2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 第四周 星期三 解析幾何習(xí)題 理

2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 第四周 星期三 解析幾何習(xí)題 理解析幾何知識(shí)(命題意圖：考查橢圓與圓知識(shí)的交匯，主要涉及到橢圓方程的求解，平面向量的模與數(shù)量積的轉(zhuǎn)化，直線與橢圓方程聯(lián)立，圓的方程的求解等)設(shè)橢圓C：1(ab0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，B為短軸端點(diǎn)，且SBF1F24，離心率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)M、N，且滿足|？若存在，求出該圓的方程，若不存在，說(shuō)明理由解(1)因?yàn)闄E圓C：1(a0，b0)，由題意得SBF1F2×2c×b4，e，a2b2c2，解得橢圓C的方程為1.(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓x2y2r2，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)M，N，因?yàn)閨，所以有·0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)該圓的切線方程為ykxm，解方程組得x22(kxm)28，即(12k2)x24kmx2m280，則16k2m24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0，即8k2m240，x1x2，x1x2；y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2m2.要使·0，需x1x2y1y20，即0，所以3m28k280，所以k20.又8k2m240，所以所以m2，即m或m，因?yàn)橹本€ykxm為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，所以圓的半徑為r，r2，r，所求的圓為x2y2，此時(shí)圓的切線ykxm都滿足m或m，而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線為x±，與橢圓1的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足·0，綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓x2y2滿足條件