2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第7節(jié) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布教學(xué)案 理 北師大版

第七節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布最新考綱1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念.2.會(huì)求簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差概念解決一些簡單實(shí)際問題.3.借助直觀直方圖認(rèn)識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義1離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(Xai)pi(i1,2，r)(1)均值EXa1p1a2p2arpr，均值EX刻畫的是X取值的“中心位置”(2)方差DXE(XEX)2為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值EX的平均偏離程度2均值與方差的性質(zhì)(1)E(aXb)aEXb.(2)D(aXb)a2DX(a，b為常數(shù))3兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差均值方差變量X服從兩點(diǎn)分布EXpDXp(1p)XB(n，p)EXnpDXnp(1p)4正態(tài)分布(1)XN(，2)，表示X服從參數(shù)為和2的正態(tài)分布(2)正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)圖像關(guān)于直線x對(duì)稱；(0)的大小決定函數(shù)圖像的“胖”“瘦”；p(X)68.3%；p(2X2)95.4%；p(3X3)99.7%.1均值與方差的關(guān)系：DXEX2E2X.2超幾何分布的均值：若X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布，則EX.一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的()(2)若XN(，2)，則，2分別表示正態(tài)分布的均值和方差()(3)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量()(4)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離均值的平均程度越小. ()答案(1)(2)(3)×(4)二、教材改編1已知X的分布列為X101Pa設(shè)Y2X3，則EY的值為()AB4C1D1A由概率分布列的性質(zhì)可知：a1，a.EX(1)×0×1×.EY32EX3.2若隨機(jī)變量X滿足P(Xc)1，其中c為常數(shù)，則D(X)的值為_0P(Xc)1，EXc×1c，DX(cc)2×10.3已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(X>2c1)P(X<c3)，則c_.XN(3,1)，正態(tài)曲線關(guān)于x3對(duì)稱，且P(X>2c1)P(X<c3)，2c1c33×2，c.4甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y，其分布列分別為：X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是_乙EX0×0.41×0.32×0.23×0.11.EY0×0.31×0.52×0.20.9，因?yàn)镋Y<EX，所以乙技術(shù)好考點(diǎn)1求離散型隨機(jī)變量的均值、方差求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值(2)求X取每個(gè)值時(shí)的概率(3)寫出X的分布列(4)由均值的定義求EX.(5)由方差的定義求DX.為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開展滑雪促銷活動(dòng)該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi)，超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過1小時(shí)離開的概率分別為，；1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)離開的概率分別為，；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí)(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量(單位：元)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望E，方差D.解(1)兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0,40,80元，兩人都付0元的概率為p1×，兩人都付40元的概率為p2×，兩人都付80元的概率為p3××，則兩人所付費(fèi)用相同的概率為pp1p2p3.(2)由題設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為，可能取值為0,40,80,120,160，則：P(0)×；P(40)××；P(80)×××；P(120)××；P(160)×.的分布列為04080120160PE0×40×80×120×160×80.D(080)2×(4080)2×(8080)2×(12080)2×(16080)2×.(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計(jì)算(2)注意E(aXb)aEXb，D(aXb)a2DX的應(yīng)用教師備選例題1(2019·杭州模擬)已知0a，隨機(jī)變量的分布列如下：101Paa當(dāng)a增大時(shí)，()AE增大，D增大BE減小，D增大CE增大，D減小DE減小，D減小B由題意得，Ea，D2×a22×a22a，又0a，當(dāng)a增大時(shí)，E減小，D增大2設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分(1)當(dāng)a3，b2，c1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出此球所得分?jǐn)?shù)若E，D，求abc.解(1)由題意得2,3,4,5,6，故P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的分布列為23456P(2)由題意知的分布列為123P所以E，D2·2·2·，化簡得解得a3c，b2c，故abc321.1.(2018·全國卷)某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，DX2.4，P(X4)<P(X6)，則p()A0.7B0.6C0.4D0.3B由題意知，該群體的10位成員使用移動(dòng)支付的概率分布符合二項(xiàng)分布，所以D(X)10p(1p)2.4，所以p0.6或p0.4.