2022年高三數(shù)學大一輪復習 7.3二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題教案 理 新人教A版

2022年高三數(shù)學大一輪復習 7.3二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考1.考查二元一次不等式組表示的區(qū)域面積和目標函數(shù)最值(或取值范圍)；2.考查約束條件、目標函數(shù)中的參變量的取值范圍；3.利用線性規(guī)劃方法設計解決實際問題的最優(yōu)方案復習備考要這樣做1.掌握確定平面區(qū)域的方法(線定界、點定域)；2.理解目標函數(shù)的幾何意義，掌握解決線性規(guī)劃問題的方法(圖解法)，注意線性規(guī)劃問題與其他知識的綜合1 二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)一般地，二元一次不等式AxByC>0在平面直角坐標系中表示直線AxByC0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線當我們在坐標系中畫不等式AxByC0所表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域應包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線(2)由于對直線AxByC0同一側(cè)的所有點(x，y)，把它的坐標(x，y)代入AxByC所得到實數(shù)的符號都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一個特殊點(x0，y0)，由Ax0By0C的符號即可判斷AxByC>0表示直線AxByC0哪一側(cè)的平面區(qū)域2 線性規(guī)劃相關(guān)概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的一次不等式線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標函數(shù)欲求最大值或最小值的函數(shù)線性目標函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題3. 應用利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是：(1)在平面直角坐標系內(nèi)作出可行域(2)考慮目標函數(shù)的幾何意義，將目標函數(shù)進行變形(3)確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動目標函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標函數(shù)即可求出最大值或最小值. 難點正本疑點清源1 確定二元一次不等式表示平面區(qū)域的方法與技巧確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域時，經(jīng)常采用“直線定界，特殊點定域”的方法2 求二元一次函數(shù)zaxby(ab0)的最值，將函數(shù)zaxby轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：yx，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值要注意：當b>0時，截距取最大值時，z也取最大值；截距取最小值時，z也取最小值；當b<0時，截距取最大值時，z取最小值；截距取最小值時，z取最大值1 若點(1,3)和(4，2)在直線2xym0的兩側(cè)，則m的取值范圍是_答案5<m<10解析由題意可得(2×13m)2×(4)2m<0，即(m5)(m10)<0，5<m<10.2 如圖所示的平面區(qū)域(陰影部分)滿足不等式_答案xy1>0解析平面區(qū)域的邊界線方程為1，即xy10.所以平面區(qū)域滿足不等式是xy1>0.3 完成一項裝修工程需要木工和瓦工共同完成請木工需付工資每人50元，請瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工人工資預算2 000元，設木工x人，瓦工y人，則請工人的約束條件是_答案4 (xx·課標全國)設x，y滿足約束條件則zx2y的取值范圍為_答案3,3解析作出不等式組的可行域，如圖陰影部分所示，作直線x2y0，并向左上，右下平移，當直線過點A時，zx2y取最大值；當直線過點B時，zx2y取最小值由得B(1,2)，由得A(3,0)zmax32×03，zmin12×23，z3,35 (xx·四川)某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過12千克通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是()A1 800 元 B2 400 元C2 800 元 D3 100 元答案C解析設生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶，乙產(chǎn)品y桶，每天利潤為z元，則z300x400y.作出可行域，如圖陰影部分所示作直線300x400y0，向右上平移，過點A時，z300x400y取最大值，由得A(4,4)，zmax300×4400×42 800.題型一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域例1若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線ykx分為面積相等的兩部分，則k的值是()A. B. C. D.