2022年高三數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考試題 文（含解析）新人教A版

2022年高三數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考試題 文（含解析）新人教A版本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。滿分為150分，考試用時(shí)為120分鐘.第卷（選擇題，共50分）【試卷綜析】試題比較平穩(wěn)，基本符合高考復(fù)習(xí)的特點(diǎn)，穩(wěn)中有變，變中求新,適當(dāng)調(diào)整了試卷難度，體現(xiàn)了穩(wěn)中求進(jìn)的精神.考查的知識(shí)涉及到函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等幾章知識(shí)，重視學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考察，同時(shí)側(cè)重考察了學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和思維能力的考察，這套試題以它的知識(shí)性、思辨性、靈活性，基礎(chǔ)性充分體現(xiàn)了考素質(zhì)，考基礎(chǔ)，考方法，考潛能的檢測(cè)功能.試題中無偏題，怪題，起到了引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)向全面培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的方向發(fā)展的作用.一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的【題文】1、已知全集，集合，則等于（ ）A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】交集及其運(yùn)算. A1【答案解析】A 解析：由A中的不等式變形得：2x1=20，解得：x0，即A=（0，+），B=（4，1），AB=（0，1）故選：A【思路點(diǎn)撥】求出A中不等式的解集確定出A，找出A與B的交集即可.【題文】2、已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的模（ ） A. 1 B. C D.3【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模. L4【答案解析】C 解析：z=i（2i）=2i+1，|z|=，故選：C【思路點(diǎn)撥】根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念直接進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論.【題文】3、在等差數(shù)列中，已知，則（ ） A. 7B. 8C. 9D. 10【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì). D2【答案解析】D 解析：在等差數(shù)列an中，a1+a7=10，a3+a5=a1+2d+a1+4d=a1+（a1+6d）=a1+a7=10故選：D【思路點(diǎn)撥】在等差數(shù)列an中，由a1+a7=10，能求出a3+a5的值.【題文】4、設(shè)是兩個(gè)非零向量，則“”是“夾角為銳角”的（ ） A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的符號(hào)與兩個(gè)向量的夾角范圍的關(guān)系.充分條件；必要條件. A2 F3【答案解析】B 解析：當(dāng) 0時(shí)，與的夾角可能為銳角，也可能為零角，故充分性不成立；當(dāng)與的夾角為銳角時(shí)，0一定成立，故必要性成立綜上，0是與的夾角為銳角的必要而不充分條件，故選B【思路點(diǎn)撥】先看當(dāng) 0時(shí)，能否推出與的夾角是否為銳角，再看當(dāng)與的夾角為銳角時(shí)，0是否一定成立，然后根據(jù)充分條件、必要條件的定義進(jìn)行判斷【題文】5、在“魅力咸陽(yáng)中學(xué)生歌手大賽”比賽現(xiàn)場(chǎng)上七位評(píng)委為某選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖如圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（ ） A.5和1.6B.85和1.6 C. 85和0.4 D. 5和0.4【知識(shí)點(diǎn)】莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù). I2 【答案解析】B 解析：根據(jù)題意可得：評(píng)委為某選手打出的分?jǐn)?shù)還剩84，84，84，86，87，所以所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)為=85，所剩數(shù)據(jù)的方差為（8485）2+（8485）2+（8685）2+（8485）2+（8785）2=1.6故選B【思路點(diǎn)撥】根據(jù)均值與方差的計(jì)算公式，分別計(jì)算出所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分即可.【題文】6、如果直線與平面滿足：那么必有（ ）A. B. C. D.【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系. G3 G4 G5【答案解析】A 解析：m和m，l=，llm，故選A【思路點(diǎn)撥】m和m，l=，l然后推出lm，得到結(jié)果.【題文】241正視圖俯視圖側(cè)視圖7、如圖所示，某幾何體的正視圖（主視圖），側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖分別是等腰梯形，等腰直角三角形和長(zhǎng)方形，則該幾何體體積為（ ）A B C D【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求面積、體積. G2【答案解析】A 解析：由三視圖知幾何體是直三棱柱削去兩個(gè)相同的三棱錐，由側(cè)視圖得三棱柱的底面為直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，三棱柱側(cè)棱長(zhǎng)為4，三棱柱的體積為=2，由正視圖與俯視圖知兩個(gè)三棱錐的高為1，三棱錐的體積為××1×1×1=，幾何體的體積V=22×=故選A【思路點(diǎn)撥】由三視圖知幾何體是直三棱柱削去兩個(gè)相同的三棱錐，根據(jù)側(cè)視圖得三棱柱的底面為直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，三棱柱側(cè)棱長(zhǎng)為4.