2022年高三數(shù)學(xué)10月階段性考試試題 文（含解析）新人教A版

2022年高三數(shù)學(xué)10月階段性考試試題 文（含解析）新人教A版 【試卷綜析】本次試卷考查的范圍是三角函數(shù)和數(shù)列。試卷的題型著眼于考查現(xiàn)階段學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)及基本技能掌握情況。整份試卷難易適中，沒有偏、難、怪題，保護(hù)了學(xué)生的學(xué)習(xí)信心并激勵(lì)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的熱情；在選題和確定測(cè)試重點(diǎn)上都認(rèn)真貫徹了“注重基礎(chǔ)，突出知識(shí)體系中的重點(diǎn)，培養(yǎng)能力”的命題原則，重視對(duì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和技能分析問題、解決問題能力的考查。 一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求.） 【題文】1．已知集合，，則 A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．A1 【答案解析】B 解析：=[﹣1，+∞），= （﹣∞，2]，則 [﹣1，2]．故選：B． 【思路點(diǎn)撥】求解函數(shù)的值域化簡集合M，N，然后直接取交集得答案． 【題文】2．復(fù)數(shù)= A．2i B．-2i C．2 D．-2 【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．L4 【答案解析】A 解析：復(fù)數(shù)==2i．故選A． 【思路點(diǎn)撥】通過通分，分母實(shí)數(shù)化，多項(xiàng)式展開求解即可． 【題文】3．已知下面四個(gè)命題：①；②；③； ④。 其中正確的個(gè)數(shù)為 A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【知識(shí)點(diǎn)】向量的三角形法則．F1 【答案解析】C 解析：對(duì)于①，與是互為相反向量，∴，正確； 對(duì)于②，根據(jù)向量的三角形合成法則知，正確； 對(duì)于③，根據(jù)向量的減法法則知﹣=，∴錯(cuò)誤； 對(duì)于④，根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義知=0正確． 綜上，正確的命題是①②④． 故選：C． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平面向量的加法與減法運(yùn)算法則、以及平面向量數(shù)量積的概念，對(duì)4個(gè)命題進(jìn)行分析判斷，從而得出正確的結(jié)論． 【題文】4．已知數(shù)列中，，且數(shù)列是等差數(shù)列，則等于 A． B． C．5 D． 【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．D2 【答案解析】B 解析：∵數(shù)列{an}中，a3=2，a7=1，且數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則 =+4d，解得 d=．故 =+4d=+4d=，∴a11=． 故選 B． 【思路點(diǎn)撥】設(shè)公差為d，則由 =+4d，解得 d=，再由 =+4d 求出a11 的值． 【題文】5．在中,已知,則的面積是 A． B． 　　 C．或 D． 【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理的應(yīng)用．C8 【答案解析】C 解析：在△ABC中，由余弦定理可得42=+BC2﹣2×4×BC×cos30°，解得 BC=4，或BC=8． 當(dāng)BC=4時(shí)，△ABC的面積為ABBCsinB =×4×4×=4， 當(dāng)BC=8時(shí)，△ABC的面積為ABBCsinB =×4×8×=8，故選C． 【思路點(diǎn)撥】在△ABC中，由余弦定理可得BC的值，再由△ABC的面積為ABBCsinB 運(yùn)算求得結(jié)果． 【題文】6．命題函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；命題函數(shù)的定義域?yàn)镽.則是成立的 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【知識(shí)點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．A2 【答案解析】D 解析：y′=； ∵函數(shù)y=lg（x+﹣3）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)； 根據(jù)函數(shù)y=lg（x+﹣3）知，x+﹣3＞0； ∴x2﹣a≥0在[2，+∞）上恒成立，∴，即函數(shù)x+在[2，+∞）是增函數(shù)； ∴，∴a＞2； 由x2﹣a≥0在[2，+∞）上恒成立得a≤x2恒成立，∴a≤4； ∴2＜a≤4； y=lg（x2﹣ax+4）函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以不等式x2﹣ax+4＞0的解集為R； ∴△=a2﹣16＜0，∴﹣4＜a＜4； 顯然2＜a≤4是﹣4＜a＜4的既不充分又不必要條件； ∴p是q成立的既不充分也不必要條件． 