2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 第四周 星期三 解析幾何習(xí)題 理
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2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 第四周 星期三 解析幾何習(xí)題 理
2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 第四周 星期三 解析幾何習(xí)題 理解析幾何知識(shí)(命題意圖:考查橢圓與圓知識(shí)的交匯,主要涉及到橢圓方程的求解,平面向量的模與數(shù)量積的轉(zhuǎn)化,直線與橢圓方程聯(lián)立,圓的方程的求解等)設(shè)橢圓C:1(ab0),F(xiàn)1,F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn),B為短軸端點(diǎn),且SBF1F24,離心率為,O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓C的方程;(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)M、N,且滿足|?若存在,求出該圓的方程,若不存在,說(shuō)明理由解(1)因?yàn)闄E圓C:1(a0,b0),由題意得SBF1F2×2c×b4,e,a2b2c2,解得橢圓C的方程為1.(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓x2y2r2,使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)M,N,因?yàn)閨,所以有·0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),當(dāng)切線斜率存在時(shí),設(shè)該圓的切線方程為ykxm,解方程組得x22(kxm)28,即(12k2)x24kmx2m280,則16k2m24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0,即8k2m240,x1x2,x1x2;y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2m2.要使·0,需x1x2y1y20,即0,所以3m28k280,所以k20.又8k2m240,所以所以m2,即m或m,因?yàn)橹本€ykxm為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為r,r2,r,所求的圓為x2y2,此時(shí)圓的切線ykxm都滿足m或m,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),切線為x±,與橢圓1的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足·0,綜上,存在圓心在原點(diǎn)的圓x2y2滿足條件