思維啟迪：畫出平面區(qū)域，顯然點在已知的平面區(qū)域內(nèi)，直線系過定點，結(jié)合圖形尋找直線平分平面區(qū)域面積的條件即可答案A解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示由于直線ykx過定點.因此只有直線過AB中點時，直線ykx能平分平面區(qū)域因為A(1,1)，B(0,4)，所以AB中點D.當ykx過點時，所以k.探究提高不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域點集的交集，畫出圖形后，面積關(guān)系可結(jié)合平面知識探求 已知關(guān)于x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為4，則k的值為 ()A1 B3C1或3 D0答案A解析其中平面區(qū)域kxy20是含有坐標原點的半平面直線kxy20又過定點(0,2)，這樣就可以根據(jù)平面區(qū)域的面積為4，確定一個封閉的區(qū)域，作出平面區(qū)域即可求解平面區(qū)域如圖所示，根據(jù)平面區(qū)域面積為4，得A(2,4)，代入直線方程，得k1.題型二求線性目標函數(shù)的最值例2已知x，y滿足條件，求4x3y的最大值和最小值思維啟迪：目標函數(shù)z4x3y是直線形式，可通過平行移動，求最值解不等式組表示的區(qū)域如圖所示可觀察出4x3y在A點取到最大值，在B點取到最小值解方程組，得，則A(1，6)解方程組，得.則B(3,2)，因此4x3y的最大值和最小值分別為14，18.探究提高(1)線性目標函數(shù)的最大(小)值一般在可行域的頂點處取得，也可能在邊界處取得(2)求線性目標函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標函數(shù)所表示的幾何意義，明確和直線的縱截距的關(guān)系 (xx·廣東)已知平面直角坐標系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定若M(x，y)為D上的動點，點A的坐標為(，1)，則z·的最大值為 ()A3 B4 C3 D4答案B解析由線性約束條件畫出可行域如圖陰影部分所示，目標函數(shù)z·xy，將其化為yxz，結(jié)合圖形可知，目標函數(shù)的圖象過點(，2)時，z最大，將點(，2)的坐標代入zxy得z的最大值為4.題型三線性規(guī)劃的簡單應用例3某公司計劃在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為500元/分鐘和200元/分鐘假定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？思維啟迪：根據(jù)線性規(guī)劃解決實際問題，要先用字母表示變量，找出各量的關(guān)系列出約束條件，設出目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題解設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，由題意得目標函數(shù)為z3 000x2 000y.二元一次不等式組等價于作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖：作直線l：3 000x2 000y0，即3x2y0.平移直線l，從圖中可知，當直線l過M點時，目標函數(shù)取得最大值聯(lián)立解得x100，y200.點M的坐標為(100,200)，zmax3 000x2 000y700 000(元)即該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元探究提高解線性規(guī)劃應用問題的一般步驟是：(1)分析題意，設出未知量；(2)列出線性約束條件和目標函數(shù)；(3)作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解；(4)作答 (1)(xx·江西)某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤(總利潤總銷售收入總種植成本)最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別為()A50,0 B30,20C20,30 D0,50(2)如果點P在平面區(qū)域上，點Q在曲線x2(y2)21上，那么|PQ|的最小值為()A. B.1C21 D.1答案(1)B(2)A解析(1)設種植黃瓜x畝，韭菜y畝，則由題意可知求目標函數(shù)zx0.9y的最大值，根據(jù)題意畫可行域如圖陰影所示當目標函數(shù)線l向右平移，移至點A(30,20)處時，目標函數(shù)取得最大值，即當黃瓜種植30畝，韭菜種植20畝時，種植總利潤最大(2)如圖，當P取點，Q取點(0，1)時，|PQ|有最小值為.利用線性規(guī)劃思想求解非線性目標函數(shù)的最值典例：(12分)變量x、y滿足，(1)設z，求z的最小值；(2)設zx2y2，求z的取值范圍；(3)設zx2y26x4y13，求z的取值范圍審題視角(x，y)是可行域內(nèi)的點(1)z可以理解為點(x，y)與點(0,0)連線的斜率(2)x2y2可以理解為點(x，y)與點(0,0)連線距離的平方(3)x2y26x4y13(x3)2(y2)2可以理解為點(x，y)與(3,2)的距離的平方結(jié)合圖形確定最值規(guī)范解答解由約束條件，作出(x，y)的可行域如圖所示由，解得A.