2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 算法初步、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 第3節(jié) 統(tǒng)計(jì)圖表、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、用樣本估計(jì)總體教學(xué)案 文 北師大版

第三節(jié)統(tǒng)計(jì)圖表、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、用樣本估計(jì)總體最新考綱1.了解分布的意義與作用，能根據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會它們各自的特點(diǎn).2.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差.3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并做出合理的解釋.4.會用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征理解用樣本估計(jì)總體的思想，會用樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡單的實(shí)際問題(對應(yīng)學(xué)生用書第179頁)1統(tǒng)計(jì)圖表統(tǒng)計(jì)圖表是表達(dá)和分析數(shù)據(jù)的重要工具，常用的統(tǒng)計(jì)圖表有條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、象形統(tǒng)計(jì)圖、莖葉圖等2數(shù)據(jù)的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫作這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫作這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)(x1x2xn)(2)方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差：s2.標(biāo)準(zhǔn)差：s(x1)2(x2)2(xn)2其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項(xiàng)，n是樣本容量，是平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的單位與原始測量單位相同，在統(tǒng)計(jì)中，通常用標(biāo)準(zhǔn)差來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度3頻率分布直方圖與頻率分布折線圖(1)頻率分布直方圖：每個(gè)小矩形的寬度為xi(分組的寬度)，高為，小矩形的面積恰為相應(yīng)的頻率fi，我們稱這樣的圖形為頻率分布直方圖(2)頻率分布折線圖在頻率分布直方圖中，按照分組原則，再在左邊和右邊各加上一個(gè)區(qū)間，從所加的左邊區(qū)間的中點(diǎn)開始，用線段依次連接頻率分布直方圖中各個(gè)矩形的頂端中點(diǎn)，直至右邊所加區(qū)間的中點(diǎn)就得到頻率分布折線圖4用樣本估計(jì)總體通常我們對總體作出的估計(jì)一般分成兩種，一種是用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布，另一種是用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征1頻率分布直方圖的三個(gè)結(jié)論(1)頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標(biāo)之差xi稱為組距，縱坐標(biāo)，頻率組距×.(2)在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積總和等于1，因?yàn)樵陬l率分布直方圖中組距是一個(gè)固定值，所以各小長方形高的比也就是頻率比(3)小長方形的高，所有小長方形高的和為.2平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為，那么mx1a，mx2a，mx3a，mxna的平均數(shù)是ma.(2)數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差為s2.數(shù)據(jù)x1a，x2a，xna的方差也為s2；數(shù)據(jù)ax1，ax2，axn的方差為a2s2.一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示頻率()(2)頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越高()(3)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢()(4)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動越大()答案(1)×(2)(3)(4)二、教材改編1一個(gè)容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.25，則該組樣本的頻數(shù)為()A4B8C12D16B設(shè)頻數(shù)為n，則0.25，n32×8.2若某校高一年級8個(gè)班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()A91.5和91.5B91.5和92C91和91.5D92和92A這組數(shù)據(jù)由小到大排列為87,89,90,91,92,93,94,96，中位數(shù)是91.5，平均數(shù)91.5.3如圖是100位居民月均用水量的頻率分布直方圖，則月均用水量為2,2.5)范圍內(nèi)的居民有_人25用水量為2,2.5)的頻率為0.5×0.50.25，則用水量為2,2.5)的居民有100×0.2525(人)4已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是_0.15個(gè)數(shù)的平均數(shù)5.1，所以它們的方差s2(4.75.1)2(4.85.1)2(5.15.1)2(5.45.1)2(5.55.1)20.1.(對應(yīng)學(xué)生用書第180頁)考點(diǎn)1扇形圖和折線圖(1)通過扇形統(tǒng)計(jì)圖可以很清楚的表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系(2)折線圖可以顯示隨時(shí)間(根據(jù)常用比例放置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時(shí)間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢1.(2018·全國卷)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是()A新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半A設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入的總量為x，則新農(nóng)村建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入的總量為2x.