【題文】8、定義運(yùn)算“”為：兩個(gè)實(shí)數(shù)的“”運(yùn)算原理如圖所示，若輸人， 則輸出（ ）A.2 B0 C、2 D.4【知識(shí)點(diǎn)】程序框圖. L1【答案解析】D 解析：由程序框圖知，算法的功能是求P=的值，a=2cos=2cos=1b=2，P=2×（1+1）=4故選：D【思路點(diǎn)撥】算法的功能是求P=的值，利用三角誘導(dǎo)公式求得a、b的值，代入計(jì)算可得答案【題文】9、在長(zhǎng)為12 厘米的線段上任取一點(diǎn)，現(xiàn)作一矩形,鄰邊長(zhǎng)分別等于線段的長(zhǎng),則該矩形面積大于20平方厘米的概率為（ ）A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】幾何概型. K3【答案解析】C 解析：設(shè)AC=x，則BC=12x，矩形的面積S=x（12x）20x212x+200，2x10由幾何概率的求解公式可得，矩形面積大于20cm2的概率P=，故選C【思路點(diǎn)撥】設(shè)AC=x，則BC=12x，由矩形的面積S=x（12x）20可求x的范圍，利用幾何概率的求解公式可求結(jié)論.【題文】10、如圖，是函數(shù)圖像上一點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，軸，垂足為 若的面積為，則 與滿足關(guān)系式（ ） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程 B12【答案解析】B 解析：設(shè)A的坐標(biāo)為（a，0），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得：f'（x0）為曲線y=f（x）在x=x0處切線的斜率，故P點(diǎn)處的切線方程為yf（x0）=f'（x0）（xx0），令y=0，則0f（x0）=f'（x0）（xx0），即x=x0，即a=x0，又PAB的面積為，ABPB=，即（x0a）f（x0）=1，f（x0）=1即f'（x0）=f（x0）2，故選B【思路點(diǎn)撥】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：f'（x0）為曲線y=f（x）在x=x0處切線的斜率，寫出切線方程，令y=0，求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出AB，PB長(zhǎng)，運(yùn)用三角形的面積公式，化簡(jiǎn)即可.第II卷（非選擇題，共100分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，其中1415題是選做題，考生只需選做其中一題，兩題全答的，只以第14小題計(jì)分【題文】11函數(shù)，則【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)的函數(shù)值. B1【答案解析】 解析：，故答案為：【思路點(diǎn)撥】先求，故代入x0時(shí)的解析式；求出=2，再求值即可.【題文】12. 若目標(biāo)函數(shù)在約束條件下僅在點(diǎn)處取得最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃. E5【答案解析】（4，2） 解析：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，由z=kx+2y得y=x+，要使目標(biāo)函數(shù)z=kx+2y僅在點(diǎn)B（1，1）處取得最小值，則陰影部分區(qū)域在直線z=kx+2y的右上方，目標(biāo)函數(shù)的斜率大于x+y=2的斜率且小于直線2xy=1的斜率，即12，解得4k2，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為（4，2），故答案為：（4，2）【思路點(diǎn)撥】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，確定目標(biāo)取最優(yōu)解的條件，即可求出k的取值范圍.【題文】13. 已知，且，則 【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的余弦函數(shù)；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系C5 C2【答案解析】 解析：因?yàn)閏os=，cos（）=，且0，0，所以sin=，（0，），sin（）=，cos=cos（）=coscos（）+sinsin（）=故答案為：【思路點(diǎn)撥】通過、的范圍，求出的范圍，然后求出sin，sin（）的值，即可求解cos【題文】14.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在極坐標(biāo)系中圓的圓心到直線的距離是 【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程. N3【答案解析】1 解析：圓=4cos，2=4cos化為普通方程為x2+y2=4x，即（x2）2+y2=4，圓心的坐標(biāo)為（2，0）直線=（R），直線的方程為y=x，即xy=0圓心（2，0）到直線xy=0的距離=1故答案為：1【思路點(diǎn)撥】先將極坐標(biāo)方程化為普通方程，可求出圓心的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求出答案【題文】15（幾何證明選講）如圖，點(diǎn)B在O上， M為直徑AC上一點(diǎn)，BM的延長(zhǎng)線交O于N， ，若O的半徑為，OA=OM ，則MN的長(zhǎng)為 【知識(shí)點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段. N1【答案解析】2 解析：BNA=45°，圓心角AOB和圓周角ANB對(duì)應(yīng)著相同的一段弧，AOB=90°，O的半徑為2，OA=OM，OM=2，在直角三角形中BM=4，根據(jù)圓內(nèi)兩條相交弦定理有4MN=（2+2）（22），MN=2，故答案為：2【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓心角AOB和圓周角ANB對(duì)應(yīng)著相同的一段弧，得到角AOB是一個(gè)直角，根據(jù)所給的半徑的長(zhǎng)度和OA，OM之間的關(guān)系，求出OM的長(zhǎng)和BM的長(zhǎng)，根據(jù)圓的相交弦定理做出結(jié)果三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟【題文】16（本題滿分12分）已知向量，設(shè)函數(shù).