)，且，）則 ． 【答案】 【解析】根據(jù)題中集合表示的含義，可知中元素為數(shù)列中前后不同兩項(xiàng)的積，所以 例如，則集合中元素為2，4，8，元素個數(shù)為3.因此由題易知，數(shù)列數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為（）的等比數(shù)列，所以， ，可以取遍從3到中每個整數(shù)，共有個不同的整數(shù)，故。 三、解答題（本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 16．（本小題滿分12分） 已知中，，記． （1）求解析式并標(biāo)出其定義域； （2）設(shè)，若的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的值． ．解：（1）由正弦定理有：；∴，； ∴ -----------------6分 （2） ，∴。 當(dāng)時，的值域?yàn)椤? 又的值域?yàn)? 解得 ∴綜上 -----------------12分 17.（本小題滿分12分） 如圖，四棱柱的底面是平行四邊形，且底面， ，，°，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn). A B C D A1 B1 C1 D1 E F （Ⅰ）求證：平面平面； （Ⅱ）設(shè)二面角的大小為，直線與平面 所成的角為，求的值. 【解】（1），， 又，，則，即 .又底面，， 而則平面，又平面， 平面平面. ………5分 （2）為二面角的平面角，則， .………7分 過作的垂線，垂足為，連結(jié)，又平面，，則平面，為直線與平面所成的角， …………9分 易得，， …………11分 則，即. …………12分 18．（本小題滿分12分） 已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，表示數(shù)列的前n項(xiàng)的和，且. （1）試求數(shù)列的通項(xiàng)； （2）設(shè)，求的前n項(xiàng)和． 解析：(1) ，當(dāng)時， 又，，是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列， 故 -----------------6分 （2）由題意可設(shè) -----------------13分 19．（本小題滿分13分） 省環(huán)保研究所對市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)與時刻（時）的關(guān)系為， 其中是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且，若用每天的最大值為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作． （1）令，，求t的取值范圍； （2）省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2，試問目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)？ 解析：（1）當(dāng)時，； 當(dāng)時，（當(dāng)時取等號） 綜上所得t的取值范圍是 …………5分 （2）當(dāng)時，記 則 ……………………8分 ∵在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 且． 故. ……………………11分 ∴當(dāng)且僅當(dāng)時，. 故當(dāng)時不超標(biāo)，當(dāng)時超標(biāo)． ……………………13分 20. （本小題滿分13分） 等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知]任意的n∈N*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上． (1)求r的值； (2)當(dāng)b＝2時，記 (n∈N*)． 證明：對任意的n∈N*，不等式··…·＞成立． 解析：(1)由題意，Sn＝bn＋r， 當(dāng)n≥2時，Sn－1＝bn－1＋r，所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)， 由于b＞0且b≠1，所以n≥2時，{an}是以b為公比的等比數(shù)列， 又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，＝b， 即＝b，解得r＝－1. …………5分 (2)證明：由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)， 所證不等式為··…·＞. ①當(dāng)n＝1時，左式＝，右式＝，左式＞右式，所以結(jié)論成立． ②假設(shè)n＝k時結(jié)論成立，即··…·＞， …………8分 則當(dāng)n＝k＋1時，··…··＞·＝， 要證當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論成立， 只需證， 即證， 由均值不等式＝成立， 故成立，所以，當(dāng)n＝k＋1時，結(jié)論成立． 由①②可知，n∈N*時，不等式··…·＞成立．…………12分 21．（本小題滿分13分） 設(shè)，，其中是常數(shù)，且． （1）求函數(shù)的最值； （2）證明：對任意正數(shù)，存在正數(shù)，使不等式成立； （3）設(shè)，且，證明：對任意正數(shù)都有： ． （1）∵， -----------------1分 由得，， ∴，即，解得，-----------------3分 故當(dāng)時，；當(dāng)時，； ∴當(dāng)時，取最大值， 沒有最小值． -----------------4分 （2）∵， 又當(dāng)時，令，則，故， 因此原不等式化為， 即證對任意正數(shù)，存在正數(shù)，使不等式恒成立， 令，則， 由得：，解得， 當(dāng)時，；當(dāng)時，． 故當(dāng)時，取最小值 ， -----------------7分 令，則． 故，即． 因此，存在正數(shù)，使原不等式成立． -----------------9分 （3）由（1）恒成立，故， 取，（其中） 即得， 即， 故所證不等式成立． -----------------13分 法二：先證 令，， 則，而時，；， ，， ∴，令， 則有。