建設(shè)前種植收入為0.6x，建設(shè)后種植收入為0.74x，故A不正確；建設(shè)前其他收入為0.04x，建設(shè)后其他收入為0.1x，故B正確；建設(shè)前養(yǎng)殖收入為0.3x，建設(shè)后養(yǎng)殖收入為0.6x，故C正確；建設(shè)后養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和占建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入總量的58%，故D正確2(2017·全國卷)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)A對于選項(xiàng)A，由圖易知月接待游客量每年7,8月份明顯高于12月份，故A錯(cuò)；對于選項(xiàng)B，觀察折線圖的變化趨勢可知年接待游客量逐年增加，故B正確；對于選項(xiàng)C，D，由圖可知顯然正確故選A.解答第1題時(shí)，理解“經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍”是解題的關(guān)鍵考點(diǎn)2莖葉圖莖葉圖的應(yīng)用(1)莖葉圖通常用來記錄兩位數(shù)的數(shù)據(jù)，可以用來分析單組數(shù)據(jù)，也可以用來比較兩組數(shù)據(jù)通過莖葉圖可以確定數(shù)據(jù)的中位數(shù)，數(shù)據(jù)大致集中在哪個(gè)莖，數(shù)據(jù)是否關(guān)于該莖對稱，數(shù)據(jù)分布是否均勻等(2)給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，比較數(shù)字特征時(shí)，“重心”下移者平均數(shù)較大，數(shù)據(jù)集中者方差較小1.(2017·山東高考)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件)若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為()A3,5B5,5C3,7D5,7A由兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等可得6560y，解得y5，又它們的平均值相等，所以×56626574(70x)×(5961676578)，解得x3，故選A.2在如圖所示一組數(shù)據(jù)的莖葉圖中，有一個(gè)數(shù)字被污染后模糊不清，但曾計(jì)算得該組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)之和為61，則被污染的數(shù)字為()A1B2 C3D4B由題圖可知該組數(shù)據(jù)的極差為482028，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為612833，易得被污染的數(shù)字為2，故選B.3甲、乙兩名籃球運(yùn)動員5場比賽得分的原始記錄如莖葉圖所示，若甲、乙兩人的平均得分分別為甲，乙，則下列結(jié)論正確的是()A.甲乙；乙比甲得分穩(wěn)定B.甲乙；甲比乙得分穩(wěn)定C.甲乙；乙比甲得分穩(wěn)定D.甲乙；甲比乙得分穩(wěn)定A因?yàn)榧?1，乙16.8，所以甲乙且乙比甲成績穩(wěn)定，故選A.第3題，從數(shù)據(jù)重心位置及數(shù)據(jù)離散程度，亦可知道答案考點(diǎn)3頻率分布直方圖1由頻率分布直方圖進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí)，需掌握的兩個(gè)關(guān)系式(1)×組距頻率(2)頻率，此關(guān)系式的變形為樣本容量，樣本容量×頻率頻數(shù)2利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征的方法(1)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值(2)平均數(shù)：平均數(shù)的估計(jì)值等于每個(gè)小矩形的面積乘以矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之和(3)眾數(shù)：最高的矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)(1)在某次高中學(xué)科競賽中，4 000名考生的參賽成績統(tǒng)計(jì)如圖所示，60分以下視為不及格，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表，則下列說法中有誤的是()A成績在70,80分的考生人數(shù)最多B不及格的考生人數(shù)為1 000人C考生競賽成績的平均分約70.5分D考生競賽成績的中位數(shù)為75分(2)(2019·全國卷)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70.求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)(1)D由頻率分布直方圖可得，成績在70,80的頻率最高，因此考生人數(shù)最多，故A正確；由頻率分布直方圖可得，成績在40,60)的頻率為0.25，因此，不及格的人數(shù)為4 000×0.251 000，故B正確；由頻率分布直方圖可得：平均分等于45×0.155×0.1565×0.275×0.385×0.1595×0.170.5，故C正確；因?yàn)槌煽冊?0,70)的頻率為0.45，由70,80的頻率為0.3，所以中位數(shù)為7010×71.67，故D錯(cuò)誤故選D.(2)解由已知得0.70a0.200.15，故a0.35.b10.050.150.700.10.甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為2×0.153×0.204×0.305×0.206×0.107×0.054.05，乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為3×0.054×0.105×0.156×0.357×0.208×0.156.00.頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1，在求參數(shù)的值時(shí)，經(jīng)常用到這個(gè)結(jié)論教師備選例題某城市100戶居民的月平均用電量(單位：千瓦時(shí))，以160,180)，180,200)，200,220)，220,240)，240,260)，260,280)，280,300分組的頻率分布直方圖如圖(1)求直方圖中x的值；(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)解(1)由(0.0020.009 50.0110.012 5x0.0050.002 5)×201，解得x0.007 5.即直方圖中x的值為0.007 5.(2)月平均用電量的眾數(shù)是230.(0.0020.009 50.011)×200.450.5，(0.0020.009 50.0110.012 5)×200.70.5，月平均用電量的中位數(shù)在220,240)內(nèi)設(shè)中位數(shù)為a，則0.450.012 5×(a220)0.5，解得a224，即中位數(shù)為224.我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)將數(shù)據(jù)按照0，0.5)，0.5,1)，4,4.5分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖(1)求直方圖中a的值；(2)設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由；(3)估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)解(1)由頻率分布直方圖可知：月均用水量在0，0.5)內(nèi)的頻率為0.08×0.50.04.