故選D． 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系，及對(duì)數(shù)式中真數(shù)大于0，一元二次不等式的解和判別式△的關(guān)系即可求出命題p，q下的a的范圍，再根據(jù)充分條件，必要條件的概念判斷p，q的關(guān)系即可． 【題文】7．已知向量，若為實(shí)數(shù)，∥，則= A． B． C．1 D．2 【知識(shí)點(diǎn)】平面向量共線的坐標(biāo)表示．F2 【答案解析】B 解析：∵向量， ∴=（1+λ，2）∵∥，∴4（1+λ）﹣6=0，∴= 故選B． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)所給的兩個(gè)向量的坐標(biāo)，寫出要用的向量的坐標(biāo)，根據(jù)兩個(gè)向量平行，寫出兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)表示形式，得到關(guān)于λ的方程，解方程即可． 【題文】8．已知函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是點(diǎn)，則函數(shù)＝的圖象的一條對(duì)稱軸是直線 【知識(shí)點(diǎn)】兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦函數(shù)的對(duì)稱性．C5 【答案解析】D 解析：∵的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是點(diǎn)， ∴f（）=sin+λcos=+λ=0，解得λ=﹣， ∴g（x）=﹣sinxcosx+sin2x=sin2x+=﹣sin（2x+）， 令2x+=kπ+可得x=+，k∈Z， ∴函數(shù)的對(duì)稱軸為x=+，k∈Z， 結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知，當(dāng)k=﹣1時(shí)x=﹣符合題意，故選：D 【思路點(diǎn)撥】由對(duì)稱中心可得λ=﹣，代入g（x）由三角函數(shù)公式化簡可得g（x）=﹣sin（2x+），令2x+=kπ+解x可得對(duì)稱軸，對(duì)照選項(xiàng)可得． 【題文】9．如下圖所示將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊（色括兩個(gè)端點(diǎn)）有n(n>l，n∈N*)個(gè)點(diǎn)，相應(yīng)的圖案中總的點(diǎn)數(shù)記為an，則= A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】歸納推理．M1 【答案解析】A 解析：每個(gè)邊有n個(gè)點(diǎn)，把每個(gè)邊的點(diǎn)數(shù)相加得3n，這樣角上的點(diǎn)數(shù)被重復(fù)計(jì)算了一次，故第n個(gè)圖形的點(diǎn)數(shù)為3n﹣3，即an=3n﹣3，令Sn=+++…+=++…+=1+…+﹣=，∴+++…+=．故選C． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖象的規(guī)律可得出通項(xiàng)公式an，根據(jù)數(shù)列{}的特點(diǎn)可用列項(xiàng)法求其前n項(xiàng)和的公式，而則+++…+=是前xx項(xiàng)的和，代入前n項(xiàng)和公式即可得到答案． 【題文】10．對(duì)于定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)，如果同時(shí)滿足以下三個(gè)條件： ①對(duì)任意的，總有 ② ③若，，都有 成立； 則稱函數(shù)為理想函數(shù). 下面有三個(gè)命題： 若函數(shù)為理想函數(shù)，則； 函數(shù)是理想函數(shù)； 若函數(shù)是理想函數(shù)，假定存在，使得，且， 則； 其中正確的命題個(gè)數(shù)有 A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè) 【知識(shí)點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．A2 【答案解析】A 解析：（1）取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），可得f（0）≥f（0）+f（0）即f（0）≤0，由已知?x∈[0，1]，總有f（x）≥0可得f（0）≥0，∴f（0）=0 （2）顯然f（x）=2x﹣1在[0，1]上滿足f（x）≥0；②f（1）=1．