2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 10.3二項(xiàng)式定理教案 理 新人教A版

2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 10.3二項(xiàng)式定理教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考1.利用二項(xiàng)式定理求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)或系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)、系數(shù)和等；2.考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用復(fù)習(xí)備考要這樣做1.熟練掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；2.注意二項(xiàng)式定理在解決有關(guān)組合數(shù)問題中的應(yīng)用；3.理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1 二項(xiàng)式定理(ab)nCanCan1b1CankbkCbn(nN*)這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做(ab)n的二項(xiàng)展開式，其中的系數(shù)C(k0,1,2，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)式中的Cankbk叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tk1表示，即展開式的第k1項(xiàng)；Tk1Cankbk.2 二項(xiàng)展開式形式上的特點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)為n1.(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.(4)二項(xiàng)式的系數(shù)從C，C，一直到C，C.3 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即CC.(2)增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)C，當(dāng)k<時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的；當(dāng)k>時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)Cn取得最大值當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)Cn 和Cn 相等，且同時(shí)取得最大值(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和(ab)n的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n，即CCCCC2n.二項(xiàng)展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即CCCCCC2n1.難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 二項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)(1)二項(xiàng)式的展開式共有n1項(xiàng)，Cankbk是第k1項(xiàng)即k1是項(xiàng)數(shù)，Cankbk是項(xiàng)(2)通項(xiàng)是Tk1Cankbk (k0,1,2，n)其中含有Tk1，a，b，n，k五個(gè)元素，只要知道其中四個(gè)即可求第五個(gè)元素2 二項(xiàng)式系數(shù)與展開式項(xiàng)的系數(shù)的異同在Tk1Cankbk中，C就是該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，它與a，b的值無關(guān)；而Tk1項(xiàng)的系數(shù)是指化簡(jiǎn)后字母外的數(shù)3 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用(1)通項(xiàng)的應(yīng)用：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可求指定的項(xiàng)或指定項(xiàng)的系數(shù)等(2)展開式的應(yīng)用：利用展開式可證明與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)的等式；可證明不等式；可證明整除問題；可做近似計(jì)算等1 (xx·廣東)x7的展開式中，x4的系數(shù)是_(用數(shù)字作答)答案84解析x7的展開式的通項(xiàng)是Tr1xCx7r·rC(2)rx82r.令82r4，得r2，故x4的系數(shù)是C·484.2 (xx·陜西)(ax)5展開式中x2的系數(shù)為10，則實(shí)數(shù)a的值為_答案1解析(ax)5的展開式的通項(xiàng)公式為Tr1Ca5rxr.當(dāng)r2時(shí)，由題意知Ca310，a31，a1.3 (xx·安徽)(x22)5的展開式的常數(shù)項(xiàng)是()A3 B2 C2 D3答案D解析二項(xiàng)式5展開式的通項(xiàng)為：Tr1C5r·(1)rC·x2r10·(1)r.當(dāng)2r102，即r4時(shí)，有x2·Cx2·(1)4C×(1)45；當(dāng)2r100，即r5時(shí)，有2·Cx0·(1)52.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為523，故選D.4 若n展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為32，則該展開式中含x3的項(xiàng)的系數(shù)為()A5 B5 C405 D405答案C解析根據(jù)已知，令x1，得2n32，即n5.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是Tr1C(3x)5r·r(1)r35rCx52r，令52r3，r1，此時(shí)的系數(shù)是34×5405.5 若n的展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是15，則展開式中所有項(xiàng)系數(shù)之和為()A. B.C D.