由，解得C(1,1)由，解得B(5,2)4分(1)z.z的值即是可行域中的點與原點O連線的斜率觀察圖形可知zminkOB.6分(2)zx2y2的幾何意義是可行域上的點到原點O的距離的平方結(jié)合圖形可知，可行域上的點到原點的距離中，dmin|OC|，dmax|OB|.2z29.9分(3)zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的幾何意義是可行域上的點到點(3,2)的距離的平方結(jié)合圖形可知，可行域上的點到(3,2)的距離中，dmin1(3)4，dmax8.16z64.12分溫馨提醒(1)本題是線性規(guī)劃的綜合應用，考查的是非線性目標函數(shù)的最值的求法(2)解決這類問題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，給目標函數(shù)賦于一定的幾何意義(3)本題錯誤率較高出錯原因是，很多學生無從入手，缺乏數(shù)形結(jié)合的應用意識，不知道從其幾何意義入手解題方法與技巧1平面區(qū)域的畫法：線定界、點定域(注意實虛線)2求最值：求二元一次函數(shù)zaxby (ab0)的最值，將函數(shù)zaxby轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：yx，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值最優(yōu)解在頂點或邊界取得3解線性規(guī)劃應用題，可先找出各變量之間的關(guān)系，最好列成表格，然后用字母表示變量，列出線性約束條件；寫出要研究的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題失誤與防范1畫出平面區(qū)域避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標準化2在通過求直線的截距的最值間接求出z的最值時，要注意：當b>0時，截距取最大值時，z也取最大值；截距取最小值時，z也取最小值；當b<0時，截距取最大值時，z取最小值；截距取最小值時，z取最大值A組專項基礎訓練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 設A(x，y)|x，y,1xy是三角形的三邊長，則A所表示的平面區(qū)域(不含邊界的陰影部分)是 ()答案A解析由已知得即2 (xx·湖北)直線2xy100與不等式組表示的平面區(qū)域的公共點有()A0個 B1個 C2個 D無數(shù)個答案B解析在坐標平面內(nèi)畫出直線2xy100與不等式組表示的平面區(qū)域，易知直線與此區(qū)域的公共點有1個3 (xx·山東)設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z3xy的取值范圍是 ()A. B.C. D.答案A解析作出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分所示，作直線3xy0，并向左上、右下平移由圖可得，當直線過點A時，z3xy取最大值；當直線過點B時，z3xy取最小值由解得A(2,0)；由解得B.zmax3×206，zmin3×3.z3xy的取值范圍是.4 某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品，由乙車間加工出B產(chǎn)品，甲車間加工一箱原料需耗費工時10小時可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元，乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時可加工出4千克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品獲利50元甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費工時總和不得超過480小時，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計劃為 ()A甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱B甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱C甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱D甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱答案B解析設甲車間加工原料x箱，乙車間加工原料y箱，則目標函數(shù)z280x200y，結(jié)合圖象可得：當x15，y55時，z最大二、填空題(每小題5分，共15分)5 (xx·陜西)如圖，點(x，y)在四邊形ABCD內(nèi)部和邊界上運動，那么2xy的最小值為_答案1解析令b2xy，則y2xb，如圖所示，作斜率為2的平行線y2xb，當經(jīng)過點A時，直線在y軸上的截距最大，為b，此時b2xy取得最小值，為b2×111.6 (xx·課標全國)若變量x，y滿足約束條件則zx2y的最小值為_答案6解析作出不等式表示的可行域如圖(陰影部分)易知直線zx2y過點B時，z有最小值由得所以zmin42×(5)6.7 某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元、每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元，該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸、B原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得的最大利潤是_萬元答案27解析設生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸、乙產(chǎn)品y噸，則獲得的利潤為z5x3y.