2022年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 三角函數(shù)教學(xué)案

2022年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 三角函數(shù)教學(xué)案第1課時 三角函數(shù)與三角變換考綱指要：主要考察三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)的化簡、求值及三角恒等式的證明等三角變換的基本問題考點掃描：1．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)；2．函數(shù)y＝sinx的圖象變換出y＝sin(ωx＋)的圖象；3．兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式考題先知：例1.不查表求sin220°+cos280°+cos20°cos80°的值 分析：解法一利用三角公式進行等價變形；解法二轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，使解法更簡單更精妙，需認真體會 解法一 sin220°+cos280°+sin220°cos80°= (1－cos40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80°=1－cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°)=1－cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin220°=1－cos40°－(1－cos40°)= 解法二 設(shè)x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°y=cos220°+sin280°－cos20°sin80°，則x+y=1+1－sin60°=，x－y=－cos40°+cos160°+sin100°=－2sin100°sin60°+sin100°=0∴x=y=，即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°= 點評：題主要考查兩角和、二倍角公式及降冪求值的方法，對計算能力的要求較高 例2．某市環(huán)保部門對該市每天環(huán)境污染情況進行調(diào)查研究后，得出一天中環(huán)境污染指數(shù)與時間x（小時）的函數(shù)關(guān)系為，其中a為與氣象有關(guān)的參數(shù)，且。

若函數(shù)的最大值為當(dāng)天的綜合污染指數(shù)，并記作1）求函數(shù)的表達式； （2）市政府規(guī)定，每天的綜合污染指數(shù)不得超過2，試問該市目前的綜合污染指數(shù)是否超標(biāo)？解：（1）設(shè)，則原函數(shù)可化為，當(dāng)時，，，由于的圖象為線段或折線，故的最大值在端點或折點處取得，又當(dāng)?shù)膱D象為折線時，在折點處的t值為，而，所以的最大值為=，而,,由方程組得，從而（2）由（1）知：在上是增函數(shù)，故，因此該市目前的綜合污染指數(shù)沒有超標(biāo)復(fù)習(xí)智略：例3.設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值為f(a)，試確定滿足f(a)=的a值，并對此時的a值求y的最大值 分析：利用等價轉(zhuǎn)化把問題化歸為二次函數(shù)問題，還要用到配方法、數(shù)形結(jié)合、分類講座等 解 由y=2(cosx－)2－及cosx∈［－1，1］得 f(a)＝∵f(a)=,∴1－4a=a=［2,+∞或?。?a－1=，解得a=－1，此時，y=2(cosx+)2+，當(dāng)cosx=1時，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5 點評：本題主要考查最值問題、三角函數(shù)的有界性、計算能力以及較強的邏輯思維能力 學(xué)生不易考查三角函數(shù)的有界性，對區(qū)間的分類易出錯 檢測評估：1 已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的兩根均tanα、tanβ，且α，β∈(－)，則tan的值是( )A B －2 C D 或－22．給出函數(shù)封閉的定義：若對于定義域D內(nèi)的任一個自變量x0，都有函數(shù)值f(x0)，則稱函數(shù)y=f(x)在D上封閉。

若定義域D1=（0，1），則下列函數(shù)：f1(x)=2x-1，f2(x)=，f3(x)=2x-1，f4(x)=cosx.；其中在D1上封閉的有（ ）個 A．1 B．2 C．3 D．43 函數(shù)y=－x·cosx的部分圖像是( )4 函數(shù)f(x)=cos2x+sin(+x)是( )A 非奇非偶函數(shù) B 僅有最小值的奇函數(shù)C 僅有最大值的偶函數(shù) D 既有最大值又有最小值的偶函數(shù)5、函數(shù)的最大值為M，最小值為N，則（ ）A、； B、； C、； D、6．函數(shù)y=sin（2x+）的圖象通過如下變換： 得到y(tǒng)=sinx的圖象7 函數(shù)f(x)=()｜cosx｜在［－π，π］上的單調(diào)減區(qū)間為_________ 8 設(shè)ω＞0，若函數(shù)f(x)=2sinωx在［－，］上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是_________ 9．已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+)－sin2x+sinxcosx，則函數(shù)f(x)的最小正周期是 。

