2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題八 數(shù)列（含解析）

2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題八 數(shù)列（含解析）抓住5個高考重點重點1 數(shù)列的概念與通項公式1.數(shù)列的定義2.通項與前項和的關(guān)系：3.數(shù)列的一般性質(zhì)：（1）單調(diào)性；（2）周期性-若，則為周期數(shù)列，為的一個周期.4.數(shù)列通項公式的求法：觀察、歸納與猜想高考?？冀嵌冉嵌? 已知數(shù)列滿足，則解析：主要考查對數(shù)列中項數(shù)的分析處理能力，角度2 已知數(shù)列的前項和為第項滿足則（ ）A. B. C. D. 解析：當(dāng)時，；當(dāng)時，故由，故選B重點2等差數(shù)列及其前項和1.等差數(shù)列的通項公式：2.等差數(shù)列的前項和公式：，為常數(shù)3.等差數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用：也成等差數(shù)列4.等差數(shù)列前項和的最值：（1）若，數(shù)列的前幾項為負(fù)數(shù)，則所有負(fù)數(shù)項或零項之和為最??；（2）若，數(shù)列的前幾項為正數(shù)，則所有正數(shù)項或零項之和為最大；（3）通過用配方法或?qū)?shù)求解.5等差數(shù)列的判定與證明：（1）利用定義，（2）利用等差中項，（3）利用通項公式為常數(shù)，（4）利用前項和，為常數(shù)高考常考角度角度1在等差數(shù)列中，則_解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)知.角度2已知為等差數(shù)列，其公差為，且是與的等比中項，為的前項和，則的值為（ ）A B C D解析：，解之得，. 故選D.角度3設(shè)等差數(shù)列的前項和為,若,則當(dāng)取最小值時等于（ ）A B C D解析：設(shè)該數(shù)列的公差為，則，解得，所以，所以當(dāng)時，取最小值.選A角度4已知數(shù)列滿足對任意的，都有，且（1）求，的值；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）設(shè)數(shù)列的前項和為，不等式對任意的正整數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍解：（1）當(dāng)時，有，由于，所以 當(dāng)時，有，將代入上式，由于，所以 （2）由于， 則有 ，得， 由于，所以 同樣有， ，得 所以由于，即當(dāng)時都有，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列故（3） 數(shù)列是遞增數(shù)列，故要使不等式對任意的正整數(shù)恒成立只須，又 故 所以 實數(shù)的取值范圍是角度5 （xx.福建）已知等差數(shù)列中，（）求數(shù)列的通項公式；（）若數(shù)列的前項和，求的值解析：（）設(shè)等差數(shù)列的公差，則，由題設(shè)，所以（）因為，所以，解得或因為，所以重點3 等比數(shù)列及其前項和1.等比數(shù)列的通項公式：2.等比數(shù)列的前項和公式：3.等比數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用: 也成等比數(shù)列4.等比數(shù)列的判定與證明：（1）利用定義為常數(shù)（2）利用等比中項，高考?？冀嵌冉嵌?若等比數(shù)列滿足，則公比為（ ）A. B. C. D. 解析：由題有，故選擇B.角度2在等比數(shù)列中，若則公比 ； .解析：由已知得；所以.角度3設(shè)數(shù)列的前項和為 已知（）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列（）求數(shù)列的通項公式。解析：（）由及，有由， 則當(dāng)時，有.得 ， 又，是首項，公比為2的等比數(shù)列（）由（）可得，（如果不這樣，就要用到累差法了）數(shù)列是首項為，公差為的等比數(shù)列，故 角度4等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求數(shù)列的通項公式；（）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項和.解析：（）當(dāng)時，不合題意；當(dāng)時，不合題意.當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，符合題意；因此 故 （）因為重點4 數(shù)列的求和1.數(shù)列求和的注意事項：（1）首項：從哪項開始相加；（2）有多少項求和；（3）通項的特征決定求和的方法2.常見的求和技巧：（1）公式法，利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式；（2）倒序相加法；（3）錯位相減法；（4）分組求和法； （5）裂項法； （6）并項法高考?？冀嵌冉嵌?