2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.2兩條直線的位置關(guān)系教案 理 新人教A版

2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.2兩條直線的位置關(guān)系教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考1.考查兩條直線的平行、垂直關(guān)系；2.考查兩點間的距離公式及點到直線的距離公式的應(yīng)用復(fù)習(xí)備考要這樣做1.對于兩條直線的位置關(guān)系問題，求解時要注意斜率不存在的情況，注意平行、垂直時直線方程系數(shù)的關(guān)系；2.熟記距離公式，如兩點之間的距離、點到直線的距離、兩條平行線之間的距離1 兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行對于兩條不重合的直線l1、l2，其斜率分別為k1、k2，則有l(wèi)1l2k1k2.特別地，當(dāng)直線l1、l2的斜率都不存在時，l1與l2平行(2)兩條直線垂直如果兩條直線l1，l2斜率存在，設(shè)為k1，k2，則l1l2k1·k21，當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時，兩條直線垂直2 兩直線相交交點：直線l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共點的坐標(biāo)與方程組的解一一對應(yīng)相交方程組有唯一解，交點坐標(biāo)就是方程組的解；平行方程組無解；重合方程組有無數(shù)個解3 三種距離公式(1)點A(x1，y1)、B(x2，y2)間的距離：|AB| .(2)點P(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離：d .(3)兩平行直線l1：AxByC10與l2：AxByC20 (C1C2)間的距離為d.難點正本疑點清源1 兩條直線平行、垂直的充要條件是有大前提的，就是兩條直線都有斜率當(dāng)直線無斜率時，要單獨考慮2 與直線AxByC0(A2B20)平行、垂直的直線方程的設(shè)法：一般地，平行的直線方程設(shè)為AxBym0；垂直的直線方程設(shè)為BxAyn0.1 直線Ax3yC0與直線2x3y40的交點在y軸上，則C的值為_答案4解析因為兩直線的交點在y軸上，所以點在第一條直線上，所以C4.2 若直線x2y50與直線2xmy60互相垂直，則實數(shù)m_.答案1解析直線x2y50與直線2xmy60互相垂直，×1，m1.3 已知直線l1與l2：xy10平行，且l1與l2的距離是，則直線l1的方程為_答案xy10或xy30解析設(shè)l1的方程為xyc0，則.|c1|2，即c1或c3.4 過點(1,0)且與直線x2y20平行的直線方程是 ()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10答案A解析所求直線與直線x2y20平行，所求直線的斜率為k，排除C、D.又直線過點(1,0)，排除B，故選A.5 若經(jīng)過點(3，a)、(2,0)的直線與經(jīng)過點(3，4)且斜率為的直線垂直，則a的值為()A. B. C10 D10答案D解析2，a10.題型一兩條直線的平行與垂直例1已知直線l1：ax2y60和直線l2：x(a1)ya210.(1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行；(2)l1l2時，求a的值思維啟迪：運用兩條直線平行或垂直的條件求解，要注意斜率為0或斜率不存在的情形解(1)方法一當(dāng)a1時，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；當(dāng)a0時，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；當(dāng)a1且a0時，兩直線可化為l1：yx3，l2：yx(a1)，l1l2解得a1，綜上可知，a1時，l1l2，否則l1與l2不平行方法二由A1B2A2B10，得a(a1)1×20，由A1C2A2C10，得a(a21)1×60，l1l2a1，故當(dāng)a1時，l1l2，否則l1與l2不平行(2)方法一當(dāng)a1時，l1：x2y60，l2：x0，l1與l2不垂直，故a1不成立；當(dāng)a0時，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于l2；當(dāng)a1且a0時，l1：yx3，l2：yx(a1)，由·1a.