2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 4.2 函數(shù)與方程教案 新課標(biāo)

2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 4.2 函數(shù)與方程教案 新課標(biāo) 【知識(shí)歸納】 1．函數(shù)零點(diǎn)的定義： 方程有實(shí)根函數(shù)圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)。 2．函數(shù)變號(hào)零點(diǎn)與不變號(hào)零點(diǎn)（二重零點(diǎn)）性質(zhì)： （1）定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不間斷的一條曲線，并且有那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是方程的實(shí)數(shù)根。 （2）變號(hào)了一定有零點(diǎn)（能證明f(x)單調(diào)則有且只有一個(gè)零點(diǎn)）；不變號(hào)不一定無(wú)零點(diǎn)（如二重零點(diǎn)）：在相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間所有的函數(shù)值保持同號(hào)。 3．怎樣求零點(diǎn)：即為求解方程的根？ 解一：利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作的對(duì)應(yīng)值表、若在區(qū)間上連續(xù)，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根、若能證明在單調(diào)性，則在有且只有一個(gè)零點(diǎn)、再在其它區(qū)間內(nèi)同理去尋找。 解二：試探著找到兩個(gè)x對(duì)應(yīng)值為一正一負(fù)（至少有一個(gè)）；再證單調(diào)增函數(shù)即可得有且只有一個(gè)。 解三：構(gòu)造兩個(gè)易畫(huà)函數(shù)，畫(huà)圖，看圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，很實(shí)用。 4．用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟： 在給定精確度，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的步驟是： （1）確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精確度； （2）求區(qū)間的中點(diǎn)； （3）計(jì)算： ①若=0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)，計(jì)算終止； ②若，則令b=c（此時(shí)零點(diǎn)）； ③若則令a=c（此時(shí)零點(diǎn)。(用列表更清楚) （4）．判斷是否達(dá)到精確度：即若，則得到零點(diǎn)近似值；否則重復(fù)（2）~（4）。 說(shuō)明：用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對(duì)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)適合，對(duì)函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)不使用；用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值必須用上節(jié)的三種方法之一先求出零點(diǎn)所在的區(qū)間。 【典型例題】 一、確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 例1．（1）二次函數(shù)中，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ） A．1個(gè) B．2個(gè) C．0個(gè) D．無(wú)法確定 分析：分析條件，是二次項(xiàng)系數(shù)，確定拋物線的開(kāi)口方向，，所以，由此得解。 解：因?yàn)?，所以，即與異號(hào)，即或 所以函數(shù)必有兩個(gè)零點(diǎn)，故選B。 （2）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)______。 解：可由試根法求得的一根為，從而可得，由函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)。 例2． 函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（ ） A．（1，2） B．（2，3） C．和（3，4） D． 分析：從已知的區(qū)間，求和，判斷是否有。 解：因?yàn)椋试冢?，2）內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，非A。 又，所以，所以在（2，3）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，選B。 例2．下列函數(shù)中，在區(qū)間[1，2]上有零點(diǎn)的是 ①②③ ④⑤ 解析：①直接求出x=1，符合 ②首先判斷一元二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過(guò)求所對(duì)應(yīng)方程判別式的大?。骸?lt;0,無(wú)零點(diǎn) ③△>0,且,零點(diǎn) ④即判斷與的交點(diǎn)情況，需要畫(huà)圖，并判斷交點(diǎn)所在區(qū)間 ⑤同理，判斷與的交點(diǎn)情況 答案①③⑤ 例4． 試證明函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。 證明：且， 而函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的 在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)。 又，在上是一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù)。如果函數(shù)有不僅一個(gè)的零點(diǎn)，可設(shè)為它的兩個(gè)不等的零點(diǎn)，則有，這與在上是一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù)矛盾，函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。 二、求函數(shù)零點(diǎn)的近似值 例5．求方程在區(qū)間內(nèi)的實(shí)數(shù)解。（ 精確到0.01） 解：考察函數(shù)由于，函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)，即方程在區(qū)間內(nèi)有解。取[0，2]的中點(diǎn)1， 方程在[1，2]內(nèi)有解，又所以在區(qū)間存在零點(diǎn)，方程在[1，1.5]內(nèi)有解，如此下去，取區(qū)間作為計(jì)算器的初始區(qū)間。用二分法逐次計(jì)算列表如下： 區(qū)間中點(diǎn)坐標(biāo) 中點(diǎn)函數(shù)值 取區(qū)間 0.5 1.25 0.25 1.375 0.125 1.3125 0.0625 1.34375 0.03125 1.328125 0.015625 1.3203125 0.0078125 ，至此可以看出，函數(shù)的零點(diǎn)落在區(qū)間長(zhǎng)度小于0.01的區(qū)間內(nèi)，因?yàn)樵搮^(qū)間的所有值精確到0.01的都是1.32，所以1.32是函數(shù)精確到0.01的一個(gè)近似零點(diǎn)。 例6．已知二次函數(shù)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象與直線的兩個(gè)交點(diǎn)間距離為8， （1）求函數(shù)的表達(dá)式。 （2）證明：當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解。 解：（1） （2）由得，即：，在同一坐標(biāo)系作出和的大致圖象，其中的圖象是以坐標(biāo)軸為漸近線，且位于第一、三象限的雙曲線，的圖象是以為頂點(diǎn)，開(kāi)口向下的拋物線。因此，與的圖象在第三象限有一個(gè)交點(diǎn)。即有一個(gè)負(fù)數(shù)解。 又，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，在第一象限的圖象上存在一點(diǎn)在圖象的上方。 與的圖象在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)正數(shù)解。因此，方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解。 方法二：由得，因式分解為：，即：或，又不是的根，故可化為：，只須證明和不是的根，且具有兩個(gè)不等的實(shí)根。 【作業(yè)】 1．已知關(guān)于的方程－2= 0有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 答案：0≤≤4－ 2．已知二次函數(shù) （1）若，且，試證明必有兩個(gè)零點(diǎn)。 （2）若對(duì)于且，，方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，證明必有一實(shí)根屬于。 證明：（1） 又，即， 又，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，所以函數(shù)有兩個(gè)實(shí)根。 （2）令， 則， ， 在內(nèi)必有一實(shí)根，即在內(nèi)必有一實(shí)根。 3．已知關(guān)于x的二次函數(shù)． (1)求證：對(duì)于任意，方程必有實(shí)數(shù)根； (2)若，求證：方程在區(qū)間上各有一個(gè)實(shí)數(shù)根． (1)由知必有實(shí)數(shù)根. 或由得必有實(shí)數(shù)根． (2)當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，? ， 所以方程在區(qū)間上各有一個(gè)實(shí)數(shù)根． 4．已知，t∈[，8]，對(duì)于f(t)值域內(nèi)的所有實(shí)數(shù)m，不等式恒成立，求x的取值范圍。 解析∵t∈[，8]，∴f(t)∈[，3] 原題轉(zhuǎn)化為：>0恒成立，為m的一次函數(shù)（這里思維的轉(zhuǎn)化很重要） 當(dāng)x＝2時(shí)，不等式不成立。 ∴x≠2。令g(m)＝，m∈[，3] 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(m)在m∈[，3]上恒對(duì)于0，則：； 解得：x>2或x<－1 評(píng)析：首先明確本題是求x的取值范圍，這里注意另一個(gè)變量m，不等式的左邊恰是m的一次函數(shù)，因此依據(jù)一次函數(shù)的特性得到解決。在多個(gè)字母變量的問(wèn)題中，選準(zhǔn)“主元”往往是解題的關(guān)鍵。