若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1， 則有f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=2x1+x2﹣1﹣[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）]=（2x2﹣1）（2x1﹣1）≥0，故f（x）=2x﹣1滿足條件①②③，所以f（x）=2x﹣1為理想函數(shù)． （3）由條件③知，任給m、n∈[0，1]，當(dāng)m＜n時(shí)，由m＜n知n﹣m∈[0，1]， ∴f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）． 若f（x0）＞x0，則f（x0）≤f[f（x0）]=x0，前后矛盾； 若：f（x0）＜x0，則f（x0）≥f[f（x0）]=x0，前后矛盾．故f（x0）=x0． ∴三個(gè)命題都正確，故選D． 【思路點(diǎn)撥】（1）首先，根據(jù)理想函數(shù)的概念，可以采用賦值法，可考慮取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），可得f（0）≥f（0）+f（0），由已知f（0）≥0，可得f（0）=0； （2）要判斷函數(shù)g（x）=2x﹣1，（x∈[0，1]）在區(qū)間[0，1]上是否為“理想函數(shù)，只要檢驗(yàn)函數(shù)g（x）=2x﹣1，是否滿足理想函數(shù)的三個(gè)條件即可； （3）由條件③知，任給m、n∈[0，1]，當(dāng)m＜n時(shí)，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．由此能夠推導(dǎo)出f（x0）=x0．，根據(jù)f[f（x0）]=x0，則f（x0）=x0． 二、填空題（本大題共7小題，每小題5分，共35分.） 【題文】11．過原點(diǎn)作曲線的切線，則切線的方程為 . 【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．B11 【答案解析】y=ex 解析：y′=ex，設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，ex0），切線的斜率為k， 則k=ex0，故切線方程為y﹣ex0=ex0（x﹣x0），又切線過原點(diǎn)，∴﹣ex0=ex0（﹣x0），∴x0=1，y0=e，k=e．則切線方程為y=ex，故答案為y=ex． 【思路點(diǎn)撥】欲求切點(diǎn)的坐標(biāo)，先設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（ x0，ex0），再求出在點(diǎn)切點(diǎn)（ x0，ex0）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=x0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．最后利用切線過原點(diǎn)即可解決問題． 【題文】12．角的終邊過P,則角的最小正值是 . 【知識(shí)點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義．C1 【答案解析】 解析：∵sin=，cos=﹣， ∴P（，﹣）為第四象限， 由cosα==cos（2π﹣）=cos（）， sinα=﹣=sin得角α的最小正值是α=，故答案為：． 【思路點(diǎn)撥】依題意可得P（，﹣）為第四象限，從而可得角α的最小正值． 【題文】13．某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為 . 【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．G2 【答案解析】200 解析：由三視圖可知該幾何體為平放的四棱柱，其中以側(cè)視圖為底． 底面為等腰梯形，梯形的上底長為2，下底長為8，梯形的高為4，棱柱的高為10． ∴梯形的面積為，∴棱柱的體積為20×10=200．故答案為：200． 【思路點(diǎn)撥】由三視圖可知該幾何體為四棱柱，然后根據(jù)棱柱體積公式計(jì)算體積即可． 【題文】14．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則=___． 【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列遞推式．D1 【答案解析】-128 解析：∵sn=2（an+1），∴當(dāng)n=1時(shí)，a1=2（a1+1），解得a1=﹣2， 當(dāng)n≥2時(shí)，an=sn﹣sn﹣1=2an﹣2an﹣1，∴=2；∴數(shù)列{an}是﹣2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an=﹣2n．∴a7=﹣27=﹣128．故答案為：﹣128． 【思路點(diǎn)撥】當(dāng)n=1時(shí)，可求得a1=﹣2，當(dāng)n≥2時(shí)，可求得=2；從而可得數(shù)列{an}是﹣2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為：an=﹣2n，問題可解決． 【題文】15．