答案B解析由題意知C15，所以n6，故n6，令x1得所有項(xiàng)系數(shù)之和為6.題型一求二項(xiàng)展開式的指定項(xiàng)或指定項(xiàng)系數(shù)例1已知在n的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)(1)求n；(2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù)；(3)求展開式中所有的有理項(xiàng)思維啟迪：先根據(jù)第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)利用通項(xiàng)公式求出n，然后再求指定項(xiàng)解(1)通項(xiàng)公式為Tk1CxkxCkx.因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以k5時(shí)，0，即n10.(2)令2，得k2，故含x2的項(xiàng)的系數(shù)是C2.(3)根據(jù)通項(xiàng)公式，由題意，令r (rZ)，則102k3r，k5r，kN，r應(yīng)為偶數(shù)r可取2,0，2，即k可取2,5,8，第3項(xiàng)，第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為C2x2，C5，C8x2.探究提高求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，一般是利用通項(xiàng)公式進(jìn)行，化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k1，代回通項(xiàng)公式即可 (1)(xx·重慶)8的展開式中常數(shù)項(xiàng)為()A. B. C. D105(2)(xx·上海)在6的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于_答案(1)B(2)160解析(1)Tr1C()8rrCx4Cx4r.令4r0，則r4，常數(shù)項(xiàng)為T5C×70.(2)方法一利用計(jì)數(shù)原理及排列、組合知識(shí)求解常數(shù)項(xiàng)為Cx3320x3160.方法二利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求解Tr1Cx6rr(2)rCx62r，令62r0，得r3.所以常數(shù)項(xiàng)為T4(2)3C160.題型二求最大系數(shù)或系數(shù)最大的項(xiàng)例2已知(3x2)n展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大992.(1)求該展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求該展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)思維啟迪：可先根據(jù)條件列方程求n，然后根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及系數(shù)的大小關(guān)系求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)解令x1，得各項(xiàng)的系數(shù)之和為(13)n4n，而二項(xiàng)式系數(shù)之和為CCCC2n.根據(jù)題意，4n2n992，得2n32或2n31(舍去)，所以n5.(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)和第4項(xiàng)，T3C()3(3x2)290x6，T4C()2(3x2)3270x.(2)設(shè)第r1項(xiàng)系數(shù)最大，則即解得r.又rN，得r4，所以系數(shù)最大的項(xiàng)為T5405x.探究提高展開式的系數(shù)和與展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和是不同的概念，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)與系數(shù)最大的項(xiàng)也是不同的概念，解題時(shí)要注意辨別第(2)小題解不等式時(shí)可將組合數(shù)展開為階乘形式 已知f(x)(1x)m(12x)n (m，nN*)的展開式中x的系數(shù)為11.(1)求x2的系數(shù)取最小值時(shí)n的值；(2)當(dāng)x2的系數(shù)取得最小值時(shí)，求f(x)展開式中x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和解(1)由已知C2C11，m2n11，x2的系數(shù)為C22C2n(n1)(11m)2.mN*，m5時(shí)，x2的系數(shù)取得最小值22，此時(shí)n3.(2)由(1)知，當(dāng)x2的系數(shù)取得最小值時(shí)，m5，n3，f(x)(1x)5(12x)3.設(shè)這時(shí)f(x)的展開式為f(x)a0a1xa2x2a5x5，令x1，a0a1a2a3a4a52533，令x1，a0a1a2a3a4a51，兩式相減得2(a1a3a5)60，故展開式中x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為30.題型三二項(xiàng)式定理的應(yīng)用例3(1)已知2n2·3n5na能被25整除，求正整數(shù)a的最小值；(2)求1.028的近似值(精確到小數(shù)點(diǎn)后三位)思維啟迪：(1)將已知式子按二項(xiàng)式定理展開，注意轉(zhuǎn)化時(shí)和25的聯(lián)系；(2)近似值計(jì)算只要看展開式中的項(xiàng)的大小即可解(1)原式4·6n5na4(51)n5na4(C5nC5n1C52C5C)5na4(C5nC5n1C52)25n4a，顯然正整數(shù)a的最小值為4.(2)1.028(10.02)8CC·0.02C·0.022C·0.0231.172.