當(dāng)x = 時，f(x)取得最小值 ；10．已知＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值_________ 11.已知為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列{an}的首項. ⑴ 求函數(shù)的表達式；⑵ 求證：；⑶ 求證：12.已知向量，，已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最值與最小正周期；（2）求使不等式 成立的 的取值范圍點撥與全解：1 解析 ∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0 tanα+tanβ=3a+1＞0,又α、β∈(－,)∴α、β∈(－,θ),則∈(－,0),又tan(α+β)=,整理得2tan2=0 解得tan=－2 答案 B2．解：（1）∵f1()=0?(0,1)，∴f(x)在D1上不封閉； ∵f2(x)=-(x+)2+在(0,1)上是減函數(shù)，∴0＜f2(1)＜f2(x)＜f2(0)=1， ∴f2(x)?(0,1)Tf2(x)在D1上封閉； ∵f3(x)=2x-1在(0,1)上是增函數(shù)，∴0=f3(0)＜f3(x)＜f3(1)=1， ∴f3(x)?(0,1)Tf3(x)在D1上封閉； ∵f4(x)=cosx在(0,1)上是減函數(shù)，∴cos1=f4(1)＜f4(x)＜f4(0)=1， ∴f4(x)?(cos1,1)ì(0,1)Tf4(x)在D1上封閉； 綜上所述，選C。

3 解 函數(shù)y=－xcosx是奇函數(shù)，圖像不可能是A和C，又當(dāng)x∈(0, )時，y＜0 答案 D4 解 f(x)=cos2x+sin(+x)=2cos2x－1+cosx=2［(cosx+］－1 答案 D5．解：，其中是奇函數(shù)，所以M+N=2，故選D6.y=sin（2x+）7 解 在［－π,π］上，y=｜cosx｜的單調(diào)遞增區(qū)間是［－,0］及［,π］ 而f(x)依｜cosx｜取值的遞增而遞減,故［－,0］及［,π］為f(x)的遞減區(qū)間 8 解 由－≤ωx≤，得f(x)的遞增區(qū)間為［－,］，由題設(shè)得9．解：f(x)=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)，∴f(x)的最小正周期T=π且當(dāng)2x+=2kπ－，即x=kπ－ (k∈Z)時，f(x)取得最小值－2 10．解 ∵＜β＜α＜,∴0＜α－β＜ π＜α+β＜,∴∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)11．解：⑴ 又∵為銳角 ∴ ∴ ⑵ ∵ ∴都大于0 ∴ ∴ ⑶ ∴ ∴ ∵, , 又∵ ∴ ∴ ∴12、解： (1)∴的最大值是,的最小值是, 的最小正周期是 (2) 由解知 又∵ ∴的取值范圍是 第2課時 解三角形考綱指要：（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題；（2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題。