（）求函數(shù)單調(diào)增區(qū)間；（）若，求函數(shù)的最值，并指出取得最值時(shí)的取值.【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用. F3 C7【答案解析】（），（kZ）；（）f（x）取得最小值0，此時(shí)，f（x）取得最大值，此時(shí).解析：（）=當(dāng)，kZ，即，kZ，即，kZ時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是，（kZ）；（）f（x）=sin（2x+）+，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，f（x）取得最小值0，此時(shí)2x+=，當(dāng)時(shí)，f（x）取得最大值，此時(shí)2x+=，【思路點(diǎn)撥】（）利用向量的數(shù)量積求出f（x）的解析式，再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出單調(diào)區(qū)間；（）由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合區(qū)間x，求函數(shù)f（x）的最值以及對(duì)應(yīng)x的值【題文】17、（本題滿分12分）某小區(qū)在一次對(duì)20歲以上居民節(jié)能意識(shí)的問卷調(diào)查中，隨機(jī)抽取了100份問卷進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表：節(jié)能意識(shí)弱節(jié)能意識(shí)強(qiáng)總計(jì)20至50歲45954大于50歲103646總計(jì)5545100（1）由表中數(shù)據(jù)直觀分析，節(jié)能意識(shí)強(qiáng)弱是否與人的年齡有關(guān)？（2）若全小區(qū)節(jié)能意識(shí)強(qiáng)的人共有350人，則估計(jì)這350人中，年齡大于50歲的有多少人？（3）按年齡分層抽樣，從節(jié)能意識(shí)強(qiáng)的居民中抽5人，再是這5人中任取2人，求恰有1人年齡在20至50歲的概率。【知識(shí)點(diǎn)】用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布；抽樣方法；等可能事件的概率I2 I1 K1【答案解析】(1) 節(jié)能意識(shí)強(qiáng)弱與年齡有關(guān)；（2）280人；（3） 解析：（1）因?yàn)?0至50歲的54人有9人節(jié)能意識(shí)強(qiáng)，大于50歲的46人有36人節(jié)能意識(shí)強(qiáng)，與相差較大，所以節(jié)能意識(shí)強(qiáng)弱與年齡有關(guān)（2）由數(shù)據(jù)可估計(jì)在節(jié)能意識(shí)強(qiáng)的人中，年齡大于50歲的概率約為年齡大于50歲的約有（人）（3）抽取節(jié)能意識(shí)強(qiáng)的5人中，年齡在20至50歲的（人），年齡大于50歲的51=4人，記這5人分別為a，B1，B2，B3，B4從這5人中任取2人，共有10種不同取法：（a，B1），（a，B2），（a，B3），（a，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4），設(shè)A表示隨機(jī)事件“這5人中任取2人，恰有1人年齡在20至50歲”，則A中的基本事件有4種：（a，B1），（a，B2），（a，B3），（a，B4）故所求概率為 .【思路點(diǎn)撥】（1）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，只要在每個(gè)年齡段計(jì)算它們節(jié)能意識(shí)強(qiáng)的概率，若差距較大說明與年齡有關(guān)，也可利用|adbc|的值的大小來直觀判斷；（2）先利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算在節(jié)能意識(shí)強(qiáng)的人中，年齡大于50歲的概率，再由總體乘以概率即可得總體中年齡大于50歲的有多少人；（3）先確定抽樣比，即每層中應(yīng)抽取，故再抽到的5人中，一人年齡小于50，4人年齡大于50，從中取兩個(gè)，求恰有1人年齡在20至50歲的概率為古典概型，利用古典概型的概率計(jì)算公式，分別利用列舉法計(jì)數(shù)即可得所求概率.【題文】18、（本題滿分14分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，點(diǎn)O是對(duì)角線與的交點(diǎn),是的中點(diǎn),. （1）求證：平面; （2）平面平面（3）當(dāng)四棱錐的體積等于時(shí),求的長(zhǎng).【知識(shí)點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定G1 G4 G5 【答案解析】（1）證明：略；（2）證明：略；（3）.