方法二由A1A2B1B20得a2(a1)0a.探究提高(1)當(dāng)直線的方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況同時還要注意x、y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件(2)在判斷兩直線的平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論 已知兩直線l1：mx8yn0和l2：2xmy10.試確定m、n的值，使：(1)l1與l2相交于點P(m，1)；(2)l1l2；(3)l1l2，且l1在y軸上的截距為1.解(1)由題意得，解得m1，n7.(2)當(dāng)m0時，顯然l1不平行于l2；當(dāng)m0時，由，得或即m4，n2時或m4，n2時，l1l2.(3)當(dāng)且僅當(dāng)m·28·m0，即m0時，l1l2.又1，n8.即m0，n8時，l1l2，且l1在y軸上的截距為1.題型二兩條直線的交點問題例2求經(jīng)過直線l1：3x2y10和l2：5x2y10的交點，且垂直于直線l3：3x5y60的直線l的方程思維啟迪：可先求出l1與l2的交點，再用點斜式；也可利用直線系方程求解解方法一先解方程組，得l1、l2的交點坐標(biāo)為(1,2)，再由l3的斜率求出l的斜率為，于是由直線的點斜式方程求出l：y2(x1)，即5x3y10.方法二由于ll3，故l是直線系5x3yC0中的一條，而l過l1、l2的交點(1,2)，故5×(1)3×2C0，由此求出C1，故l的方程為5x3y10.方法三由于l過l1、l2的交點，故l是直線系3x2y1(5x2y1)0中的一條，將其整理，得(35)x(22)y(1)0.其斜率，解得，代入直線系方程即得l的方程為5x3y10.探究提高運用直線系方程，有時會給解題帶來方便，常見的直線系方程有：(1)與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBym0 (mR且mC)；(2)與直線AxByC0垂直的直線系方程是BxAym0 (mR)；(3)過直線l1：A1xB1yC10與l2：A2xB2yC20的交點的直線系方程為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0 (R)，但不包括l2. 如圖，設(shè)一直線過點(1,1)，它被兩平行直線l1：x2y10，l2：x2y30所截的線段的中點在直線l3：xy10上，求其方程解與l1、l2平行且距離相等的直線方程為x2y20.設(shè)所求直線方程為(x2y2)(xy1)0，即(1)x(2)y20.又直線過A(1,1)，(1)(1)(2)·120.解得.所求直線方程為2x7y50.題型三距離公式的應(yīng)用例3已知三條直線：l1：2xya0 (a>0)；l2：4x2y10；l3：xy10.且l1與l2的距離是.(1)求a的值；(2)能否找到一點P，使P同時滿足下列三個條件：點P在第一象限；點P到l1的距離是點P到l2的距離的；點P到l1的距離與點P到l3的距離之比是.若能，求點P的坐標(biāo)；若不能，說明理由思維啟迪：(1)由l1與l2的距離構(gòu)建方程求a；(2)假設(shè)存在點P，并設(shè)出其坐標(biāo)，根據(jù)條件建立方程求解并作出判斷解(1)l1：4x2y2a0 (a>0)，l2：4x2y10，兩條平行線l1與l2間的距離為d，由已知，可得.又a>0，可解得a3.(2)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，由條件，可知x>0，y>0.由條件和，可得化簡得于是可得，4|xy1|4x2y1|，也就是4(xy1)4x2y1，或4(xy1)4x2y1，解得y，或8x2y50.當(dāng)y時，代入方程|2xy3|xy1|，解得x3<0或x<0，均舍去由，化簡得，或，解得或(舍去)即存在滿足題設(shè)條件的點P，其坐標(biāo)為.探究提高(1)在應(yīng)用兩條直線間的距離公式時要注意兩直線方程中x、y的系數(shù)必須相同(2)第(2)問是開放探索性問題，要注意解決此類問題的一般策略 已知A(4，3)，B(2，1)和直線l：4x3y20，在坐標(biāo)平面內(nèi)求一點P，使|PA|PB|，且點P到直線l的距離為2.