考點掃描：1．直角三角形中各元素間的關(guān)系：（1）三邊之間的關(guān)系；（2）銳角之間的關(guān)系；（3）邊角之間的關(guān)系2．斜三角形中各元素間的關(guān)系：（1）三角形內(nèi)角和；（2）正弦定理；（3）余弦定理；3．三角形的面積公式考題先知：例1在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個觀察站P，上午11時，測得一輪船在島北30°東，俯角為30°的B處，到11時10分又測得該船在島北60°西、俯角為60°的C處1)求船的航行速度是每小時多少千米；(2)又經(jīng)過一段時間后，船到達海島的正西方向的D處，問此時船距島A有多遠？分析： 主要依據(jù)三角形中的邊角關(guān)系并且運用正弦定理來解決問題 解 (1)在Rt△PAB中，∠APB=60° PA=1，∴AB= (千米)在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC= (千米)在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°(2)∠DAC=90°－60°=30°sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sinACB=sinCDA=sin(∠ACB－30°)=sinACB·cos30°－cosACB·sin30° 在△ACD中，據(jù)正弦定理得，∴答 此時船距島A為千米 點評： 主要利用三角形的三角關(guān)系，關(guān)鍵找準(zhǔn)方位角，合理利用邊角關(guān)系 例2已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B，設(shè)x=cos，f(x)=cosB() (1)試求函數(shù)f(x)的解析式及其定義域；(2)判斷其單調(diào)性，并加以證明；(3)求這個函數(shù)的值域 分析： 本題的關(guān)鍵是運用三角函數(shù)的有關(guān)公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化積和積化和差公式 在求定義域時要注意||的范圍 解 (1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120°∵0°≤||＜60°，∴x=cos∈(，1又4x2－3≠0，∴x≠，∴定義域為(，)∪(，1］ (2)設(shè)x1＜x2，∴f(x2)－f(x1)==，若x1，x2∈()，則4x12－3＜0，4x22－3＜0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0即f(x2)＜f(x1)，若x1，x2∈(，1］，則4x12－3＞0 4x22－3＞0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0 即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在(,)和(，1上都是減函數(shù) (3)由(2)知，f(x)＜f()=－或f(x)≥f(1)=2 故f(x)的值域為(－∞，－)∪［2，+∞ 點評：學(xué)生對三角函數(shù)中有關(guān)公式的靈活運用是難點，并且不易想到運用函數(shù)的單調(diào)性去求函數(shù)的值域問題 復(fù)習(xí)智略：例3．已知△ABC中滿足()2＝·＋·＋·，a、b、c分別是△ABC的三邊．（Ⅰ）試判斷△ABC的形狀并求sinA＋sinB的取值范圍； （Ⅱ）若不等式a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)≥kabc，對任意的a、b、c都成立，求k的取值范圍．7解：（Ⅰ）∵()2＝·＋·＋·， ()2＝·(＋)＋· 即()2＝·＋·，即·＝0，△ABC 是以C為直角頂點的直角三角形， ∴sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝sin(A＋)，A∈(0，) ，∴sinA＋sinB的取值范圍為． （Ⅱ）在直角△ABC中， a＝csinA，b＝ccosA．若a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)≥kabc，對任意的a、b、c都成立，則有≥k，對任意的a、b、c都成立，∵ ＝[c2sin2A(ccosA＋c)＋c2cos2A(csinA＋c)＋c2(csinA＋ccosA)]＝[ sin2AcosA＋cos2A sinA＋1＋cosA＋sinA]＝cosA＋sinA＋ 令t＝sinA＋cosA，t∈，設(shè)f(t)＝＝t＋＝t＋＝t－1＋＋1．f(t)＝t－1＋＋1，當(dāng)t－1∈ 上時 f(t)為單調(diào)遞減函數(shù)，∴當(dāng)t＝時取得最小值，最小值為2＋3，即k≤2＋3， 所以k的取值范圍為（－∞，2＋3）．點評：本題是平面向量與三角函數(shù)相結(jié)合的問題，運用平面向量的運算的意義轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的邊角關(guān)系，進而運用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求值域．第Ⅱ小題將不等式恒成立的問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值，其中運用了換元法．檢測評估：1 給出四個命題 (1)若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形；(2)若sinA=cosB，則△ABC為直角三角形；(3)若sin2A+sin2B+sin2C＜2，則△ABC為鈍角三角形；(4)若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，則△ABC為正三角形 以上正確命題的個數(shù)是( )A 1 B 2 C 3 D 42．△ABC中，則△ABC的周長為（ ）A． B．C． D．3．如果的三個內(nèi)角的余弦值分別等于的三個內(nèi)角的正弦值，則（ ）A．和都是銳角三角形B．和都是鈍角三角形C．是鈍角三角形，是銳角三角形D．是銳角三角形，是鈍角三角形4．在中，則滿足條件的三角形有（ ） （A）一解 （B）兩解 （C）無解 （D）不能確定5．已知兩個向量集合M={︱＝（cos，），∈R}，N＝{︱＝（cos，＋sin）∈R}，若M∩N≠，則的取值范圍是（ ）A.（－3，5） B.[,5] C.[2，5] D.[5，＋∞]解：由條件得：，故選B。

