2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 算法初步 第64講 隨機(jī)抽樣學(xué)案

第64講隨機(jī)抽樣考綱要求考情分析命題趨勢(shì)1.理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性2會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法.2017·江蘇卷，32015·湖北卷，22014·湖南卷，3考查系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的應(yīng)用，利用隨機(jī)抽樣的方法解決抽取樣本的相關(guān)問(wèn)題，利用頻率分布直方圖計(jì)算(求頻率、頻數(shù)等)樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征(平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等).分值：5分1簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(1)定義：設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中_逐個(gè)不放回地_抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(nN)，如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都_相等_，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(2)最常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法：_抽簽法_和_隨機(jī)數(shù)法_2系統(tǒng)抽樣(1)定義：在抽樣時(shí)，將總體分成_均衡_的幾個(gè)部分，然后按照_事先確定_的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本，這種抽樣方法叫做系統(tǒng)抽樣(也稱為機(jī)械抽樣)(2)適用范圍：適用于_元素個(gè)數(shù)_很多且_均衡的_總體抽樣3分層抽樣(1)定義：在抽樣時(shí)，將總體_分成互不交叉_的層，然后按照_一定的比例_，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣(2)分層抽樣的適用范圍：當(dāng)總體是由_差異明顯的_幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣1思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“×”)(1)從100件玩具中隨機(jī)拿出一件，放回后再拿出一件，連續(xù)拿5次，是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(×)(2)系統(tǒng)抽樣適用于元素個(gè)數(shù)很多且均衡的總體()(3)要從1 002個(gè)學(xué)生中用系統(tǒng)抽樣的方法選取一個(gè)容量為20的樣本，需要剔除2個(gè)學(xué)生，這樣對(duì)被剔除者不公平(×)(4)分層抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān)(×)(5)某校即將召開學(xué)生代表大會(huì)，現(xiàn)從高一、高二、高三共抽取60名代表，則可用分層抽樣方法抽取()2在抽樣過(guò)程中，每次抽取的個(gè)體不再放回總體的為不放回抽樣，在分層抽樣、系統(tǒng)抽樣、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣三種抽樣中，不放回抽樣的有(D)A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè)解析 三種抽樣都是不放回抽樣3假設(shè)要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的三聚氰胺是否超標(biāo)，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本時(shí)，先將800袋牛奶按000,001，799進(jìn)行編號(hào)，如果從隨機(jī)數(shù)表第7行第8列的數(shù)開始向右讀，則得到的第4個(gè)樣本個(gè)體的編號(hào)是_068_(下面摘取了隨機(jī)數(shù)表第7行至第9行)87 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54解析 由隨機(jī)數(shù)表，可以看出前4個(gè)樣本個(gè)體的編號(hào)是331,572,455,068，所以第4個(gè)樣本個(gè)體的編號(hào)為068.4某工廠平均每天生產(chǎn)某種機(jī)器零件大約10 000件，要求產(chǎn)品檢驗(yàn)員每天抽取50件零件，檢查其質(zhì)量狀況，采用系統(tǒng)抽樣方法抽取，若抽取的第一組中的號(hào)碼為0010，則第三組抽取的號(hào)碼為_0410_.解析 根據(jù)系統(tǒng)抽樣方法的特點(diǎn)，從10 000件零件中抽取50件零件，組距200，當(dāng)?shù)谝唤M中抽到的號(hào)碼是0010時(shí)，第三組中抽到的號(hào)碼是0010(31)×2000410.5(2017·江蘇卷)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100件為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取_18_件解析 應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取60×18(件)一簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的注意點(diǎn)(1)一個(gè)抽樣試驗(yàn)?zāi)芊裼贸楹灧ǎP(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是抽簽是否方便；二是號(hào)簽是否易攪勻，一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時(shí)可用抽簽法(2)在使用隨機(jī)數(shù)表時(shí)，如遇到三位數(shù)或四位數(shù)時(shí)，可從選擇的隨機(jī)數(shù)表中的某行某列的數(shù)字計(jì)起，每三個(gè)或四個(gè)作為一個(gè)單位，自左向右選取，有超過(guò)總體號(hào)碼或出現(xiàn)重復(fù)號(hào)碼的數(shù)字要舍去【例1】 (1)以下抽樣方法是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的是(D)A在某年明信片銷售活動(dòng)中，規(guī)定每100萬(wàn)張為一個(gè)開獎(jiǎng)組，通過(guò)隨機(jī)抽取的方式確定號(hào)碼的后四位為2 709的為三等獎(jiǎng)B某車間包裝一種產(chǎn)品，在自動(dòng)包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格C某學(xué)校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解對(duì)學(xué)校機(jī)構(gòu)改革的意見D用抽簽方法從10件產(chǎn)品中選取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)(2)總體由編號(hào)為01,02，19,20的20個(gè)個(gè)體組成利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為(D)7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A08B07C02D01解析 (1)A，B項(xiàng)不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，因?yàn)槌槿〉膫€(gè)體間的間隔是固定的；C項(xiàng)不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，因?yàn)榭傮w的個(gè)體有明顯的層次；D項(xiàng)是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(2)由題意知前5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為08,02,14,07,01.二系統(tǒng)抽樣解決系統(tǒng)抽樣問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)鍵步驟(1)分組的方法應(yīng)依據(jù)抽取比例而定，即根據(jù)定義每組抽取一個(gè)樣本(2)起始編號(hào)的確定應(yīng)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，一旦起始編號(hào)確定，其他編號(hào)便隨之確定了【例2】 (1)為了解1 000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的間隔為(C)A50B40C25D20(2)某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問(wèn)卷調(diào)查，將840人按1,2，840隨機(jī)編號(hào)，則抽取的42人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間481,720的人數(shù)為(B)A11B12C13D14解析 (1)由25，可得分段間隔為25.(2)由系統(tǒng)抽樣定義可知，所分組距為20，每組抽取一個(gè)，因?yàn)榘麛?shù)個(gè)組，所以抽取個(gè)體在區(qū)間481,720的數(shù)目為(720480)÷2012.三分層抽樣進(jìn)行分層抽樣時(shí)應(yīng)注意的幾點(diǎn)(1)分層抽樣中分多少層，如何分層要視具體情況而定，總的原則是：層內(nèi)樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊(2)為了保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，所有層中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同(3)在每層抽樣時(shí)，應(yīng)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行抽樣(4)抽樣比.【例3】 (1)某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本中的老年教師人數(shù)為(C)類別人數(shù)老年教師900中年教師1 800青年教師1 600合計(jì)4 300A90B100C180D300(2)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為357，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，其中甲種產(chǎn)品有18件，則樣本容量n(B)A54B90C45D126解析 (1)設(shè)該樣本中的老年教師人數(shù)為x，由題意及分層抽樣的特點(diǎn)可得，故x180.(2)依題意得×n18，解得n90，即樣本容量為90.1某校數(shù)學(xué)教研組為了解學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情況，采用分層抽樣的方法從高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查已知高二被抽取的人數(shù)為13，則n(B)A660B720C780D800解析 由已知條件可知抽樣比為，從而，解得n720，故選B2做一次關(guān)于“手機(jī)垃圾短信”的調(diào)查，在A，B，C，D四個(gè)單位回收的問(wèn)卷份數(shù)依次成等差數(shù)列，再?gòu)幕厥盏膯?wèn)卷份數(shù)中按單位分層抽取容量為100的樣本若在B單位抽取20份問(wèn)卷，則在D單位抽取的問(wèn)卷份數(shù)是(C)A30B35C40D65解析 由條件可設(shè)從A，B，C，D四個(gè)單位抽取的問(wèn)卷份數(shù)依次為20d,20,20d,202d，則(20d)20(20d)(202d)100，d10.