解設(shè)點P的坐標(biāo)為(a，b)，A(4，3)，B(2，1)，線段AB的中點M的坐標(biāo)為(3，2)，線段AB的垂直平分線方程為y2x3，即xy50.點P(a，b)在上述直線上，ab50.又點P(a，b)到直線l：4x3y20的距離為2，2，即4a3b2±10，聯(lián)立可得或.所求點P的坐標(biāo)為(1，4)或.對稱變換思想的應(yīng)用典例：(12分)光線沿直線l1：x2y50射入，遇直線l：3x2y70后反射，求反射光線所在的直線方程審題視角(1)入射光線所在直線與反射光線所在直線關(guān)于l對稱(2)對稱點的連線被對稱軸垂直平分規(guī)范解答解方法一由得反射點M的坐標(biāo)為(1,2)2分又取直線x2y50上一點P(5，0)，設(shè)P關(guān)于直線l的對稱點P(x0，y0)，由PPl可知，kPP.4分而PP的中點Q的坐標(biāo)為，Q點在l上，3·2·70.6分由得8分根據(jù)直線的兩點式方程可得所求反射光線所在直線的方程為29x2y330.12分方法二設(shè)直線x2y50上任意一點P(x0，y0)關(guān)于直線l的對稱點為P(x，y)，則，4分又PP的中點Q在l上，3×2×70，6分由可得P點的坐標(biāo)為x0，y0，10分代入方程x2y50中，化簡得29x2y330，所求反射光線所在的直線方程為29x2y330.12分溫馨提醒(1)綜合利用物理學(xué)知識，利用對稱變換的思想方法求解是本題的關(guān)鍵(2)構(gòu)建方程解方程組是本題的又一重要方法(3)坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法是對稱變換中常用的方法之一(4)本題的易錯點，一是計算錯誤，二是不能用對稱的思想求解，亦即找不到解決問題的突破口方法與技巧1 兩直線的位置關(guān)系要考慮平行、垂直和重合對于斜率都存在且不重合的兩條直線l1、l2，l1l2k1k2；l1l2k1·k21.若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率一定要特別注意2 對稱問題一般是將線與線的對稱轉(zhuǎn)化為點與點的對稱利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法失誤與防范1 在判斷兩條直線的位置關(guān)系時，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無斜率時，要單獨考慮2 在運用兩平行直線間的距離公式d時，一定要注意將兩方程中的x，y系數(shù)化為分別相等A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 直線l過點(1,2)且與直線2x3y40垂直，則l的方程是()A3x2y10 B3x2y70C2x3y50 D2x3y80答案A解析由題意知，直線l的斜率為，因此直線l的方程為y2(x1)，即3x2y10.2 (xx·浙江)設(shè)aR，則“a1”是“直線l1：ax2y10與直線l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案A解析若直線l1與l2平行，則a(a1)2×10，即a2或a1，所以“a1”是“直線l1與直線l2平行”的充分不必要條件3 從點(2,3)射出的光線沿與向量a(8,4)平行的直線射到y(tǒng)軸上，則反射光線所在的直線方程為()Ax2y40 B2xy10Cx6y160 D6xy80答案A解析由直線與向量a(8,4)平行知：過點(2,3)的直線的斜率k，所以直線的方程為y3(x2)，其與y軸的交點坐標(biāo)為(0,2)，又點(2,3)關(guān)于y軸的對稱點為(2,3)，所以反射光線過點(2,3)與(0,2)，由兩點式知A正確4 已知直線l過點P(3,4)且與點A(2，2)，B(4，2)等距離，則直線l的方程為()A2x3y180B2xy20C3x2y180或x2y20D2x3y180或2xy20答案D解析設(shè)所求直線方程為y4k(x3)，即kxy43k0，由已知，得，k2或k.所求直線l的方程為2xy20或2x3y180.