由P(X4)<P(X6)，得Cp4(1p)6<Cp6(1p)4，即(1p)2<p2，所以p>0.5，所以p0.6.2大豆是我國主要的農(nóng)作物之一，因此，大豆在農(nóng)業(yè)發(fā)展中占有重要的地位，隨著農(nóng)業(yè)技術(shù)的不斷發(fā)展，為了使大豆得到更好的種植，就要進(jìn)行超級(jí)種培育研究某種植基地培育的“超級(jí)豆”種子進(jìn)行種植測(cè)試：選擇一塊營養(yǎng)均衡的可種植4株的實(shí)驗(yàn)田地，每株放入三?！俺?jí)豆”種子，且至少要有一粒種子發(fā)芽這株豆苗就能有效成活，每株豆成活苗可以收成大豆2.205 kg.已知每粒豆苗種子成活的概率為(假設(shè)種子之間及外部條件一致，發(fā)芽相互沒有影響)(1)求恰好有3株成活的概率；(2)記成活的豆苗株數(shù)為，收成為(kg)，求隨機(jī)變量分布列及的數(shù)學(xué)期望E.解(1)設(shè)每株豆子成活的概率為P0，則P013.所以4株中恰好有3株成活的概率PC31.(2)記成活的豆苗株數(shù)為，收成為2.205，則的可能取值為0,1,2,3,4，且B，所以的分布列如下表：01234PC4C1·3C2·2C3·1C4E4×3.5，EE(2.205)2.205·E7.717 5(kg)考點(diǎn)2均值與方差在決策中的應(yīng)用利用均值、方差進(jìn)行決策的2個(gè)方略(1)當(dāng)均值不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見分歧，可對(duì)問題作出判斷(2)若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大則可通過分析兩變量的方差來研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策某投資公司在2019年年初準(zhǔn)備將1 000萬元投資到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇：項(xiàng)目一：新能源汽車據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和；項(xiàng)目二：通信設(shè)備據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為，和.針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說明理由解若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利為X1萬元，則X1的分布列為X1300150PEX1300×(150)×200.若按“項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲利為X2萬元，則X2的分布列為X25003000PEX2500×(300)×0×200.DX1(300200)2×(150200)2×35 000，DX2(500200)2×(300200)2×(0200)2×140 000.EX1EX2，DX1<DX2，這說明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定教師備選例題某公司計(jì)劃購買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)500元現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù)(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，確定n的最小值；(3)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n19與n20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？解(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2.從而P(X16)0.2×0.20.04；P(X17)2×0.2×0.40.16；P(X18)2×0.2×0.20.4×0.40.24；P(X19)2×0.2×0.22×0.4×0.20.24；P(X20)2×0.2×0.40.2×0.20.2；P(X21)2×0.2×0.20.08；P(X22)0.2×0.20.04.所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值為19.(3)記Y表示2臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元)當(dāng)n19時(shí)，EY19×200×0.68(19×200500)×0.2(19×2002×500)×0.08(19×2003×500)×0.044 040.當(dāng)n20時(shí)，EY20×200×0.88(20×200500)×0.08(20×2002×500)×0.044 080.可知當(dāng)n19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于當(dāng)n20時(shí)所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選n19.(2019·合肥二模)某種大型醫(yī)療檢查機(jī)器生產(chǎn)商，對(duì)一次性購買2臺(tái)機(jī)器的客戶，推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案：方案一：交納延保金7 000元，在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修2次，超過2次每次收取維修費(fèi)2 000元；方案二：交納延保金10 000元，在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修4次，超過4次每次收取維修費(fèi)1 000元某醫(yī)院準(zhǔn)備一次性購買2臺(tái)這種機(jī)器現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)購買哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺(tái)這種機(jī)器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù)，得下表：維修次數(shù)0123臺(tái)數(shù)5102015以這50臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率記X表示這2臺(tái)機(jī)器超過質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù)(1)求X的分布列；(2)以所需延保金及維修費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算？解(1)X所有可能的取值為0,1,2,3,4,5,6.P(X0)×，P(X1)××2，P(X2)×××2，P(X3)××2××2，P(X4)×××2，P(X5)××2，P(X6)×，X的分布列為X0123456P(2)選擇延保方案一，所需費(fèi)用Y1元的分布列為：Y17 0009 00011 00013 00015 000PEY1×7 000×9 000×11 000×13 000×15 00010 720(元)選擇延保方案二，所需費(fèi)用Y2元的分布列為：Y210 00011 00012 000PEY2×10 000×11 000×12 00010 420(元)EY1EY2，該醫(yī)院選擇延保方案二較合算考點(diǎn)3正態(tài)分布關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法(1)熟記P(<X)，P(2<X2)，P(3<X3)的值(2)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1.