同理，在0.5,1)，1.5,2)，2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4,4.5等組的頻率分別為0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1(0.040.080.210.250.060.040.02)0.5×a0.5×a，解得a0.30.(2)由(1)知，該市100位居民中月均用水量不低于3噸的頻率為0.060.040.020.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計(jì)30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 000×0.1236 000.(3)設(shè)中位數(shù)為x噸因?yàn)榍?組的頻率之和為0.040.080.150.210.250.73>0.5，又前4組的頻率之和為0.040.080.150.210.48<0.5，所以2x<2.5.由0.50×(x2)0.50.48，解得x2.04.故可估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸考點(diǎn)4樣本的數(shù)字特征利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大??；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定(2)用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征樣本數(shù)字特征的計(jì)算(1)(2019·江蘇高考)已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10，則該組數(shù)據(jù)的方差是_(2)(2019·全國卷)我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為_(1)(2)0.98(1)由題意，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，所以該組數(shù)據(jù)的方差是(68)2(78)2(88)2(88)2(98)2(108)2.(2)0.98.則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為0.98.本例(2)中實(shí)際上就是用樣本的平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)樣本的數(shù)字特征與頻率分布直方圖或莖葉圖交匯(2019·全國卷)某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表y的分組0.20，0)0，0.20)0.20，0.40)0.40，0.60)0.60，0.80)企業(yè)數(shù)22453147(1)分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例；(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)(精確到0.01)附：8.602.解(1)根據(jù)產(chǎn)值增長率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的100個(gè)企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)頻率為0.21.產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)頻率為0.02.用樣本頻率分布估計(jì)總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例為21%，產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例為2%.(2)×(0.10×20.10×240.30×530.50×140.70×7)0.30，s2ni(yi)2×(0.40)2×2(0.20)2×2402×530.202×140.402×70.029 6，s0.02×0.17.所以，這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值分別為0.30,0.17.求標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，應(yīng)先求平均數(shù)，再求方差，最后求標(biāo)準(zhǔn)差教師備選例題1甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則 ()甲乙A甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C甲的成績的方差小于乙的成績的方差D甲的成績的極差小于乙的成績的極差C甲的平均數(shù)是6，中位數(shù)是6，極差是4，方差是2；乙的平均數(shù)是6，中位數(shù)是5，極差是4，方差是，故選C.2甲、乙兩名射擊運(yùn)動員參加某大型運(yùn)動會的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績?nèi)缦卤?單位：環(huán))：甲108999乙1010799如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應(yīng)是_甲甲乙9，s×(910)2(98)2(99)2(99)2(99)2，s×(910)2(910)2(97)2(99)2(99)2s，故甲更穩(wěn)定甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次，每次中靶環(huán)數(shù)情況如圖所示：(1)請?zhí)顚懴卤?寫出計(jì)算過程)：平均數(shù)方差命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)甲乙(2)從下列三個(gè)不同的角度對這次測試結(jié)果進(jìn)行分析：從平均數(shù)和方差相結(jié)合看(分析誰的成績更穩(wěn)定)；從平均數(shù)和命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看(分析誰的成績好些)；從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢看(分析誰更有潛力)解由題圖，知甲射擊10次中靶環(huán)數(shù)分別為9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.將它們由小到大排列為5,6,6,7,7,7,7,8,8,9.乙射擊10次中靶環(huán)數(shù)分別為2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.將它們由小到大排列為2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.(1)甲×(56×27×48×29)7(環(huán))，乙×(2467×28×29×210)7(環(huán))，s×(57)2(67)2×2(77)2×4(87)2×2(97)2×(42024)1.2，s×(27)2(47)2(67)2(77)2×2(87)2×2(97)2×2(107)2×(25910289)5.4.填表如下：平均數(shù)方差命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)甲71.21乙75.43(2)平均數(shù)相同，ss，甲成績比乙穩(wěn)定平均數(shù)相同，命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)甲比乙少，乙成績比甲好些甲成績在平均數(shù)上下波動，而乙處于上升勢頭，從第三次以后就沒有比甲少的情況發(fā)生，乙更有潛力- 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