解析：（1）證明：在PBD中，O、M分別是BD、PD的中點(diǎn)，OM是PBD的中位線，OMPB，（1分）OM平面PBD，PB平面PBD，（3分）OM平面PAB（4分）（2）證明：底面ABCD是菱形，BDAC，（5分）PA平面ABCD，BD平面ABCD，BDPA（6分）AC平面PAC，PA平面PAC，ACPA=A，BD平面PAC，（8分）BD平面PBD，平面PBD平面PAC（10分）（3）解：底面ABCD是菱形，AB=2，BAD=60°，（11分）四棱錐PABCD的高為PA，得（12分）PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB（13分）在RtPAB中，（14分）【思路點(diǎn)撥】（1）利用三角形中位線的性質(zhì)，證明線線平行，從而可得線面平行；（2）先證明BD平面PAC，即可證明平面PBD平面PAC；（3）利用四棱錐PABCD的體積等于時(shí)，求出四棱錐PABCD的高為PA，利用PAAB，即可求PB的長(zhǎng)【題文】19、（本題滿分14分）已知等差數(shù)列的公差為, 且,（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和；（2）將數(shù)列的前項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來順序恰為等比數(shù)列的前3項(xiàng),記的前項(xiàng)和為, 若存在, 使對(duì)任意總有恒成立, 求實(shí)數(shù)的取值范圍.【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；數(shù)列與不等式的綜合D2 D3 E8【答案解析】（1）；（2）2 . 解析：（1）由a2+a7+a12=6得a7=2，所以a1=4（4分）an=5n，從而（6分）（2）由題意知b1=4，b2=2，b3=1（18分）設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，則， 隨m遞減，Tm為遞增數(shù)列，得4Tm8（10分）又，故（Sn）max=S4=S5=10，（11分）若存在mN*，使對(duì)任意nN*總有SnTm+則108+，得2（14分）【思路點(diǎn)撥】（1）先利用a2+a7+a12=6以及等差數(shù)列的性質(zhì)，求出a7=2，再把公差代入即可求出首項(xiàng)，以及通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和Sn；（2）先由已知求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，代入求和公式得Tm，并利用函數(shù)的單調(diào)性求出其范圍；再利用（1）的結(jié)論以及SnTm+恒成立，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍【題文】20、（本題滿分14分）已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且直線與軸交于點(diǎn)(1)求證：成等比數(shù)列；(2)設(shè)，試問是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；等比關(guān)系的確定. H8 D3【答案解析】（1）證明：略；（2）為定值且定值為1. 解析：(1)證明：設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程可得得設(shè)，則，而，即成等比數(shù)列-7分(2)由，得，即得：，則 由(1)中代入得，故為定值且定值為1.-14分【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)直線l的方程為：y=kx+2，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可求得|MA|，|MC|、|MB|成等比數(shù)列，從而解決問題（2）由，得，從而利用x1，x2，及k來表示，最后結(jié)合（1）中根系數(shù)的關(guān)系即得故+為定值【題文】21、（本題滿分14分）設(shè)函數(shù)（），(1) 若函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線距離的最小值為，求的值；(2) 關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3) 對(duì)于函數(shù)與定義域上的任意實(shí)數(shù)，若存在常數(shù)，使得和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“分界線”設(shè)，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由【知識(shí)點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)間距離公式的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；不等式. B12 E8【答案解析】（1）；（2）；（3）與存在“分界線， 且“分界線”方程為：解析：（1）因?yàn)椋?，令得：，此時(shí)，2分則點(diǎn)到直線的距離為，即，解之得4分（2）解法一：不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，等價(jià)于恰有三個(gè)整數(shù)解，故，6分令，由且， 所以函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間，則另一個(gè)零點(diǎn)一定在區(qū)間，8分故解之得10分解法二：恰有三個(gè)整數(shù)解，故，即，6分，所以，又因?yàn)椋?分所以，解之得10分（3）設(shè)，則所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此時(shí)，取得最小值，則與的圖象在處有公共點(diǎn)12分設(shè)與存在 “分界線”，方程為，即，由在恒成立，則在恒成立 所以成立， 因此下面證明恒成立 設(shè)，則 所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此時(shí)取得最大值，則成立故所求“分界線”方程為：14分【思路點(diǎn)撥】（1）直接運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，然后求解即可得到答案（2）關(guān)于由不等式解集整數(shù)的個(gè)數(shù)，然后求未知量取值范圍的題目，可利用恒等變換，把它轉(zhuǎn)化為求函數(shù)零點(diǎn)的問題，即可求解（3）屬于新定義的題目，可以用函數(shù)求導(dǎo)數(shù)求最值的方法解答