正態(tài)曲線關(guān)于直線x對(duì)稱，從而在關(guān)于x對(duì)稱的區(qū)間上概率相等；P(X<a)1P(Xa)，P(X<a)P(Xa)(2017·全國卷)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm)根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(，2)(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(3，3)之外的零件數(shù)，求P(X1)及X的數(shù)學(xué)期望；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(3，3)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得xi9.97，s)0.212，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i1,2，16.用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和(精確到0.01)附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(，2)，則P(3<Z3)0.997 4,0.997 4160.959 2，0.09.解(1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在(3，3)之內(nèi)的概率為0.997 4，從而零件的尺寸在(3，3)之外的概率為0.002 6，故XB(16,0.002 6)因此P(X1)1P(X0)10.997 4160.040 8.X的數(shù)學(xué)期望EX16×0.002 60.041 6.(2)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在(3，3)之外的概率只有0.002 6，一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有0.040 8，發(fā)生的概率很小，因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的由9.97，s0.212，得的估計(jì)值為9.97，的估計(jì)值為0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在(3，3)之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為×(16×9.979.22)10.02.因此的估計(jì)值為10.02.x16×0.212216×9.9721 591.134，剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為×(1 591.1349.22215×10.022)0.008，因此的估計(jì)值為0.09.本題考查正態(tài)分布、概率統(tǒng)計(jì)問題的綜合，是在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處命制的一道較為新穎的試題正態(tài)分布與統(tǒng)計(jì)案例有些知識(shí)點(diǎn)是所謂的高考“冷點(diǎn)”，由于考生對(duì)這些“冷點(diǎn)”的內(nèi)容重視不夠，復(fù)習(xí)不全面，一旦這些“冷點(diǎn)”知識(shí)出了考題，雖然簡單但也做錯(cuò)，甚至根本不會(huì)做，因而錯(cuò)誤率相當(dāng)高本題求解的關(guān)鍵是借助題設(shè)提供的數(shù)據(jù)對(duì)問題做出合理的分析，其中方差公式的等價(jià)變形是數(shù)據(jù)處理的關(guān)鍵點(diǎn)1.在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(1,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為()附：若XN(，2)，則P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4.A1 193 B1 359C2 718 D3 413B對(duì)于正態(tài)分布N(1,1)，1，1，正態(tài)曲線關(guān)于x1對(duì)稱，故題圖中陰影部分的面積為×P(3X1)P(2X0)×P(2X2)P(X)×(0.954 40.682 6)0.135 9，所以點(diǎn)落入題圖中陰影部分的概率P0.135 9，投入10 000個(gè)點(diǎn)，落入陰影部分的個(gè)數(shù)約為10 000×0.135 91 359.2為評(píng)估設(shè)備M生產(chǎn)某種零件的性能，從設(shè)備M生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100個(gè)零件作為樣本，測(cè)量其直徑后，整理得到下表：直徑/mm5859616263646566個(gè)數(shù)11356193318直徑/mm676869707173合計(jì)個(gè)數(shù)442121100經(jīng)計(jì)算，樣本直徑的平均值65，標(biāo)準(zhǔn)差2.2，以頻率值作為概率的估計(jì)值(1)為評(píng)判一臺(tái)設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為X，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判(P表示相應(yīng)事件的概率)：P(<X)0.682 6；P(2<X2)0.954 4；P(3<X3)0.997 4.評(píng)判規(guī)則為：若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式，則設(shè)備等級(jí)為甲；若僅滿足其中兩個(gè)，則等級(jí)為乙；若僅滿足其中一個(gè)，則等級(jí)為丙；若全部都不滿足，則等級(jí)為丁，試判斷設(shè)備M的性能等級(jí)(2)將直徑小于等于2或直徑大于2的零件認(rèn)為是次品從設(shè)備M的生產(chǎn)流水線上隨機(jī)抽取2件零件，計(jì)算其中次品件數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望EY；從樣本中隨機(jī)抽取2件零件，計(jì)算其中次品件數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望EZ.解(1)P(<X)P(62.8<X67.2)0.8>0.682 6，P(2<X2)P(60.6<X69.4)0.94<0.954 4，P(3<X3)P(58.4<X71.6)0.98<0.997 4，因?yàn)樵O(shè)備M的數(shù)據(jù)僅滿足一個(gè)不等式，故其性能等級(jí)為丙(2)易知樣本中次品共6件，可估計(jì)設(shè)備M生產(chǎn)零件的次品率為0.06.由題意可知YB，于是EY2×.由題意可知Z的分布列為Z012P故EZ0×1×2×.13