探究提高(1)整除問題和求近似值是二項(xiàng)式定理中兩類常見的應(yīng)用問題，整除問題中要關(guān)注展開式的最后幾項(xiàng)，而求近似值則應(yīng)關(guān)注展開式的前幾項(xiàng)(2)二項(xiàng)式定理的應(yīng)用基本思路是正用或逆用二項(xiàng)式定理，注意選擇合適的形式 求證：(1)32n28n9能被64整除(nN*)；(2)3n>(n2)·2n1 (nN*，n>2)證明(1)32n28n932·32n8n99·9n8n99(81)n8n99(C8nC8n1C·8C·1)8n99(8nC8n1C82)9·8n98n99×82(8n2C·8n3C)64n649(8n2C8n3C)n，顯然括號(hào)內(nèi)是正整數(shù)，原式能被64整除(2)因?yàn)閚N*，且n>2，所以3n(21)n展開后至少有4項(xiàng)(21)n2nC·2n1C·212nn·2n12n1>2nn·2n1(n2)·2n1，故3n>(n2)·2n1 (nN*，n>2)混淆二項(xiàng)展開式的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)致誤典例：(12分)已知(x2)2n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和比(3x1)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和大992.求在2n的展開式中，(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)易錯(cuò)分析本題易將二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)混淆，利用賦值來求二項(xiàng)式系數(shù)的和導(dǎo)致錯(cuò)誤；另外，也要注意項(xiàng)與項(xiàng)的系數(shù)，系數(shù)的絕對(duì)值與系數(shù)的區(qū)別規(guī)范解答解由題意知，22n2n992，即(2n32)(2n31)0，2n32，解得n5.2分(1)由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，10的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即C252.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T6C(2x)558 064.6分(2)設(shè)第r1項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大，Tr1C·(2x)10r·r(1)rC·210r·x102r，得，即，解得r，10分rZ，r3.故系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，T4C·27·x415 360x4.12分溫馨提醒(1)本題重點(diǎn)考查了二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)以及項(xiàng)數(shù)和項(xiàng)的有關(guān)概念(2)解題時(shí)要注意區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)的不同；項(xiàng)數(shù)和項(xiàng)的不同(3)本題的易錯(cuò)點(diǎn)是混淆項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別.方法與技巧1 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tk1Cankbk是展開式的第k1項(xiàng)，這是解決二項(xiàng)式定理有關(guān)問題的基礎(chǔ)2 求指定項(xiàng)或指定項(xiàng)的系數(shù)要根據(jù)通項(xiàng)公式討論對(duì)k的限制3 性質(zhì)1是組合數(shù)公式CC的再現(xiàn)，性質(zhì)2是從函數(shù)的角度研究二項(xiàng)式系數(shù)的單調(diào)性，性質(zhì)3是利用賦值法得出的二項(xiàng)展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和4 因?yàn)槎?xiàng)式定理中的字母可取任意數(shù)或式，所以在解題時(shí)根據(jù)題意，給字母賦值，是求解二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)和的一種重要方法5 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用主要是對(duì)二項(xiàng)展開式正用、逆用，要充分利用二項(xiàng)展開式的特點(diǎn)和式子間的聯(lián)系失誤與防范1 要把“二項(xiàng)式系數(shù)的和”與“各項(xiàng)系數(shù)和”，“奇(偶)數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與奇(偶)次項(xiàng)系數(shù)和”嚴(yán)格地區(qū)別開來2 求通項(xiàng)公式時(shí)常用到根式與冪指數(shù)的互化，易出錯(cuò)A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 (xx·天津)在5的二項(xiàng)展開式中，x的系數(shù)為()A10 B10 C40 D40答案D解析因?yàn)門r1C(2x2)5rrC25rx102r(1)rxrC25r(1)rx103r，所以103r1，所以r3，所以x的系數(shù)為C253(1)340.2 (xx·重慶)(13x)n(其中nN且n6)的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則n等于()A6 B7 C8 D9答案B解析(13x)n的展開式中含x5的項(xiàng)為C(3x)5C35x5，展開式中含x6的項(xiàng)為C36x6，由兩項(xiàng)的系數(shù)相等得C·35C·36，解得n7.3 在n的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項(xiàng)是 ()A7 B7 C28 D28答案B解析只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式共9項(xiàng)，即n8，Tk1C8kkC(1)k·8k·x8k，當(dāng)k6時(shí)為常數(shù)項(xiàng)，T77.4 (xx·陜西)(4x2x)6(xR)展開式中的常數(shù)項(xiàng)是()A20 B15C15 D20答案C解析設(shè)展開式的常數(shù)項(xiàng)是第r1項(xiàng)，則Tr1C·(4x)6r·(2x)rC·(1)r·212x2rx·2rxC·(1)r·212x3rx，12x3rx0恒成立r4，T5C·(1)415.二、填空題(每小題5分，共15分)5 (xx·浙江)若將函數(shù)f(x)x5表示為f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5為實(shí)數(shù)，則a3_.