在D單位抽取的問(wèn)卷為202d40(份)3月底某商場(chǎng)想通過(guò)抽取發(fā)票的10%來(lái)估計(jì)該月的銷售總額先將該月的全部銷售發(fā)票存根進(jìn)行編號(hào)分別為1,2,3，然后擬采用系統(tǒng)抽樣的方法獲取一個(gè)樣本若從編號(hào)為1,2，10的前10張發(fā)票存根中隨機(jī)抽取一張，然后再按系統(tǒng)抽樣的方法依編號(hào)順序逐次產(chǎn)生第二張、第三張、第四張、，則抽樣中產(chǎn)生的第二張已編號(hào)的發(fā)票存根，其編號(hào)不可能是(D)A13B17C19D23解析 根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)可知，若第一組的編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，則第二組的編號(hào)為11,12,13，20，所以抽樣中產(chǎn)生的第二張已編號(hào)的發(fā)票存根的編號(hào)不可能是23.4某校高一年級(jí)有900名學(xué)生，其中女生400名按男女比例用分層抽樣的方法，從該年級(jí)學(xué)生中抽取一個(gè)容量為45的樣本，則應(yīng)抽取的男生人數(shù)為_25_.解析 設(shè)應(yīng)抽取的男生人數(shù)為x，則，解得x25.易錯(cuò)點(diǎn)不清楚三種抽樣方法對(duì)個(gè)體抽取的等可能性錯(cuò)因分析：誤認(rèn)為被剔除的個(gè)體入選的概率與未被剔除的個(gè)體入選的概率不是相等的【例1】 從1 008名學(xué)生中抽取20人參加義務(wù)勞動(dòng)，規(guī)定采用下列方法選?。合扔煤?jiǎn)單隨機(jī)抽樣從1 008人中剔除8人，剩下1 000人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取，那么在1 008人中每個(gè)人入選的概率()A都相等且等于B都相等且等于C不全相等D均不相等解析 在用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取時(shí)，每個(gè)人不被剔除的概率是eq f(1 000,1 008，再按系統(tǒng)抽樣的方法每個(gè)人被抽取到的概率為，所以入選的概率是×.答案 B【跟蹤訓(xùn)練1】 對(duì)于一個(gè)容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當(dāng)選取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同的方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為p1，p2，p3，則(A)Ap1p2p3Bp1p2p3Cp2p3p1Dp1p3p2解析 無(wú)論是采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣還是分層抽樣，保持的原則是每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性是均等的，故選A課時(shí)達(dá)標(biāo)第64講解密考綱了解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣這三種抽樣方法，單獨(dú)考查時(shí)，一般是以選擇題或填空題的形式進(jìn)行考查一、選擇題1利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從含有8個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為4的樣本，則總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是(A)ABCD解析 每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是.2(2018·石家莊質(zhì)檢)福利彩票“雙色球”中紅色球的號(hào)碼由編號(hào)為01,02，33的33個(gè)個(gè)體組成，某彩民利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取6組數(shù)作為6個(gè)紅色球的編號(hào)，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第6列和第7列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第6個(gè)紅色球的編號(hào)為(C)49544354821737932378873520964384263491645724550688770474476721763350258392120676A23B09C02D17解析 從隨機(jī)數(shù)表第1行的第6列和第7列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的6個(gè)紅色球的編號(hào)依次為21,32,09,16,17,02，故選出的第6個(gè)紅色球的編號(hào)為02.3某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為(C)A93B123C137D167解析 由圖知，初中女教師有110×0.777名，高中女教師有150×0.460名，故共有7760137名女教師4某工廠在12月份共生產(chǎn)了3 600雙皮靴，在出廠前要檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽取，若從一、二、三車間抽取的產(chǎn)品數(shù)分別為a，b，c，且a，b，c構(gòu)成等差數(shù)列，則第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為(C)A800B1 000C1 200D1 500解析 a，b，c成等差數(shù)列，2bac，即第二車間抽取的產(chǎn)品數(shù)占抽樣產(chǎn)品總數(shù)的，由分層抽樣的性質(zhì)知，第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)占總數(shù)的，即為3 600×1 200雙皮靴5參加夏令營(yíng)的600名學(xué)生編號(hào)為001,002，600.采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，且隨機(jī)抽得的號(hào)碼為003.這600名學(xué)生分住在三個(gè)營(yíng)區(qū)，從001到300在A營(yíng)區(qū)，從301到495在B營(yíng)區(qū)，從496到600在C營(yíng)區(qū)，則三個(gè)營(yíng)區(qū)被抽中的人數(shù)依次為(B)A26,16,8B25,17,8C25,16,9D24,17,9解析 依題意知，在隨機(jī)抽樣中，首次抽到003號(hào)，以后每隔12個(gè)號(hào)抽到一個(gè)人，則分別是003,015,027,039，構(gòu)成以3為首項(xiàng)，12為公差的等差數(shù)列，所以第k(kN地)組抽中的號(hào)碼是12k9，令312(k1)300，解得k，因此A營(yíng)區(qū)被抽中的人數(shù)是25；同理，B、C營(yíng)區(qū)分別被抽中的人數(shù)是17,8.