由題意得可行域如圖陰影所示由圖可知當x、y在A點取值時，z取得最大值，此時x3，y4，z5×33×427(萬元)三、解答題(共22分)8 (10分)畫出2x3<y3表示的區(qū)域，并求出所有正整數(shù)解解先將所給不等式轉(zhuǎn)化為而求正整數(shù)解則意味著x，y還有限制條件，即求的整數(shù)解所給不等式等價于依照二元一次不等式表示平面區(qū)域可得如圖(1)對于2x3<y3的正整數(shù)解，再畫出表示的平面區(qū)域如圖(2)所示：可知，在該區(qū)域內(nèi)有整數(shù)解為(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)共五組9 (12分)制訂投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損某投資人打算投資甲、乙兩個項目，根據(jù)預測，甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%.若投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確保可能的資金虧損不超過1.8萬元，問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？解設投資人分別用x萬元、y萬元投資甲、乙兩個項目，由題意知目標函數(shù)zx0.5y.上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，陰影部分(含邊界)即為可行域?qū)x0.5y變形為y2x2z，這是斜率為2、隨z變化的一組平行線，當直線y2x2z經(jīng)過可行域內(nèi)的點M時，直線y2x2z在y軸上的截距2z最大，z也最大這里M點是直線xy10和0.3x0.1y1.8的交點解方程組得x4，y6，此時z40.5×67(萬元)7>0，當x4，y6時，z取得最大值，所以投資人用4萬元投資甲項目、6萬元投資乙項目，才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下，使可能的盈利最大B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 (xx·福建)若函數(shù)y2x圖象上存在點(x，y)滿足約束條件則實數(shù)m的最大值為 ()A B1 C. D2答案B解析在同一直角坐標系中作出函數(shù)y2x的圖象及 所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示由圖可知，當m1時，函數(shù)y2x的圖象上存在點(x，y)滿足約束條件，故m的最大值為1.2 (xx·課標全國)已知正三角形ABC的頂點A(1,1)，B(1,3)，頂點C在第一象限，若點(x，y)在ABC內(nèi)部，則zxy的取值范圍是 ()A(1，2) B(0,2)C(1,2) D(0,1)答案A解析如圖，根據(jù)題意得C(1，2)作直線xy0，并向左上或右下平移，過點B(1,3)和C(1，2)時，zxy取范圍的邊界值，即(1)2<z<13，zxy的取值范圍是(1，2)3 設不等式組所表示的平面區(qū)域是1，平面區(qū)域2與1關(guān)于直線3x4y90對稱對于1中的任意點A與2中的任意點B，|AB|的最小值等于()A. B4 C. D2答案B解析不等式組，所表示的平面區(qū)域如圖所示，解方程組，得.點A(1,1)到直線3x4y90的距離為d2，則|AB|的最小值為4.二、填空題(每小題5分，共15分)4 已知z2xy，式中變量x，y滿足約束條件則z的最大值為_答案5解析在坐標平面內(nèi)畫出題中的不等式表示的平面區(qū)域及直線2xy0，平移該直線，當平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(2，1)時，相應直線在x軸上的截距最大，此時z2xy取得最大值，最大值是z2×2(1)5.5 已知變量x，y滿足條件若目標函數(shù)zaxy(其中a>0)僅在點(3,0)處取得最大值，則a的取值范圍是_答案解析畫出x、y滿足條件的可行域如圖所示，要使目標函數(shù)zaxy僅在點(3,0)處取得最大值，則直線yaxz的斜率應小于直線x2y30的斜率，即a<，a>.6 (xx·湖北改編)已知向量a(xz,3)，b(2，yz)，且ab.若x，y滿足不等式|x|y|1，則z的取值范圍為_答案3,3解析a(xz,3)，b(2，yz)，且ab，a·b2(xz)3(yz)0，即2x3yz0.又|x|y|1表示的區(qū)域為圖中陰影部分，當2x3yz0過點B(0，1)時，zmin3，當2x3yz0過點A(0,1)時，zmin3.z3,3三、解答題7 (13分)某營養(yǎng)師要為某個兒童預訂午餐和晚餐已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C；一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物，42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C.如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費最少，應當為該兒童分別預訂多少個單位的午餐和晚餐？解設需要預訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個單位和y個單位，所花的費用為z元，則依題意得：z2.5x4y，且x，y滿足即畫出可行域如圖所示讓目標函數(shù)表示的直線2.5x4yz在可行域上平移，25x4y在(4,3)處取得最小值，由此可知z22.因此，應當為該兒童預訂4個單位的午餐和3個單位的晚餐，就可滿足要求