答案10解析將f(x)x5進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用二項(xiàng)式定理求解f(x)x5(1x1)5，它的通項(xiàng)為Tr1C(1x)5r·(1)r，T3C(1x)3(1)210(1x)3，a310.6 (xx·大綱全國(guó))(1)20的二項(xiàng)展開式中，x的系數(shù)與x9的系數(shù)之差為_答案0解析Tr1C(x)r(1)r·C·x，x與x9的系數(shù)分別為C與C.又CC，CC0.7 (xx·大綱全國(guó))若n的展開式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則該展開式中的系數(shù)為_答案56解析利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解由題意知，CC，n8.Tr1C·x8r·rC·x82r，當(dāng)82r2時(shí)，r5，的系數(shù)為CC56.三、解答題(共22分)8 (10分)已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解令x1，則a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，則a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0C1，a1a2a3a72.(2)()÷2，得a1a3a5a71 094.(3)()÷2，得a0a2a4a61 093.(4)方法一(12x)7展開式中，a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.方法二|a0|a1|a2|a7|，即(12x)7展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和，令x1，|a0|a1|a2|a7|372 187.9 (12分)已知n，(1)若展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)；(2)若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)解(1)CC2C，n221n980.n7或n14，當(dāng)n7時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T4和T5.T4的系數(shù)為C423，T5的系數(shù)為C32470，當(dāng)n14時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T8.T8的系數(shù)為C7273 432.(2)CCC79，n2n1560.n12或n13(舍去)設(shè)Tk1項(xiàng)的系數(shù)最大，1212(14x)12，9.4k10.4，k10.展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T11，T11C·2·210·x1016 896x10.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 (xx·天津)在6的二項(xiàng)展開式中，x2的系數(shù)為()A B. C D.答案C解析該二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr1C6r·r(1)rC··x3r.令3r2，得r1.T26×x2x2，應(yīng)選C.2 (xx·湖北)設(shè)aZ，且0a<13，若512 012a能被13整除，則a的值為()A0 B1 C11 D12答案D解析化51為521，用二項(xiàng)式定理展開512 012a(521)2 012aC522 012C522 011C×52×(1)2 011C×(1)2 012a.因?yàn)?2能被13整除，所以只需C×(1)2 012a能被13整除，即a1能被13整除，因?yàn)?a<13，所以a12.3 (xx·課標(biāo)全國(guó))(x)(2x)5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為()A40 B20 C20 D40答案D解析令x1得(1a)(21)51a2，所以a1.因此(x)(2x)5展開式中的常數(shù)項(xiàng)即為(2x)5展開式中的系數(shù)與x的系數(shù)的和(2x)5展開式的通項(xiàng)為Tr1C(2x)5r·(1)r·xrC25rx52r·(1)r.令52r1，得2r4，即r2，因此(2x)5展開式中x的系數(shù)為C252(1)280.令52r1，得2r6，即r3，因此(2x)5展開式中的系數(shù)為C253·(1)340.所以(x)(2x)5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為804040.二、填空題(每小題5分，共15分)4 在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展開式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是_答案121解析展開式中含x3項(xiàng)的系數(shù)為C(1)3C(1)3C(1)3C(1)3121.5 已知(1xx2)n的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，nN*，且2n8，則n_.答案5解析n展開式中的通項(xiàng)為Tr1CxnrrCxn4r (r0,1,2，n)，將n2,3,4,5,6,7,8逐個(gè)檢驗(yàn)可知n5.6 190C902C903C(1)k90kC9010C除以88的余數(shù)是_答案1解析原式(190)10(881)108810C889C881，因?yàn)榍?0項(xiàng)均能被88整除，故余數(shù)為1.三、解答題7 (13分)已知等式(x22x2)5a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9a10(x1)10，其中ai(i0,1,2，10)為實(shí)常數(shù)求：(1)an的值；(2)nan的值解(1)(x22x2)5a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9a10(x1)10，令x0，則a0a1a2a9a102532；令 x1，則a01，即an31.(2)(x22x2)51(x1)25C×15C(x1)2C(x1)4C(x1)6C(x1)8C(x1)10a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10，a0C，a1a3a5a7a90，a2C，a4C，a6C，a8C，a10C.nana12a23a310a102C4C6C8C10C10C10C10C5010010160.