二、填空題(每小題5分，共15分)5 若不同兩點P，Q的坐標(biāo)分別為(a，b)，(3b,3a)，則線段PQ的垂直平分線l的斜率為_答案1解析由題可知kPQ1，又klkPQ1kl1.6 若直線ax2y20與直線x(a3)y10平行，則實數(shù)a的值為_答案1解析由兩直線平行的條件得a(a3)2，解得a1或2，經(jīng)檢驗，a2時兩直線重合，所以兩直線平行時，實數(shù)a的值為1.7 若直線m被兩平行線l1：xy10與l2：xy30所截得的線段的長為2，則m的傾斜角可以是15°30°45°60°75°其中正確答案的序號是_答案解析兩直線xy10與xy30之間的距離為，又動直線l1與l2所截得的線段長為2，故動直線與兩直線的夾角應(yīng)為30°，因此只有適合三、解答題(共22分)8 (10分)求過直線l1：x2y30與直線l2：2x3y80的交點，且到點P(0,4)的距離為2的直線方程解由解得l1，l2的交點為(1,2)設(shè)所求直線方程為y2k(x1)即kxy2k0，P(0,4)到直線的距離為2，2，解得：k0或k.直線方程為y2或4x3y20.9 (12分)已知兩直線l1：axby40，l2：(a1)xyb0，求分別滿足下列條件的a，b的值(1)直線l1過點(3，1)，并且直線l1與l2垂直；(2)直線l1與直線l2平行，并且坐標(biāo)原點到l1，l2的距離相等解(1)l1l2，a(a1)(b)·10，即a2ab0.又點(3，1)在l1上，3ab40.由得a2，b2.(2)l1l2，ab(a1)0，b，故l1和l2的方程可分別表示為：(a1)xy0，(a1)xy0，又原點到l1與l2的距離相等4，a2或a，a2，b2或a，b2.B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 設(shè)a、b、c分別是ABC中A、B、C所對邊的邊長，則直線xsin Aayc0與bxysin Bsin C0的位置關(guān)系是()A平行 B重合C垂直 D相交但不垂直答案C解析由，得bsin Aasin B0.兩直線垂直2 如圖，已知A(4,0)、B(0,4)，從點P(2，0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點，則光線所經(jīng)過的路程是 ()A2 B6C3 D2答案A解析由題意知點P關(guān)于直線AB的對稱點為D(4,2)，關(guān)于y軸的對稱點為C(2,0)，則光線所經(jīng)過的路程PMN的長為|CD|2.3 過點A(1,2)且與原點距離最大的直線方程為()Ax2y50 B2xy40Cx3y70 D3xy50答案A解析所求直線與直線OA垂直，kOA2，所求直線方程為y2(x1)，即x2y50.二、填空題(每小題5分，共15分)4 已知0<k<4，直線l1：kx2y2k80和直線l2：2xk2y4k240與兩坐標(biāo)軸圍成一個四邊形，則使得這個四邊形面積最小的k值為_答案解析由題意知直線l1，l2恒過定點P(2,4)，直線l1的縱截距為4k，直線l2的橫截距為2k22，所以四邊形的面積S×2×(4k)×4×(2k22)4k2k8，故面積最小時，k.5 一條光線沿直線2xy20入射到直線xy50后反射，則反射光線所在的直線方程為_答案x2y70解析取直線2xy20上一點A(0,2)，設(shè)點A(0,2)關(guān)于直線xy50對稱的點為B(a，b)，則，解得，B(3,5)，聯(lián)立方程，得，解得，直線2xy20與直線xy50的交點為P(1,4)，反射光線在經(jīng)過點B(3,5)和點P(1,4)的直線上，其直線方程為y4(x1)，整理得x2y70.6 已知直線x2y2與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，若動點P(a，b)在線段AB上，則ab的最大值為_答案解析由題意知A(2,0)，B(0,1)，所以線段AB的方程用截距式表示為y1，x0,2，又動點P(a，b)在線段AB上，所以b1，a0,2，又b2，所以12，解得0ab，當(dāng)且僅當(dāng)b，即P時，ab取得最大值.三、解答題7 (13分)如圖，函數(shù)f(x)x的定義域為(0，)設(shè)點P是函數(shù)圖象上任一點，過點P分別作直線yx和y軸的垂線，垂足分別為M，N.(1)證明：|PM|·|PN|為定值；(2)O為坐標(biāo)原點，求四邊形OMPN面積的最小值(1)證明設(shè)P (x0>0)則|PN|x0，|PM|，因此|PM|·|PN|1.(2)解直線PM的方程為yx0(xx0)，即yx2x0.解方程組得xyx0，S四邊形OMPNSNPOSOPM|PN|ON|PM|OM|x01，當(dāng)且僅當(dāng)x0，即x01時等號成立，因此四邊形OMPN的最小值為1.