2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.5 函數(shù)的周期性教案 新課標(biāo)

2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.5 函數(shù)的周期性教案 新課標(biāo)一. 知識(shí)要點(diǎn):1. 函數(shù)的周期性周期函數(shù)定義：若函數(shù)滿足 , ，則稱函數(shù)為周期函數(shù)，T是其周期說(shuō)明:定義域?yàn)镽時(shí)，若T是周期，那么nT也是周期 ( n為整數(shù)）2。最小正周期 最小正周期定義:若是周期函數(shù)，且在它所有的周期中存在最小的正數(shù)，稱為的最小正周期。說(shuō)明:（1）周期函數(shù)不一定有最小正周期（常數(shù)函數(shù)）（2）最小正周期相同的兩個(gè)函數(shù)的和，其最小正周期不一定不變3.如何判斷函數(shù)的周期性： 定義; 圖象;利用下列補(bǔ)充性質(zhì)： 設(shè)a>0，則： 函數(shù)y=f(x),xR, 若f(x+a)=f(x-a)，則函數(shù)的周期為2a 函數(shù)y=f(x),xR, 若f(x+a)=-f(x)，則函數(shù)的周期為2a 函數(shù)y=f(x),xR, 若，則函數(shù)的周期為2a 若函數(shù)的圖象同時(shí)關(guān)于直線與對(duì)稱，那么其周期為；證：若關(guān)于x=a對(duì)稱，則有f(a+x)=f(a-x)，用x+a代x可得：f(x+2a)=f(-x)，同理可得：f(x+2b)=f(-x)，從而有：f(x+2a)= f(x+2b)，再用x-2a代x可得：f(x)= f(x+2b-2a)，所以周期為；特例：若函數(shù)是偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，那么其周期為 T=2a若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱, 那么函數(shù)的周期是4|b-a|；證：關(guān)于直線對(duì)稱可得：f(a+x)=f(a-x)，用x+a代x可得：f(x+2a)=f(-x) (1)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱可得：f(b+x)+f(b-x)=0用-x-b代x可得：f(-x)+f(2b+x)=0，與（1）式聯(lián)立得：f(x+2a)+f(x+2b)=0得：f(x)+f(x+2b-2a)=0（2），進(jìn)而得：f(x+2b-2a)+f(x+4b-4a)=0，與（2）；聯(lián)立即得：f(x)= f(x+4b-4a)，故周期是4|b-a|；特例：若函數(shù)是奇函數(shù)，又其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，那么其周期為T=4a二. 例題選講:例1. 已知定義在R上的偶函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí), 求的值解:,又例已知定義在R上函數(shù)滿足,且是偶函數(shù),當(dāng)時(shí)，求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式.解：變式 :已知，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式.解：例3：設(shè)函數(shù)在上滿足，且在閉區(qū)間0，7上，只有（1）試判斷函數(shù)的奇偶性和周期性；（2）試求方程=0在閉區(qū)間-xx，xx上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數(shù)的對(duì)稱軸為,從而知函數(shù)不是奇函數(shù),由,從而知函數(shù)的周期為又,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);(2) 由 又故f(x)在0,10和-10,0上均有有兩個(gè)解,從而可知函數(shù)在0,xx上有402個(gè)解,在-xx.0上有400個(gè)解,所以函數(shù)在-xx,xx上有802個(gè)解.三. 課外作業(yè):1.已知定義在R上的函數(shù)，對(duì)于任意x都有成立,設(shè), 數(shù)列中值不同的項(xiàng)最多有幾項(xiàng)？解：由得進(jìn)而得到，即T=8，所以數(shù)列中值不同的項(xiàng)最多有8項(xiàng)；2.定義在R上的函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí)， 求在上的表達(dá)式. 若，且,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：可得周期T=4， a<13.設(shè)是定義在 上以2為周期的函數(shù)，對(duì)，用表示區(qū)間，已知當(dāng)當(dāng)時(shí)，（1）求在上的解析式；（2）對(duì)，求集合 解：（1）由周期T=2結(jié)合平移可得在上；（2），即在上有兩個(gè)不等實(shí)根，也即在上有兩個(gè)不等實(shí)根，可得：解得：；