若數(shù)列的通項公式是,則（ ）A. B. C. D. 解析:方法一：分別求出前10項相加即可得出結(jié)論；方法二：，故.故選A.角度2 已知數(shù)列，求此數(shù)列的前項和解析：由角度3數(shù)列為等差數(shù)列，為正整數(shù)，其前項和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且，數(shù)列是公比為64的等比數(shù)列，. （1）求； （2）求證.解：設(shè)公差為，由題意易知，且 則通項，前項和再設(shè)公比為，則通項 由可得 又為公比為64的等比數(shù)列， 聯(lián)立、及，且可解得 通項， 的通項，（2）由（1）知， 角度4 設(shè)若，則_解析： 由得 ， 角度5 設(shè)數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項公式（2）設(shè)求數(shù)列的前項和解析：（1）由已知 當(dāng)時， 兩式相減得， 在中，令，得 所以（2） 相減得重點5 數(shù)列的綜合應(yīng)用1.等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合2.數(shù)列的實際應(yīng)用（貴州省所考的新課程全國卷基本上不考此類題，故未選入）高考?？冀嵌冉嵌?設(shè)，其中成公比為的等比數(shù)列，成公差為的等差數(shù)列，則的最小值是_解析：由題意：， ，而的最小值分別為 .角度2已知是以a為首項，q為公比的等比數(shù)列，為它的前n項和（）當(dāng)、成等差數(shù)列時，求q的值；（）當(dāng)、成等差數(shù)列時，求證：對任意自然數(shù)k，、也成等差數(shù)列解析：（）由已知，因此，當(dāng)、成等差數(shù)列時，可得化簡得解得（）若，則的每項，此時、顯然成等差數(shù)列若，由、成等差數(shù)列可得，即整理得因此，所以，、也成等差數(shù)列突破3個高考難點難點1 數(shù)列的遞推公式及應(yīng)用1.求（為常數(shù)）型的通項公式（1）當(dāng)時，為等差數(shù)列（2）當(dāng)時，為等差數(shù)列（3）當(dāng)且時，方法是累差法或待定系數(shù)法，具體做法是：數(shù)列為等比數(shù)列2.求（且為常數(shù)）型的通項公式，具體做法是：“倒代換”由變形為，故是以為首項，為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而求解3. 求（為常數(shù)）型的通項公式，具體做法是：由，令，則，再行求解.典例 根據(jù)下列條件，求數(shù)列的通項公式（1） （待定系數(shù)法）解析：由，是以為公比，為首項的等比數(shù)列 （2）（換元法）解析：由，是以公差，1為首項的等差數(shù)列 （3） （累差法、換元法、待定系數(shù)法）解析：兩邊除以得，令，則是以為公比，為首項的等比數(shù)列，（4） （累積法）解析：由已知得以上各式相乘，得（5） （換元法）解析：由已知是以為公比，為首項的等比數(shù)列，所以難點2 數(shù)列與不等式的交匯典例設(shè)數(shù)列滿足且（）求的通項公式；（）設(shè)記證明：解析：（）由已知，是公差為1的等差數(shù)列，（）難點3 數(shù)列與函數(shù)、方程的交匯典例1已知等比數(shù)列的公比，前3項和。（）求數(shù)列的通項公式；（）若函數(shù)在處取得最大值，且最大值為，求的解析式。點評：本題考察等比數(shù)列的通項公式、三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想?；A(chǔ)題。解：（）由題有；（）由（），故，又，所以 規(guī)避4個易失分點易失分點1 忽略成立的條件典例 已知數(shù)列滿足，（1）證明是等差數(shù)列，并求出公差（2）求數(shù)列的通項公式解析：（1）由已知，所以是等差數(shù)列，且公差為（2）當(dāng)時，驗證與不符故易失分點2 數(shù)列求和中包含的項數(shù)不清典例 設(shè)，則等于（ ）A. B. C. D. 解析：容易錯選A，其實仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn)，有項，故選D易失分點3 數(shù)列中的最值求解不當(dāng)?shù)淅?已知數(shù)列滿足則的最小值為_解析：由已知得以上各式相加得，令，由對鉤函數(shù)或者求導(dǎo)可以知道在上遞減，在上遞增又，所以時可能取到最小值，而，故的最小值為易失分點4 使用錯位相減法求和時對項數(shù)處理不當(dāng)?shù)淅?數(shù)列是等差數(shù)列，,其中，數(shù)列前項和存在最小值.（1）求通項公式;（2）若，求數(shù)列的前項和解：（1） 2分又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列， （）+（）=解之得：或 4分當(dāng)時，此時公差，當(dāng)時，公差，此時數(shù)列前n項和不存在最小值，故舍去。 6分（2）由（1）知， 8分（點評：此處有一項為0，但是必須寫上，否則會引起混亂） 10分（點評：不能打亂原有的結(jié)構(gòu)） 12分