6 在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，則的值為__________ 7 在△ABC中，A為最小角，C為最大角，已知cos(2A+C)=－，sinB=，則cos2(B+C)=__________ 8. 如右圖，在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角θ的正弦成正比，角和這一點到光源的距離 r的平方成反比，即I=k·，其中 k是一個和燈光強度有關(guān)的常數(shù)，那么電燈懸掛的高度h= ，才能使桌子邊緣處最亮.9 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，且a、b、3c成等比數(shù)列，又∠A－∠C=，則∠A、∠B、∠C的值分別為 10.．給出問題：已知中，滿足，試判定的形狀．某學(xué)生的解答如下：由條件可得，去分母整理可得，．故是直角三角形．該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請將他的解題主要依據(jù)填在下面橫線上；若不正確，將正確的結(jié)果填在下面橫線上．_______________________________________________________________11．在一很大的湖岸邊（可視湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開，小船被風(fēng)刮跑，其方向與湖岸成15°角，速度為2.5km/h，同時岸邊有一人，從同一地點開始追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4km/h，在水中游的速度為2km/h.問此人能否追上小船.若小船速度改變，則小船能被人追上的最大速度是多少？12.已知△ABC的面積S滿足 , 且 , 與的夾角為.(I) 求的取值范圍;(II)求函數(shù)的最小值.點撥與全解：1 解析 其中(3)(4)正確 答案 B2．解：在中，由正弦定理得：化簡得AC=，化簡得AB=，所以三角形的周長為：3+AC+AB=3++=3+。

故選D3．解：的三個內(nèi)角的余弦值均大于0，則是銳角三角形，若是銳角三角形，由，得，那么，，所以是鈍角三角形4．由得，故選C6 解析 ∵A+B+C=π，A+C=2B，答案 7 解析 ∵A為最小角∴2A+C=A+A+C＜A+B+C=180° ∵cos(2A+C)=－，∴sin(2A+C)= ∵C為最大角，∴B為銳角，又sinB= 故cosB= 即sin(A+C)=，cos(A+C)=－ ∵cos(B+C)=－cosA=－cos［(2A+C)－(A+C)］=－，∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)－1= 答案 8 解 R=rcosθ，由此得 ，9． 解 由a、b、3c成等比數(shù)列，得 b2=3ac∴sin2B=3sinC·sinA=3(－)［cos(A+C)－cos(A－C)］∵B=π－(A+C) ∴sin2(A+C)=－［cos(A+C)－cos］即1－cos2(A+C)=－cos(A+C)，解得cos(A+C)=－ ∵0＜A+C＜π，∴A+C=π 又A－C=∴A=π，B=，C=10．不正確，失掉這一情形，故是等腰三角形或直角三角形OABvt2(1－k)t4kt15°11． 設(shè)船速為v，顯然時人是不可能追上小船，當(dāng)km/h時，人不必在岸上跑，而只要立即從同一地點直接下水就可以追上小船，因此只要考慮的情況，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追趕，當(dāng)人沿岸跑的軌跡和人游水的軌跡以及船在水中漂流的軌跡組成一個封閉的三角形時，人才能追上小船.設(shè)船速為v，人追上船所用時間為t，人在岸上跑的時間為，則人在水中游的時間為,人要追上小船,則人船運動的路線滿足如圖所示的三角形.由余弦是理得, 即,整理得,要使上式在（0，1）范圍內(nèi)有實數(shù)解，則有且,解得, 故當(dāng)船速在內(nèi)時，人船運動路線可構(gòu)成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度為，由此可見當(dāng)船速為2.5km/h時人可以追上小船.12.解:(1)由題意知,, ………………①,…………②由②÷①, 得, 即由得, 即.又為與的夾角, ∴, ∴.(2)∵, ∴.∴, 即時, 的最小值為3. 。