故選B6(2018·成都七中模塊檢測(cè))交通管理部門為了解機(jī)動(dòng)車駕駛員(簡(jiǎn)稱駕駛員)對(duì)某新法規(guī)的知曉情況，對(duì)甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)做分層抽樣調(diào)查假設(shè)四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為數(shù)N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人若在甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43，則這四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為(B)A101B808C1 212D2 012解析 依題意可知，甲社區(qū)駕駛員的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例為，因此有，解得N808.二、填空題7一所高校某專業(yè)大一、大二、大三、大四年級(jí)依次分別有100名，200名，400名，300名學(xué)生，學(xué)校為了解學(xué)生的就業(yè)傾向，用分層抽樣的方法從該專業(yè)這四個(gè)年級(jí)中共抽取40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則應(yīng)在該專業(yè)大三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為_16_.解析 由題意知，該專業(yè)大三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為40×16.8為了解1 200名學(xué)生對(duì)學(xué)校某項(xiàng)教改實(shí)驗(yàn)的意見，打算從中抽取一個(gè)容量為30的樣本，考慮采取系統(tǒng)抽樣，則分段的間隔k為_40_.解析 由系統(tǒng)抽樣的定義知分段間隔k40.9(2018·山東青島模擬)某班級(jí)有50名學(xué)生，現(xiàn)要采取系統(tǒng)抽樣的方法在這50名學(xué)生中抽出10名學(xué)生，將這50名學(xué)生隨機(jī)編號(hào)1 50號(hào)，并分組，第一組15號(hào)，第二組610號(hào)，第十組4650號(hào)，若在第三組中抽得號(hào)碼為12的學(xué)生，則在第八組中抽得號(hào)碼為_37_的學(xué)生解析 因?yàn)?25×22，即第三組抽出的是第二個(gè)學(xué)生，所以每一組都相應(yīng)抽出第二個(gè)學(xué)生，故第8組抽出的號(hào)碼為5×7237號(hào)三、解答題10某初級(jí)中學(xué)共有學(xué)生2 000名，各年級(jí)男、女生人數(shù)如下表.初一年級(jí)初二年級(jí)初三年級(jí)女生373xy男生377370z已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到初二年級(jí)女生的概率是0.19.(1)求x的值；(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，問(wèn)應(yīng)在初三年級(jí)抽取多少名？解析 (1)0.19，x380.(2)初三年級(jí)人數(shù)為yz2 000(373377380370)500，現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，應(yīng)在初三年級(jí)抽取的人數(shù)為×50012(名)11一個(gè)城市有210家百貨商店，其中大型商店有20家，中型商店有40家，小型商店有150家為了掌握各商店的營(yíng)業(yè)情況，要從中抽取一個(gè)容量為21的樣本，按分層抽樣方法抽取樣本時(shí)，各類百貨商店要分別抽取多少家？寫出抽樣過(guò)程解析 21210110，2，4，15.應(yīng)從大型商店中抽取2家，從中型商店中抽取4家，從小型商店中抽取15家抽樣過(guò)程：(1)計(jì)算抽樣比；(2)計(jì)算各類百貨商店抽取的個(gè)數(shù)：2，4，15；(3)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法依次從大、中、小型商店中抽取2家、4家、15家；(4)將抽取的個(gè)體合在一起，就構(gòu)成所要抽取的一個(gè)樣本12(2018·山東煙臺(tái)模擬)某公司有一批專業(yè)技術(shù)人員，對(duì)他們進(jìn)行年齡狀況和接受教育程度(學(xué)歷)的調(diào)查，其結(jié)果(人數(shù)分布)如下表.學(xué)歷35歲以下3550歲50歲以上本科803020研究生x20y(1)用分層抽樣的方法在3550歲年齡段的專業(yè)技術(shù)人員中抽取一個(gè)容量為5的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2人，求至少有1人的學(xué)歷為研究生的概率(2)在這個(gè)公司的專業(yè)技術(shù)人員中按年齡狀況用分層抽樣的方法抽取N個(gè)人，其中35歲以下48人，50歲以上10人，再?gòu)倪@N個(gè)人中隨機(jī)抽取出1人，此人的年齡為50歲以上的概率為，求x，y的值解析 (1)用分層抽樣的方法在3550歲中抽取一個(gè)容量為5的樣本，設(shè)抽取學(xué)歷為本科的人數(shù)為m，所以，解得m3，所以抽取了學(xué)歷為研究生的2人，學(xué)歷為本科的3人，分別記作S1，S2；B1，B2，B3.從中任取2人的所有基本事件共有10個(gè)：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B2，B3)，(B1，B3)，其中至少有1人的學(xué)歷為研究生的基本事件有7個(gè)：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)所以從中任取2人，至少有1人為研究生的概率為.(2)依題意得，解得N78，所以3550歲中被抽取的人數(shù)為78481020，所以，解得x40，y5.所以x40，y5.11