設(shè)實(shí)數(shù)滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù) 的最大值為8，則的最小值為___________． 【知識(shí)點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．E5 【答案解析】 解析：由約束條件作出可行域如圖， 化目標(biāo)函數(shù)z=（a2+b2）x+y為直線方程的斜截式y(tǒng)=﹣（a2+b2）x+z． 由圖可知，當(dāng)直線y=﹣（a2+b2）x+z過C時(shí)直線在y軸上的截距最大，z最大． 聯(lián)立，得C（1，4）， ∴a2+b2+4=8，即a2+b2=4． ∵（a+b）2≤2（a2+b2）=8， ∴． ∴a+b的最小值為．故答案為： 【思路點(diǎn)撥】由約束條件作出可行域，由圖得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得到a2+b2=4，由不等式求出a+b的范圍，則答案可求． 【題文】16．二維空間中圓的一維測(cè)度（周長），二維測(cè)度（面積），觀察發(fā)現(xiàn)；三維空間中球的二維測(cè)度（表面積），三維測(cè)度（體積），觀察發(fā)現(xiàn).已知四維空間中“超球”的三維測(cè)度，猜想其四維測(cè)度_________． 【知識(shí)點(diǎn)】類比推理．M1 【答案解析】 解析：∵二維空間中圓的一維測(cè)度（周長）l=2πr，二維測(cè)度（面積）S=πr2，觀察發(fā)現(xiàn)S′=l，三維空間中球的二維測(cè)度（表面積）S=4πr2，三維測(cè)度（體積）V=πr3，觀察發(fā)現(xiàn)V′=S，∴四維空間中“超球”的三維測(cè)度V=8πr3，猜想其四維測(cè)度W，則W′=V=8πr3； ∴W=2πr4；故答案為：2πr4 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)所給的示例及類比推理的規(guī)則得出高維的測(cè)度的導(dǎo)數(shù)是底一維的測(cè)度，從而得到W′=V，從而求出所求． 【題文】17．設(shè)是等比數(shù)列，公比，為的前n項(xiàng)和。記，設(shè)為數(shù)列的最大項(xiàng)，則=_______． 【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的性質(zhì)．D3 【答案解析】4 解析： = = 因?yàn)楱R8，當(dāng)且僅當(dāng)=4， 即n=4時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)n0=4時(shí)Tn有最大值． 【思路點(diǎn)撥】首先用公比q和a1分別表示出Sn和S2n，代入Tn易得到Tn的表達(dá)式．再根據(jù)基本不等式得出n0 三、解答題（本大題共5小題，共65分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．） 【題文】18．（本小題滿分12分）設(shè)命題“對(duì)任意的”，命題 “存在，使”。如果命題為真，命題為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合命題的真假．A2 【答案解析】 解析：由題意：對(duì)于命題 ∵對(duì)任意的 ∴，即p:； …………………2分 對(duì)于命題 ∵存在，使 ∴,即q:. …………………4分 ∵為真，為假 ∴p,q一真一假， …………………6分 p真q假時(shí), …………………8分 p假q真時(shí), …………………10分 ∴a的范圍是. …………………12分 【思路點(diǎn)撥】分別求出在命題p，q下的a的取值，然后根據(jù)條件判斷出p，q中一真一假，所以分別求在這兩種情況下a的范圍，再求并集即可． 【題文】19．（本小題滿分12分）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，面積. （1）求角C的大小； （2）設(shè)函數(shù)，求的最大值,及取得最大值時(shí)角B的值. 【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．C7 C8 【答案解析】（1）（2） 解析：（1）由S=absinC及題設(shè)條件得absinC=abcosC……… ………1分 即sinC=cosC, tanC=,………………………………………………2分 0<C<,C=………………………………………………………… …4分 （2） ………7分 ， ……………………9分 ∵ C= ∴ ∴ （沒討論，扣1分） …10分 當(dāng)，即時(shí)，有最大值是………………………… …12分 【思路點(diǎn)撥】（1）利用三角形面積公式和已知等式，整理可求得tanC的值，進(jìn)而求得C． （2）利用兩角和公示和二倍角公式化簡整理函數(shù)解析式，利用B的范圍和三角函數(shù)性質(zhì)求得函數(shù)最大值． 【題文】20．（本小題滿分13分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在直線上. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成公差為的等差數(shù)列， 求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；數(shù)列的函數(shù)特性．D5 【答案解析】（1）（2） 解析：（1）由題設(shè)知， ………………… …………1分 得），………………………………2分 兩式相減得：， 即， ………………………………4分 又 得， 所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列， ∴. …………………………6分 （2）由（1）知， 因?yàn)?， 所以 所以 ……………………8分 令…， 則… ① … ② ①…②得…………10分 …………………………………12分 【思路點(diǎn)撥】（1）由題設(shè)知，﹣1，得﹣1（n∈N*，n≥2），兩式相減可得數(shù)列遞推式，由此可判斷數(shù)列{an}為等比數(shù)列，從而可得其通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得an+1，an，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得dn，從而可得，令…，，則…，利用錯(cuò)位相減法即可求得Tn。 【題文】21．（本小題滿分14分）設(shè) x1、x2（）是函數(shù) （）的兩個(gè)極值點(diǎn)． （1）若 ，，求函數(shù) 的解析式； （2）若 ，求 b 的最大值. 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．B12 【答案解析】（1）（2） 解析：（1）∵， ∴ …………………………2分 依題意有-1和2是方程的兩根 ∴， 解得， ∴．（經(jīng)檢驗(yàn)，適合）…………………………5分 （2）∵,依題意，是方程的兩個(gè)根， ∵且， ∴． ∴， ∴． …………………………8分 ∵ ∴． …………………………9分 設(shè)，則． 由得，由得． 即：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)， ∴當(dāng)時(shí)， 有極大值為96，∴在上的最大值是96， ∴的最大值為． …………………………14分 【思路點(diǎn)撥】（1）求出f′（x），因?yàn)閤1、x2是函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，而x1=﹣1，x2=2所以得到f′（﹣1）=0，f′（2）=0代入求出a、b即可得到函數(shù)解析式； （2）因?yàn)閤1、x2是導(dǎo)函數(shù)f′（x）=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系對(duì)已知進(jìn)行變形得到a和b的等式，求出b的范圍，設(shè)h（a）=3a2（6﹣a），求出其導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性得到h（a）=的極大值，開方可得b的最大值． 【題文】22．（本小題滿分14分）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，在軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)，滿足，且. （1）求橢圓的離心率； （2）若過三點(diǎn)的圓與直線相切，求橢圓的方程； （3）在（2）的條件下，過右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中垂線與軸相交于，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題．H8 【答案解析】（1）；（2）；（3） 解析：(1)連接，因?yàn)?，，所? ,即,故橢圓的離心率為； ……………3分 (2)由（1）知，得，，的外接圓圓心為，半徑，因?yàn)檫^三點(diǎn)的圓與直線相切， ∴，解得：，. 所以所求橢圓方程為：. ……………7分 （3）由（2）知，設(shè)直線的方程為： 由 得：. 因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以 恒成立. 設(shè)，由韋達(dá)定理得： ， 所以. 故中點(diǎn)為. ……………10分 當(dāng)時(shí)，為長軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)，則； ……………11分 當(dāng)時(shí)，中垂線方程為. 令，得.因?yàn)樗? ……………13分 綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是. ……………14分 【思路點(diǎn)撥】（1）連接，因?yàn)?，，所?即,故可求橢圓的離心率；（2）由（1）的離心率能求出橢圓方程．（3）設(shè)直線l的方程為，M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立方程組，得，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．